確定描述詞理論的困難

之前提過確定描述詞理論的內容和它能解決的問題，現在來看看它會遇上什麼麻煩。

一，「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」在確定描述詞理論的分析下會變成像「單身漢是沒結婚的男人」一樣的廢話。

我們會認為「單身漢是沒結婚的男人」是廢話，是因為單身漢這個專有名詞的意思其實就是就代表沒結婚的男人。我不須要出門觀察單身漢是不是都沒結婚而且都是男人，就可以根據「單身漢」這個專有名詞的意思判斷「單身漢是沒結婚的男人」為不為真。

確定描述詞理論把專有名詞當成偽裝的確定描述詞，在確定描述詞理論的分析下，「摩西」這個專有名詞的意思其實就是帶領以色列人離開埃及的人。因此，我只要根據「摩西」這個專有名詞的意思就可以判斷「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」為不為真。

然而，我們通常不會認為「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」是廢話，也就是，我們可以從這句話學到新東西。所以確定描述詞理論的分析大概有問題。

有些人會反駁，在確定描述詞理論的分析下，「摩西」這個專有名詞的意思不是帶領以色列人離開埃及的人，而是，帶領以色列人離開埃及的人，或制定十誡的人，或分開紅海的人，或…。所以，「摩西」這個專有名詞的意思只告訴我們，摩西做過這個或者摩西做過那個或者…。我們沒辦法從「摩西」這個專有名詞的意思得知摩西到底做過什麼。因此「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」不是廢話，這句話告訴我們摩西到底做過什麼。

不過，即使「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」不是廢話，「摩西是帶領以色列人離開埃及的人，或摩西是制定十誡的人，或摩西是分開紅海的人，或摩西是…」仍然是廢話。 

然而，我們通常不會認為只要根據「摩西」這個專有名詞的意思就可以判斷「摩西是帶領以色列人離開埃及的人，或摩西是制定十誡的人，或摩西是分開紅海的人，或摩西是…」為不為真，我們可以從這句話學到新東西。所以改良後的確定描述詞理論的分析大概還是有問題。

二，Saul Kripke提出的反例。

我們通常會用下列句子描述柏拉圖：

• 出生時被命名為柏拉圖的人。
• 《斐多篇》的作者。
• 《理想国》的作者。
• …

然而，柏拉圖出生時不叫柏拉圖，而是亞里斯特克勒斯（Aristocles）。

想像古希腊時代有個出生時被命名為柏拉圖的人，他生性孤僻，幾乎不和其他人接觸。他碰巧做過亞里斯特克勒斯做過的每件事，例如他也寫了《斐多篇》、《理想国》、…。但他死後完全沒有人記得他，他的著作也不曾傳世。

然而這個孤僻的傢伙比亞里斯特克勒斯更符合「出生時被命名為柏圖的人、《斐多篇》的作者、《理想国》的作者、…」這些描述，所以當我們使用這些描述時，根據確定描述詞理論，我們談論的是那個孤僻的傢伙，而不是亞里斯特克勒斯。但這怎麼會對呢？畢竟，我們根本不知道那個孤僻的傢伙的存在，我們要怎麼談論一個我們從來沒意識到其存在的東西？

參考資料
P.54,55,57 Collin, F. & Guldmann, F. (2005) Meaning, Use and Truth [Ashgate]

相關文章
對描述詞理論的一個攻擊，以及兩種回應 - 哲學與思方

素樸集合論的困難

素樸集合論（naive  set theory）是這樣定義集合的：

{x | x符合條件A、B、C…}

意思是，把符合A、B、C…這些條件的東西蒐集起來，就可以得到一個集合。

例如，屬於{x | x是猫}這個集合裡的東西都是猫，屬於{x | x是上帝}這個集合裡的東西都是上帝。可能有人會爭論{x | x是上帝}是不是空集合，如果不是的話那個集合裡有幾個東西，不過這對素樸集合論沒什麼威脅。真正的麻煩是，有些集合的條件會產生悖論。

1906年G. G. Berry提出了{x | x是可以用一行字定義的正整數（x is a positive integer definable in one line of type）} 這個集合。這個集合裡的東西有：

• 12345
• （把質數由小到大排列）第一百個質數
• x⁴ - 17x³ + 101x² - 247x + 210 = 0這個多項式的解
• …

然而，有些正整數沒辦法只用一行字定義，因此不屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數} 這個集合。不過我們可以為這些沒辦法只用一行字定義的正整數排大小，最小的那個數可以用下列這句話定義：

最小的不可以用一行字定義的正整數。

而這句話只有一行，所以該數屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數} 這個集合！但是怎麼會有東西不屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數}而且屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數}呢？


另一個悖論來自羅素（Russell），所以叫羅素悖論（Russell's paradox），不過Ernst Zermelo也自行想到這個悖論。

1902年時，羅素提出了{x | x ∉ x}這個集合，這個集合蒐集不屬於自己的東西。這個集合裡的東西有：

• {x | x是猫}（{x | x是猫}這個集合裡蒐集的東西是猫，{x | x是猫}是集合而不是猫，所以{x | x是猫}這個集合裡不會蒐集「{x | x是猫}」這個東西）
• {x | x是上帝}
• …

那麼，{x | x ∉ x}這個集合屬不屬於自己？{x | x ∉ x}要嘛屬於自己，要嘛不屬於自己，如果它屬於自己，表示它滿足{x | x ∉ x}中x ∉ x這個條件，那麼它不屬於自己。如果它不屬於自己，表示它沒有滿足{x | x ∉ x}中x ∉ x這個條件，所以它屬於自己。

不管{x | x ∉ x}這個集合屬不屬於自己，都會產生矛盾。

參考資料：
P.4-6, Enderton, H. B. (1977) Elements of set theory [Academic Press]

相關文章：
羅素悖論 - 哲學與思方

四案論證

在決定論為真的世界裡的人要為自己的行為負道德責任嗎

決定論主張，如果世界之前的狀態是怎樣怎樣，那麼世界之後的狀態就被決定一定是那樣那樣。例如，在宇宙大爆炸的那瞬間每個粒子的速度、旋轉方式、組成成分，以及能量在空間中的分布等等狀態，就決定了西元2011年五月二十九號安萍會在宿舍寫四案論證這件事一定會發生。

如果決定論為真，給定世界之前的狀態就決定了世界以後一定會發生什麼事，那麼我們還需要為自己的行為負道德責任嗎？

有些人認為，只有在我們能做實際上我們沒做的事情的時候，我們才要為自己的行為負道德責任。例如，簍雷實際上說了「要教官退出校園就是要警察、軍人退出國家」這句蠢話，但是其實簍可以不說這句蠢話的。在簍雷實際上可以不說蠢話的時候，簍雷才需要為自己說蠢話的行為負道德責任。

然而在決定論為真、給定世界初始的狀態的世界裡，簍雷已經被決定要在某某時刻說蠢話，他沒有辦法不說蠢話啊。因此，如果我們認為我們生存的世界是決定論式的，也接受「只有在我們能做實際上我們沒做的事情的時候，我們才要為自己的行為負道德責任」這個原則的話，我們沒有辦法要任何人為自己的行為負道德責任。因為我們都一定會做被之前的世界狀態決定的事情，沒辦法做這以外的事情。

相容論者的策略

相容論者是指，主張「在決定論為真的世界裡的人對自己的行為有道德責任」的人。

剛剛提到，

如果我們認為我們生存的世界是決定論式的，也接受「只有在我們能做實際上我們沒做的事情的時候，我們才要為自己的行為負道德責任」這個原則的話，我們沒有辦法要任何人為自己的行為負道德責任。

有些相容論者接受我們生存的世界是決定論式的，但是不接受「只有在我們能做實際上我們沒做的事情的時候，我們才要為自己的行為負道德責任」這個原則。他們提出其他原則來代替，例如：

Hume和Ayer主張，只有在滿足

• 行為者不是被強迫去做A（A是指某個行為），而且
• 如果行為者做A是出於他的某個欲望，這個欲望不能是強烈到行為者沒有辦法抵抗的（例如，大雄無論如何、死都要吃冰的欲望，就是強烈到行為者沒有辦法抵抗的欲望），以及
• 行為者做A，是出於行為者持續且固定的人格特質（例如技安生性暴力，把大雄爆打一頓是出於技安持續且固定的人格特質）

這三個條件的時候，行為者才需要為他的行為A負道德責任。

Frankfurt則主張，只有在滿足

• 行為者想要做A（一階欲望），而且行為者想要「想要做Ａ」（二階欲望），而且行為者是因為想要「想要做A」而想要做A

的時候，行為者才需要為他的行為A負道德責任。

Fischer和Ravizza則主張，如果滿足

• 在行為者有充分的理由不做A而做其他事的情境裡，行為者可以不做A而做其他事，而且行為是因為那些充分理由而不做A而做其他事，和
• 行為者通常都能認識、辨認出（recognize）行為的理由，以及
• 行為者也把道德理由當成行為的理由

這三個條件，行為者就要為他的行為A負道德責任。

Wallace則主張，只有在滿足

• 行為者的行為會引發回應態度（reactive attitude）（例如簍雷無緣無故故意踩我的腳所以我生氣了，生氣就是一種回應態度。如果簍雷是不小心踩到我的腳，而且我知道他是不小心的我就不會生氣；簍雷不小心踩到我的腳不會引發回應態度），以及
• 行為者有能力捕捉並運用道德理由，並用這些理由控制或規範自己的行為

這些條件的情況下，行為者就要為他的行為A負道德責任。

Hume和Ayer、Frankfurt的方案是提出道德責任的必要條件。意思是，如果不滿足這些條件，行為者就沒有道德責任；滿足了這些條件，行為者也不一定有道德責任。Fischer和Ravizza、Wallace的則是道德責任的充分條件。意思是，滿足了這些條件，行為者就有道德責任；沒有滿足這些條件，行為者也不一定沒有道德責任。

這些必要或充分條件都可以在決定論為真的世界中被滿足。

Perebroom的四案論證（Four-Case Argument）

Perebroom設計了四個案例，每個案例的主角簍雷都把住隔壁的小隨殺掉了，而且簍雷殺掉小隨的行為都滿足Hume和Ayer、Frankfurt、Fischer和Ravizza、Wallace提出來的條件們。

案例一：

邪惡的神經科學家們創造了簍雷，並無時無刻地操弄他的腦狀態。不過簍雷的成長過程跟正常人沒什麼兩樣。科學家們局部操弄簍雷的行為理由。當簍雷要開始推論他接下來要做什麼的時候，科學家們就按按鈕操弄簍雷的推論過程，讓簍雷變成自私自利的人。科學家沒有讓自私自利成為簍雷無法抗拒的欲望。他們的操弄也讓簍雷想要想要殺掉小隨、簍雷想要殺掉小隨、簍雷想要殺掉小隨是因為他想要想要殺掉小隨。簍雷也接受某些道德理由做為行為理由，在簍雷自私自利的理由比較弱的時候，他就會根據道德理由行為。

案例二：

邪惡的神經科學家們創造了簍雷。雖然他們不能無時無刻地操弄他的腦狀態，但他們在簍雷腦子裡植入晶片， 讓簍雷在推論他接下來要做什麼事的時候通常會考慮自私自利的理由，成為自私自利的人。

案例三：

 簍雷不是被科學家創造出來的。簍雷被成長的環境和所受的教養影響，長成大部分時候是自私自利的人。

案例四：

簍雷不是被科學家創造出來的。他的成長環境和受到的教養也不是熱切鼓吹自私自利的。簍雷活在物理決定論為真的世界裡。

Perebroom認為，案例一的簍雷符合相容論者提出來的，道德責任的充分和必要條件，但我們直覺上還是認為簍雷一不用為他殺了小隨負道德責任，所以Fischer和Ravizza、Wallace提出來的道德責任的充分條件是錯的。

此外，Perebroom認為

1. 案例一的簍雷沒有道德責任。
2. 案例一和二之間在道德面向上沒有差別（沒有某個跟道德責任有關的行為的性質，是簍雷一有簍雷二沒有，或簍雷一沒有簍雷二有的），案例二和三之間、案例三和四之間也沒有差別。
3. 所以，一和二沒有差別，一沒有道德責任，所以二也沒有。二和三沒有差別，二沒有道德責任，所以三也沒有。三和四沒有差別，三沒有道德責任，所以四也沒有。
4. 因此，物理決定論為真的世界裡生活的簍雷四不用為他的行為負道德責任。

最後，Perebroom主張，這四個案例的簍雷都不用負道德責任的最佳說明是，他們是被他們控制範圍以外的因素因果地決定去殺掉小隨的。案例一的控制範圍以外的因素是被科學家操弄的腦狀態，案例二是被科學家植入的晶片，案例三是成長環境和所受的教養，案例四是簍雷出生前世界之前的狀態。

相容論者對Perebroom的四案論證當然有話要說，不過這篇文章就到此為止吧。

參考文章：

P101-117, Pereboom, D. (2001), Living without Free Will, Cambridge University Press

相關文章：

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決定論的兩難 - 哲學與思方

電車問題和實驗哲學

上哲概的時候老師放了這段影片給我們看，後續的討論讓我想起了上學期的S-A讀書會念到的，Sinnott-Armstron在2008年和別人合寫的文章，Intention, Temporal Order, and Moral Judgments。

這篇文章裡提到了四個不同的電車案例：

1. 簍雷想要救電車主軌道上的五個人的話，他唯一的方法是把車開到側軌道上，但是開上側軌會撞死一個人。
2. 簍雷想要救電車主軌道上的五個人的話，他唯一的方法是把一個長得很大隻的人推到主軌道上，用肉身擋住電車，但是那個倒楣的大傢伙會壯烈犧牲。
3. 簍雷想要救電車主軌道上的五個人的話，因為電車側軌道會再接回主軌道，所以他唯一的方法是把車開到側軌道上，撞死一個人讓電車停下來。如果側軌道上沒有人可以撞的話電車不會停下來（見下圖）。
4. 簍雷想要救電車主軌道上的五個人的話，因為電車側軌會再接回主軌道，所以他唯一的方法是把車開到側軌道上，撞死一個人讓電車停下來。不過側軌道上有一顆大石頭，就算側軌道上沒有人電車也會因為撞到石頭停下來。

（圖片來源：Sinnott-Armstron 2008 Intention, Temporal Order, and Moral Judgments）

心理學家用這四個案例做了一份調查，這份調查裡，在簍雷決定救五個人的情況下，受試者們有89%的機會認為簍雷一的做法是道德上可允許的，11%認為簍雷二的做法是道德上可允許的，簍雷三是55%，簍雷四是72%。

我們，或者換個保險一點的說法，受試者們做這樣的道德判斷是基於什麼理由呢？這篇文章提供了兩個理論，它們都能夠合理地說明這份調查結果：

• 雙效說（doctrine of double effect）：如果行為者想要的是好結果，而不是把壞的結果當成目的或達到好結果的手段，那麼這個行為在道德上是被允許的。
  簍雷一和簍雷四的目的是救五個人。在簍雷一和四的案例裡，如果側軌上沒有人，那五個人還是可以得救，簍雷不是故意要藉由撞死側軌上的人去救主軌道上的五個人，因此是道德上可允許的。
  在簍雷二和三的例子裡，如果側軌上沒有人，那五個人就會被電車撞死。簍雷是想藉由撞死側軌上的人去救那五個人，因此不是道德上可允許的。
  .
•  時序假說（temporal hypothesis）：
  一個行為是道德上可允許的，若且唯若，做這個行為後，壞結果不會發生在好結果之前。
  簍雷一和簍雷四是先開進側軌，因此五個人肯定會得救（好結果），然後才撞死人（壞結果），所以他們的行為是道德上可允許的。簍雷二和三是先撞死人（壞結果）然後電車停下來，那五個人得救（好結果），所以他們的行為不是道德上被允許的。
  

這兩個競爭的說法中，哪一個比較能符合我們的直覺呢？哲學家們的方法是，設計一個行為者想要好結果，而且壞結果比好結果先發生的案例（雙效說會判斷這個行為是道德上可允許的，時序說則判斷這個行為不是道德上可允許的），或者，行為者把壞結果當目的或促成好結果的手段，而且好結果比壞結果先發生的案例（雙效說會判斷這個行為不是道德上可允許的，時序說則判斷這個行為是道德上可允許的）。然後做問卷調查。

哲學家們設計的情境是這樣的：

5.簍雷想要救電車主軌上的五個人的話，因為電車側軌會再接回主軌道，而電車側軌上有另一個不會接回主軌的第二側軌，所以他唯一的方法是把電車開進第二側軌。但是在開進第二側軌之前，電車會撞死一個人。

（圖片來源：Sinnott-Armstron 2008 Intention, Temporal Order, and Moral Judgments）

雙效說會判斷簍雷五的行為是道德上可以被允許的，因為簍雷的目的是把車開進第二側軌，而不是把人撞死。時序說會判斷簍雷五的行為不是道德上可被允許的，因為電車會先撞死一個人（壞結果）再開進第二側軌，五個人得救（好結果）。

實驗的詳細過程如下：
他們找了達特茅斯學院（Dartmouth College）和紐約高中（New York high school）的在校生，以及參加在北卡羅來納州（North Carolina）舉辦的醫學會議的與會者共一百九十個人來寫問卷。受試者的平均年齡是22.8歲，平均修過0.4倫理課。25%受試者曾聽過電車問題，52%受試者是女性。

問卷有三份，內容分別有簍雷一、三和五這三個情境。每個情境都會請受試者回答下列五個問題，以及宗教、性別、年齡等背景資料。

1. 簍雷讓電車開進側軌是道德上錯的嗎？^*1
2. 簍雷不讓電車開進側軌是道德上錯的嗎？
3. 如果簍雷讓電車開進側軌，簍雷是殺害在側軌上的人。
4. 如果簍雷讓電車開進側軌，簍雷是故意殺害在側軌上的人。
5. 如果簍雷讓電車開進側軌，簍雷要為側軌上的人的死負責。

回答選項：
非常不同意：-3
大致不同意：-2
稍微不同意：-1
中立：0
稍微同意：1
大致同意：2
非常同意：3

受試者們會隨機分配到三份問卷中的其中一份。

省略中間我看不太懂的統計學分析，最後的結果是：

• 關於問題一，在道德判斷上雙效說勝出。受試者們對簍雷的行為是不是道德上錯的的判斷結果，符合雙效說的判斷標準。
• 關於問題二，統計結果沒有統計上的顯著性，不過大致上符合雙效說的判斷標準。哲學家們猜測這可能是因為題目的用字把受試者搞胡塗了。^*2
• 關於問題三，在簍雷是不是殺害在側軌上的人的判斷上，時序說勝出。受試者們對簍雷的行為是不是殺害在側軌上的人的判斷結果，符合時序說的判斷標準。

根據調查結果，受試者們在判斷簍雷把電車開進側軌的行為是不是道德上錯的、簍雷是不是殺害在側軌上的人時，用的似乎不是同一套標準。換句話說，殺害的行為可以不是道德上錯的，而非一定是錯的；不殺害的行為可以是道德上錯的，而非一定不是錯的。

關於受試者們怎麼做道德判斷：

受試者似乎是，先判斷簍雷是不是故意要造成不好的結果，或者是不是把不好的結果當成促進好結果的手段；根據這個判斷決定簍雷要不要為他的行為所造成的不好結果負責任；最後再依前兩個判斷來判斷簍雷的行為是不是道德上錯的。

我的想法：
根據雙效說，簍雷一把車開進側軌救五個人是道德上可允許的。不過，簍雷選擇不把車開進側軌救一個人也是道德上可允許的。只要讓電車繼續在主軌道上行駛，副軌上的人就得救；簍雷沒有故意要撞死五個人，也沒有故意把撞死五個人當成救一個人的手段。所以我們還是可以再問，在雙效說判斷救一個或救五個都是道德上可允許的行為時，救一個比較好還是救五個？判斷的標準是什麼？不過這大概已經不是這篇文章要討論的範圍了。


相關文章：實驗哲學 - 哲學哲學雞蛋糕


Notes:

1. 不問「是道德上可允許的嗎」是為了避免受試者不曉得問卷在幹嘛。
2. 原文為，However, this lack of significance might result from subjects  being confused by the negation when they were asked whether it  is morally wrong to refrain from throwing the switch(es).

語句邏輯的完備性

如果你不太能理解這篇文章在幹嘛，建議先讀過下列文章。

• 語句邏輯的語法和語意
• 語句邏輯的證明系統

完備性：如果Γ ⊧A，那麼Γ├A。如果不管語句們的真值設定是什麼，都不會出現Γ裡的語句都為真但A為假的情況，那麼Γ可以推導出某個語句A（Γ可以是空集合）（完備性是後設定理）。

PS系統的其中一種完備性證明：

證明簡介：

因為找不到方法為Γ ⊧A排序，所以不能像證明健全性那樣用數學歸納法做證明。不過，P→Q若且唯若¬Q→¬P，因此證明了

如果並非Γ├A，那麼並非Γ ⊧A

也就是證明了完備性。

另外，有人證明了

• 並非Γ├A，若且唯若，Γ∪{¬A}是一致的，以及
• 並非Γ ⊧A，若且唯若，Γ∪{¬A}有一個模型（model）。Γ∪{¬A}有一個模型的意思是，有個真值設定v，它的unique extension v'給Γ裡的語句和¬A的值都是1。

因此，證明了

如果Γ∪{¬A}是一致的，那麼Γ∪{¬A}有一個模型

 也就是證明了完備性。

假設前件（Γ∪{¬A}是一致的）為真，然後把Γ∪{¬A}擴充成最大化一致集合（maximal consistent set）Γ^*，再根據Γ^*做出一個真值設定v，而這個v會是Γ∪{¬A}的模型。得證如果Γ∪{¬A}是一致的，那麼Γ∪{¬A}有一個模型。得證語句邏輯的完備性。

• 最大化一致集合的定義：Γ是最大化一致集合，若且唯若，Γ是一致的，而且對任何合法的語句A而言，如果A∉Γ，那麼Γ∪{A}是不一致的。

證明：

先證明跟最大化一致集合有關的兩個的引理（lemma）放著備用。

1. 如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，要嘛A∈Γ，要嘛¬A∈Γ（Γ是最大化一致集合，所以不會有A∈Γ而且¬A∈Γ的情況）。
   
   使用反證法，假設前件成立而且後件不成立，如果能根據這些假設推導出矛盾的結果，就能得證前件成立時後件會成立。
   
   假設Γ是最大化一致集合，而且有個語句A，A∉Γ、¬A∉Γ。根據最大化一致集合的定義，Γ∪{A}和Γ∪{¬A}都是不一致的。根據一致的定義，從Γ∪{¬A}是不一致的這件事可以推論出會有某個語句B，Γ∪{¬A}├B而且Γ∪{¬A}├¬B。根據之前證明過的Γ, A├B若且唯若Γ├A→B定理，從Γ∪{¬A}├B而且Γ∪{¬A}├¬B，可以推論出Γ├¬A→B和Γ├¬A→¬B。
   
   根據├(¬A→B)→((¬A→¬B)→A)這條我目前還不知道是怎麼推論出來的定理，以及上一段最後一句的Γ├¬A→B和Γ├¬A→¬B，用MP規則可以推論出Γ├A。
   
   根據一致的定義，從Γ∪{A}是不一致的這件事可以推論出會有某個語句C，Γ∪{A}├C而且Γ∪{A}├¬C。根據A├B若且唯若Γ├A→B定理，從Γ∪{A}├C而且Γ∪{A}├¬C，可以推論出Γ├A→C和Γ├A→¬C。根據├A→¬¬A定理、Γ├A→C和Γ├A→¬C和MP規則，可以得到Γ├¬¬A→C和Γ├¬¬A→¬C。
   
   根據├(¬A→B)→((¬A→¬B)→A)定理，以及上一段最後一句的Γ├¬¬A→C和Γ├¬¬A→¬C，用MP規則可以推論出Γ├¬A。
   
   因此Γ├A而且Γ├¬A，Γ 不一致，Γ 不會是最大化一致集合。這個結果和我們的假設矛盾，得證如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，要嘛A∈Γ，要嘛¬A∈Γ。
   .
2. 如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，如果Γ├A，那麼A∈Γ。
   
   用反證法。假設Γ是最大化一致集合，而且Γ├A而且A∉Γ。A∉Γ，根據最大化一致集合的定義，Γ∪{A}是不一致的。Γ∪{A}不一致，因此會有某個語句B，Γ∪{A}├B而且Γ∪{A}├¬B。根據A├B若且唯若Γ├A→B，可以得到Γ├A→B和Γ├→A¬B。根據Γ├A（假設）、Γ├A→B、Γ├→A¬B和MP，可以得到Γ├B和Γ├¬B。因此Γ不是最大化一致集合，和假設矛盾。

用Lindenbaum's lemma把Γ∪{¬A}擴充成最大化一致集合。

Lindenbaum's lemma：任何一致的集合Γ都可以擴充成最大化一致集合Γ^*。

證明：

找一個函數f，它的功能是把所有合法的語句從1開始編號。每個編號都不一樣。把Γ擴充成最大化一致集合Γ^*的程序如下：

• Γ₀ = Γ（Γ₀就是Γ）。
• Γ_n+1 = Γ_n∪φ_n+1，如果Γ_n∪φ_n+1是一致的
  （如果Γ_n∪φ_n+1是一致的，那麼Γ_n+1 = Γ_n∪φ_n+1）。
  Γ₁ = Γ_n，如果Γ_n∪φ_n+1是不一致的
  （如果Γ_n∪φ_n+1是不一致的，那麼Γ_n+1 = Γ_n）。
• Γ^* = ∪_n∈ωΓ_n（Γ^* = Γ₀∪Γ₁∪Γ₂∪...Γ_n∪...，ω是指自然數的集合。根據定義不能聯集一串無限大的集合，所以Γ^* = Γ₀∪Γ₁∪Γ₂∪...Γ_n∪...的寫法是不合法的）。

證明對任何屬於ω的n來說，Γ_n是一致的（弱數學歸納法）：

• B.C.：Γ₀根據預設是一致的。
• I.H.：假設Γ_n是一致的。
• I.C.：從Γ_n變成Γ_n+1有兩種情況。一，Γ_n∪φ_n+1是一致的，那麼Γ_n+1 = Γ_n∪φ_n+1，在這種情況下Γ_n+1是一致的。二，Γ_n∪φ_n+1是不一致的，那麼Γ_n+1 = Γ_n，根據I.H.，Γ_n+1是一致的。

故得證對任何屬於ω的n來說（for any n∈ω），Γ_n是一致的。

證明每個Γ^*的子集合都是某些Γ_n的子集合（反證法）：
假設有個Γ^*的子集合α，α不是任何Γ_n的子集合，因此，α裡的某些語句φ不屬於任何Γ_n。然而，Γ^* = ∪_n∈ωΓ_n，所以屬於Γ^*的語句一定會屬於某個Γ_n

證明Γ^*是一致的（反證法）：
假設Γ^*是不一致的，因此對某個語句A而言Γ^*├A而且Γ^*├¬A。在推導是有限長的情況下，被拿來當前提的語句也會是有限多個。把推導出A的前提們稱做α，α是Γ^*的子集合；把推導出¬A的前提們稱做β，β是Γ^*的子集合。讓Γ等於α聯集β，Γ也會是Γ^*的子集合，此外，Γ├A而且Γ├¬A。出現了有個Γ^*的子集合是不一致的情況。然而根據之前證明過的，

• 每個Γ^*的子集合都是某些Γ_n的子集合
• 對任何屬於ω的n來說，Γ_n是一致的

因此Γ會是一致的。產生矛盾，因此Γ^*是一致的。

證明Γ^*是最大化的（反證法）：
假設Γ^*不是最大化的，因此，會有某個語句A，A∉Γ^*，而且Γ^*∪{A}是一致的。然而，A會被標上某個編號，例如A_m，因為Γ^*∪{A}是一致的，所以A∈Γ_m，所以A∈Γ^*。產生矛盾，因此Γ^*是最大化的。

於是就證明了任何一致的集合Γ都可以擴充成最大化一致集合Γ^*

用Γ^*做出一個特別的真值設定v。

這個特別的真值設定v是長這樣的：

• v(A) = 1，若且唯若，φ是原子語句而且φ∈Γ^*。
• v(A) = 0，若且唯若，φ是原子語句而且φ∉Γ^*。

Henkin Lemma：這個特別的真值設定v的v'，對任何合法語句φ而言，φ∈Γ^*若且唯若v'(φ) = 1。

證明（強數學推納法，用φ裡的連接詞數量做排序）：

• B.C.：φ是原子語句，根據那個特別的真值設定v的定義，φ∈Γ^*若且唯若v'(φ) = 1。
• I.H.：假設，對所有連接詞數量小於n的合法語句而言，φ∈Γ^*若且唯若v'(φ) = 1。

I.C.：當φ的連接詞數量是n的時候，要嘛φ = ¬ψ，要嘛φ = ψ→χ。

1. φ = ¬ψ
   ψ的連接詞數量是n-1，根據I.H.，ψ∈Γ^*若且唯若v'(ψ) = 1。v'(φ) = 1若且唯若v'(ψ) = 0，v'(ψ) = 0若且唯若ψ∉Γ^*。因為Γ^*是最大化一致集合，根據之前證的「如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，要嘛A∈Γ，要嘛¬A∈Γ」，ψ∉Γ^*所以¬ψ∈Γ^*。因此φ∈Γ^*。 
.
2. φ = ψ→χ
   ψ和χ的連接詞數量都小於n。
   
   （如果φ∈Γ^*則v'(φ) = 1）（反證法）
   假設φ∈Γ^*而且v'(φ) = 0。v'(φ) = 0，所以v'(ψ) = 1而且v'(χ) = 0。v'(ψ) = 1而且v'(χ) = 0，根據I.H.，ψ∈Γ^*而且χ∉Γ^*。根據χ∉Γ^*和「如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，要嘛A∈Γ，要嘛¬A∈Γ」，可以推論出¬χ∈Γ^*。因為ψ∈Γ^*和¬χ∈Γ^*，所以Γ^*├ψ而且Γ^*├¬χ。根據定理├ψ→(¬χ→¬(ψ→χ))和MP，得到Γ^*├¬(ψ→χ)。根據Γ^*├¬(ψ→χ)和之前證的「如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，如果Γ├A，那麼A∈Γ」，可以得到¬(ψ→χ)∈Γ^*。因此¬φ∈Γ^*。因此φ∈Γ^*而且¬φ∈Γ^*，所以Γ^*├φ而且Γ^*├¬φ，Γ^*是不一致的。這個結果和Γ^*是一致的預設矛盾。
   .
   （如果v'(φ) = 1則φ∈Γ^*）
   假設v'(φ) = 1，所以v'(ψ) = 0或v'(χ) = 1。根據I.H.，ψ∉Γ^*或χ∈Γ^*。
   
   1.ψ∉Γ^*
   根據「如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，要嘛A∈Γ，要嘛¬A∈Γ」，¬ψ∈Γ^*，因此Γ^*├¬ψ。根據Γ^*├¬ψ、定理├¬ψ→(ψ→χ)和MP可以得到Γ^*├ψ→χ。根據Γ^*├ψ→χ和「如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，如果Γ├A，那麼A∈Γ」，可以得到ψ→χ∈Γ^*，也就是φ∈Γ^*。
   
   2.χ∈Γ^*
   χ∈Γ^*，所以Γ^*├χ。根據公理├χ→(ψ→χ)和Γ^*├χ和MP可以得到Γ^*├ψ→χ。根據Γ^*├ψ→χ和「如果Γ是最大化一致集合，那麼對任何合法的語句A而言，如果Γ├A，那麼A∈Γ」，可以得到ψ→χ∈Γ^*，也就是φ∈Γ^*。

得證Henkin Lemma。

完備性：Γ ⊧A則Γ├A。

Γ ⊧A則Γ├A，若且唯若，並非Γ├A則並非Γ ⊧A，若且唯若，Γ∪{¬A}是一致的則Γ∪{¬A}有一個模型。

Γ∪{¬A}是一致的，所以可以用Lindenbaum's lemma把Γ∪{¬A}擴充成最大化一致集合Γ^*，然後用Γ^*做出一個特別的真值設定v。根據Henkin Lemma，因為Γ∪{¬A}裡的語句都屬於Γ^*，所以這個v的v'給Γ∪{¬A}裡的語句的值都會是1，因此Γ∪{¬A}有一個模型。

得證語句邏輯的完備性。

參考資料：中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。

語句邏輯的健全性

如果你不太能理解這篇文章在幹嘛，建議先讀過下列文章。

• 語句邏輯的語法和語意
• 語句邏輯的證明系統

健全性（soundness）：如果Γ├A，那麼Γ ⊧A。如果某組語句Γ可以推導出某個語句A，那麼不管語句們的真值設定是什麼，都不會出現Γ裡的語句都為真但A為假的情況（Γ可以是空集合）（健全性是後設定理）。

PS系統的健全性證明：

使用強數學歸納法，用推論出A需要幾行證明為Γ├A排序。

B.C.當證明行數為1的時候，A要嘛是公理，要嘛是前提。

• A是公理：
  
  1. 公理1：├A→(B→A)
     如果有個真值設定v讓v'(A→(B→A)) = 0（讓A→(B→A)為假），那麼v'(A) = 1而且v'(B→A) = 0。想讓v'(B→A) = 0，那麼v'(B) = 1而且v'(A) = 0。但是v'(A)在之前設定的值是1（畫底線的地方），所以找不到讓v'(A→(B→A)) = 0的真值設定。因此 ⊧A→(B→A)成立。
     .
  2. 公理2：├(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
     如果有個真值設定v讓v'((A→(B→C))→((A→B)→(A→C))) = 0，那麼v'(A→(B→C)) = 1而且v'((A→B)→(A→C)) = 0。讓v'((A→B)→(A→C)) = 0，那麼v'(A→B) = 1而且v'(A→C) = 0。讓v'(A→C) = 0，那麼v'(A) = 1而且v'(C) = 0。v'(A) = 1，所以要讓v'(A→B) = 1的話，v'(B) = 1。但是v'(A) = 1而且v'(C) = 0而且v'(B) = 1的話，v'(A→(B→C)) = 0，和之前v'(A→(B→C)) 設定的值（畫底線處）不同。因此找不到讓v'((A→(B→C))→((A→B)→(A→C))) = 0的真值設定。⊧(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))成立。
     .
  3. 公理3：├(¬A→¬B)→(B→A)
     如果有個真值設定v讓v'((¬A→¬B)→(B→A)) = 0，那麼v'(¬A→¬B) = 1而且v'(B→A) = 0。讓v'(B→A) = 0，那麼v'(B) = 1而且v'(A) = 0。但是如此一來會讓v'(¬A→¬B) = 0，所以⊧(¬A→¬B)→(B→A)成立。
     .
• A是前提：
  當前提裡的所有語句φ在某個真值設定v底下，v'(φ) = 1，那麼v'(A)當然也會是1。

I.H.假設，當Γ├A的證明長度小於n時，如果Γ├A則Γ ⊧A。

I.C.當Γ├A的證明長度等於n時，A要嘛是公理，要嘛是前提，要嘛是用MP規則推論出來的。

A是公理的話，在B.C.已經證明公理都是恆真句了，所以Γ⊧A（Ａ是公理）。

A是前提的情況，證明方式和B.C.差不多。

A是用MP規則推論出來的，也就是說，Ａ是如下推論出來的：
第1行：Γ├某個句子
第2行：Γ├某個句子
…
第 i 行：Γ├B→A
…
第 j 行：Γ├B
…
第 n 行：Γ├A（根據第i行、第j行及MP）

因為第 i 行和第 j 行的推論長度都小於第 n 行，所以它們都可以使用I.H.做推論。所以可以得到Γ⊧B→A和Γ⊧B。Γ⊧B→A的意思是，在任何真值設定v下，如果有v'讓Γ裡所有語句的值都是1，那麼那個v'也會讓B→A的值是1（v'(B) = 0 或v'(A) = 1）。Γ⊧B的意思是，在任何真值設定v下，如果有v'讓Γ裡所有語句的值都是1，那麼那個v'也會讓B的值是1。

根據上一段畫了底線的那兩句話，可以知道，在Γ⊧B→A和Γ⊧B都成立的情況裡，
在任何真值設定v下，v'(A) = 1。因此，在Γ⊧B→A和Γ⊧B都成立的情況裡，Γ⊧A也成立。

得證PS這個證明系統的健全性。

參考資料：中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。

數學歸納法

數學歸納法（proof by induction）是集合論裡的定理（theorem）。這個定理用在語句邏輯上大概是這個樣子：

想證明某一類型的合法語句都具有某個性質P，就得先為該類型的語句們用自然數排序（例如句子裡面沒有連接詞的語句們的排序是0，有一個連接詞的語句們的排序是1之類的），然後就可以用數學歸納法了。

先證明排序中最小的語句們（例如，如果是用語句的連接詞數量來排序，那麼最小的排序是0；如果是用推論的長度來排序，那麼最小的排序是1）有性質P（base case），然後假設排序n的語句們有性質P（inductive hypothesis），再利用假設證明排序為n+1的語句們也有性質P（inductive case）。這樣就能得到我們想要的結論：任何排序的語句都有性質P。

有三種使用數學歸納法的方式，弱歸納法（weak induction）、強歸納法（strong induction）和良序歸納法（well-ordering induction）。但是我不清楚良序歸納法是什麼就不寫了。

弱歸納法

• Base Case：證明最小的排序有性質P。
• Inductive Hypothesis：假設排序為n的語句有性質P。
• Inductive Case：用IH證明排序為n+1的語句有性質P。
  得證任何排序的語句都有性質P。

強歸納法

• Base Case：證明最小的排序有性質P。
• Inductive Hypothesis：假設排序小於n的語句都有性質P。
• Inductive Case：用IH證明排序為n的語句有性質P。
  得證任何排序的語句都有性質P。（強歸納法的範例可以在這篇文章裡找到）

數學歸納法的部分我沒有讀得很清楚，所以這篇不是寫得很好。Kiki有在講義附上參考書目（Causey R. (2001), Logic, Sets, and Recursion.），有興趣的人可以找來看看。

參考資料：中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。

語句邏輯的證明系統

 （這裡用的A、B、C可以替換成其他合法的語句）

證明系統裡有公理（axiom）和推論規則（rule of inference）這兩個部分。

Kiki上課時用的證明系統（PS系統）裡只用了兩個連接詞，¬和→。不過我忘記要怎麼證明這兩個連接詞就夠用了。另外，Kiki有提到其實只要「｜」這個連接詞^*1就夠用。證明系統的公理越少，以後在證明健全性和完備性時會比較簡單，但是做推論時會比較麻煩，要寫好幾行才能推論出想要的東西。

PS系統裡會用到「├」這個符號，如果我沒記錯的話這個符號的名字是single term style。

證明（proof）：├A
意思是A是公理，或A是由公理和推論規則產生的。A不需要任何前提就能堆論出來。

推導（deduction）：Γ├A
意思是A是由Γ這組前提，以及公理和推論規則產生的語句。Γ是由語句們形成的集合。當Γ├A裡的Γ是空集合時，它就是├A。

一致（consistency）：
Γ 是個一致的集合，若且唯若，對於某個語句A而言，不會有Γ├A而且Γ├¬A的情況發生。

PS系統的公理：

1. ├A→(B→A)
2. ├(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
3. ├(¬A→¬B)→(B→A)

PS系統的推論規則：Modus Ponens（MP）

• 由├A→B和├A可以得到├B，或者
• A→B, A├B

有了公理和推論規則後，就可以推論出其它定理（theorem）（因為還沒證明語句邏輯的健全性和完備性，所以不能用語句的真假值來證明這些定理）：

推導├A→A。

1. ├A→((A→A)→A)                                          公理1
2. ├(A→((A→A)→A))→((A→(A→A))→(A→A))   公理2
3. ├(A→(A→A))→(A→A)                                  1,2,MP
4. ├A→(A→A)                                                  公理1
5. ├A→A                                                          3,4,MP

推導Γ, A├B若且唯若Γ├A→B（這是後設定理，因為在語句邏輯的語法裡沒有說「Γ」、「若且唯若」是合法的語句邏輯符號）。

1.如果Γ├A→B則Γ, A├B。
當Γ├A→B時，如果在前提裡加進A，讓前提從Γ變成Γ, A，那麼除了
Γ, A├A→B以外我們還可以得到Γ, A├A。根據MP規則，從Γ, A├A→B和Γ, A├A我們可以推論出Γ, A├B。

2.如果Γ, A├B則Γ├A→B。
這時候要用到數學歸納法。用推導的長度為Γ, A├B的推導們排序（例如之前推導├A→A時推導的長度是五行）。

Base Case：
證明當Γ, A├B推導的長度是一行時，Γ, A├B則Γ├A→B會成立。

Γ, A├B推導的長度是一時，要嘛B和A是同一個語句，要嘛B是公理或Γ裡的某個語句。

1. B和A是同一個語句：
   那麼根據├A→A這個定理，Γ├A→B會成立。
2. B是公理：
   因此Γ├B。加上公理1Γ├B→(A→B)，使用MP規則可以得到Γ├A→B。
3. B是Γ裡的某個語句：
   因此Γ├B。加上公理1Γ├B→(A→B)，使用MP規則可以得到Γ├A→B。

Inductive Hypothesis：
假設當Γ, A├B的推導長度小於n時，Γ, A├B則Γ├A→B會成立。

Inductive Case：
利用Inductive Hypothesis證明當Γ, A├B推導的長度是n行時，Γ, A├B則Γ├A→B會成立。

Γ, A├B推導的長度是n時，要嘛B和A是同一個語句，要嘛B是公理或Γ裡的某個語句，要嘛B是用MP規則推論出來的。

1. B和A是同一個語句：證明方式和Base Case一樣。
2. B是公理：同上。
3. B是Γ裡的某個語句：同上。
4. B是用MP規則推論出來的：
   也就是說，B是這樣推論出來的：
   第1行：Γ, A├某個句子
   第2行：Γ, A├某個句子
   …
   第 i 行：Γ, A├C→B
   …
   第 j 行：Γ, A├C
   …
   第 n 行：Γ, A├B（根據第i行、第j行及MP）
   
   因為第 i 行和第 j 行的推論長度都小於第 n 行，所以它們都可以使用Inductive Hypothesis做推論。所以Γ, A├C→B使用IH後我們得到Γ├A→(C→B)。Γ, A├C使用IH後得到Γ├A→C。再使用公理2Γ├(A→(C→B))→((A→C)→(A→B))和MP規則，就可以得到Γ├A→B。
   

其他PS系統裡的後設定理（大概不只這些）：

• Idempotence：Γ, A├A
• Monotonicity（單調性）：如果Γ├A，那麼Γ, Σ├A
• Cut：如果Γ, A├B而且Γ, A, B, Σ├C，那麼Γ, A, Σ├C

其他PS系統裡的定理：

• →的傳遞性：A→B, B→C├A→C
• ├¬A→(A→B)
  如果某組前提可以推論出A也可以推論出¬A（也就是說，這組前提不一致），那麼根據MP規則及這個定理，這組前提可以推論出任何語句。
• ├¬¬A→A
• ├A→¬¬A
• ├A→((A→B)→B)
• ├(A→B)→(¬B→¬A)
• ├(A→¬A)→¬A
• 懶得列了，就這樣。有興趣的人可以試試看自己推導這些定理。不過我幾乎都證不出來，嘛哈。

參考資料：中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。

Note：

1. 這個連接詞的真值表如下：
   A｜B
   T F T
   T T F
   F T T
   F T F

語句邏輯的語法和語意

（用φ、ψ、χ代表合法的語句，用Γ、Σ、Φ、Δ代表合法語句的集合 ）

語法（syntax）

定義合法的邏輯符號：

• ¬、∧、∨、→、↔　（邏輯連接詞）
• A、A₁、A₂、…B、B₁、B₂、…　（有可數無限大那麼多的語句符號）
• (、)　（括號）

定義合法的語句（well-formed formula，wff）：

1. A、A₁、A₂、…、B、B₁、B₂、…這些都是合法的語句。
2. 如果φ和ψ都是合法的語句，那麼下列這些也是：
   ¬φ、¬ψ
   φ∧ψ
   φ∨ψ
   φ→ψ
   φ↔ψ
3. 只有符合前兩點的才是合法的句子。

這樣的定義被稱為遞迴定義（recursive definition）。當你要確定某串符號是不是符合定義，就得一直往前追朔其他東西是不是符合定義。例如，要檢查(A∧C)→(↔B)是不是wff，就得檢查(A∧C)和↔B是不是wff（根據定義2）。要檢查A∧C是不是wff，就得看A和C是不是wff（根據定義2）；A和C是wff（根據定義1），所以A∧C是wff。而↔B不符合定義1也不符合定義2，所以它不是wff（根據定義3）。因此，(A∧C)→(↔B)不是wff。

使用遞迴定義的好處是只要寫幾行字就夠了，而且以後可以用數學歸納法做推論。

語意（semantics）

語意談論的是語句的真假值。賦予語句真假值的是函數v（被稱為structure或interpretation）和函數v'（v的unique extension）。

函數v的定義域是語句符號（sentence letter，SL）的集合；對應域則是{0,1}，1代表真，0代表假。換句話說，v會給每個原子語句（atomic sentence，原子語句是沒有用到任何邏輯連接詞的wff）設定真假值。（相關文章：Number of Structures in Sentential Logic - 哲學與思方）

v'的定義域是wff，對應域是{0,1}。詳情如下：

• v'(φ)=1 iff v(φ)=1
  v'(φ)=0 iff v(φ)=0
  v'給φ的真值設定為真，若且唯若，v給φ的真值設定為真。
  v'給φ的真值設定為假，若且唯若，v給φ的真值設定為假。
• v'(¬φ)=1 iff v'(φ)=0
  v'(¬φ)=0 iff v'(φ)=1
  v'給¬φ的真值設定為真，若且唯若，v'給φ的真值設定為假。
  v'給¬φ的真值設定為假，若且唯若，v'給φ的真值設定為真。
• v'(φ∧ψ)=1 iff v'(φ)=1 and v'(ψ)=1
  v'(φ∧ψ)=0 iff v'(φ)=0 or v'(ψ)=0
  .
• v'(φ∨ψ)=1 iff v'(φ)=1 or v'(ψ)=1
  v'(φ∨ψ)=0 iff v'(φ)=0 and v'(ψ)=0
  .
• v'(φ→ψ)=1 iff v'(φ)=0 or v'(ψ)=1
  v'(φ→ψ)=0 iff v'(φ)=1 and v'(ψ)=0
  .
• v'(φ↔ψ)=1 iff v'(φ)=v'(ψ)
  v'(φ↔ψ)=0 iff v'(φ)¹v'(ψ)

v只能為原子語句設定真假值，但是v的unique extension v'可以（根據v對原子語句的真值設定）為任何wff設定真假值。

定義完v和v'以後，就可以定義語句邏輯裡的恆真句（tautology）和蘊含（tautological consequence）了：

• tautological consequence：
  Γ ⊧φ iff ∀v, if ∀x∈Γ , v'(x)=1, then v'(φ)=1
  某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ，若且唯若，對所有的v而言（不同的v會給原子語句們不同的真假值），如果有v的unique extension v'使的Γ 裡的語句全部為真時，該v'也會讓φ為真。
  換句話說，某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ，若且唯若，不管Γ 和φ裡包含的原子語句們的真值設定是什麼，當Γ 裡的語句都為真時，φ也會為真。
  再換句話說，某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ，若且唯若，找不到可以讓Γ 裡的語句都為真而且φ為假的真值設定。
  .
• tautology：
  ∅⊧φ
  某個語句φ是恆真句，若且唯若，對所有的v而言，v的unique extension v'都會讓φ為真。
  換句話說，某個語句φ是恆真句，若且唯若，不管φ裡包含的原子語句們的真值設定是什麼，φ都會為真。

根據上述對⊧這個關於語句之間的關係（relation）的定義，我們可以發現它有幾個有趣的性質：

• 自反性（reflexivity）：φ⊧φ
• 喀嚓^*1（cut）：if Γ, φ⊧ψ and Σ, ψ⊧χ, then Γ, Σ, φ⊧χ
• 單調性（monotonicity）：if Γ⊧φ, then Γ,Σ⊧φ
• conditionalization：⊧φ→ψ iff φ⊧ψ
  （有修過蔡行健老師的基礎邏輯一的同學，這個就是（⊧，→）規則）
• clourse under MP：if Γ⊧φ→ψ and Γ⊧φ, then Γ⊧ψ

不相信的人可以自己檢查看看。

在這篇文章裡，我們用中文、英文、希臘字母和集合論描述語句邏輯。因此，中文、英文、希臘字母和集合論是後設語言（metalanguage），語句邏輯是目標語言（object language）。⊧不是邏輯符號，v和v'也不是，因為語法在定義合法的邏輯符號時沒有說它們是邏輯符號。⊧、v和v'是後設語言，不是目標語言。

參考資料：中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。

Note：

1. 來自老胡的可愛翻譯。

符合邏輯規則但不符合直覺的推論

上邏輯課時Kiki提到的幾個推論。

Gillies在2004發表的文章*1裡提到：

豪宅裡發生了謀殺案，在豪宅裡的雇員有在屋外工作的司機和園丁，以及在屋內工作的管家。這三個人都是嫌疑犯。已知管家有不在場證明。菜鳥助理判斷，「如果是在屋外工作的人殺了人，那麼兇手就是司機。」老練的偵探糾正他：「你說的條件句不成立。」

1. 要嘛兇手是司機，要嘛兇手是園丁。（根據司機、園丁和管家都是嫌疑犯，而管家有不在場證明）
2. 並非，如果是在屋外工作的人殺了人，那麼兇手就是司機。（根據老練偵探對新手的糾正）
3. 在屋外工作的人殺了人，而且兇手不是司機。（根據2和語句邏輯的推論規則）
4. 兇手是園丁。（根據3、在屋外工作的人只有司機和園丁）

可是，偵探想說的只是根據現有的線索兇手也可能是園丁，而非兇手一定是園丁。

Free choice permission：

剛剛才發現國小老師已經寫了，在這邊。

礦工案例：

十個礦工因為礦道崩塌被困在裡面。這十個礦工要嘛全部都在A坑道要嘛全部都在B坑道，但外面的人不知道他們到底在哪個坑道。已知明天會下大雨，而且沙包的數量只夠封住一個坑道，如果用沙包封住其中一個坑道，沒封的坑道裡如果有人的話那些人都會被淹死；如果都不封的話那十個人裡最矮的會被淹死。這時候我們通常會選擇不封坑道，可是：

1. 不封A坑道而且不封B坑道。（根據我們的選擇）
2. 如果礦工全部都在B坑道，那麼封A坑道。（根據案例中的設定和前件成立時我們的選擇）
3. 如果礦工全部都在A坑道，那麼封B坑道。（根據案例中的設定和前件成立時我們的選擇）
4. 礦工全部都在B坑道，或者礦工全部都在A坑道。（根據案例中的設定）
5. 封A坑道或封B坑道。（根據2、3、4和語句邏輯推論規則）
6. 並非，不封A坑道而且不封B坑道。（根據5和和語句邏輯推論規則）

1和6矛盾。

Joe之前跟我說的：

從(P∧Q)→R，我們可以用語句邏輯推論規則得到(P→R)∨(Q→R)。

然而，想像有個同時按兩個開關才會亮的奇怪電燈。「如果我按A開關而且我按B開關，那麼電燈會亮」不代表「如果我按A開關那麼電燈會亮，或者，如果我按B開關那麼電燈會亮」。

Note:

1. Anthony S. Gillies (2004). Epistemic Conditionals and Conditional Epistemics。感謝國小老師，我找到這篇文章啦。

相關文章：古典邏輯的實質條件句紛爭 - 哲學與思方

Sinnott Armstrong 1987 Moral Realisms and Moral Dilemmas

（本文待修改）

在這篇文章裡，Armstrong要用道德兩難的情境來論證極端的道德實在論（extreme moral realism theory）不會成立。底下的notes是我的意見或補充。

Armstrong對這篇文章會用到的概念的定義：

• 道德實在論（moral realism theory）：道德判斷為不為真，和某種心靈狀態沒有關係。

例如，有些道德實在論者可能會主張，道德判斷的真假值和個人喜好無關（不會因為我討厭吃芋頭而改變「種芋頭是道德上錯的的行為」這個判斷的真假值）；有些可能會主張，道德判斷為不為真和現實世界的人們的想法無關，而是跟理想世界中人們的看法有關；有些可能會主張，只和行為者（agent）在想什麼有關，和行為者以外的人（judger）在想什麼無關。

• 極端的道德實在論：主張有為真的道德判斷；而且只有真假值和任何心靈狀態都沒有關係的道德判斷才為真。

這個理論會允許這個情況發生：儘管所有人都認為吃狗肉是道德上錯的，「吃狗肉不是道德上錯的」仍然是正確的道德判斷。也就是說，人們認為某件事是道德上怎樣怎樣，和事實上某件事是道德上怎樣怎樣一點關係也沒有。

• 道德兩難（moral dilemma）：當簍雷處在，有某個道德要求要簍雷應該做A和B，而且簍雷沒辦法兩個都做，而且A和B兩個的重要性（或急迫性、正當性）是一樣的。

因為某個道德理由（moral reason）而去做A的意思是，考慮到做A後會出現的道德結果（例如能不能減少痛苦），或是考慮到A這個行為本身具有的道德性質（例如信守承諾是道德上對的）而去做A。 在下列條件下，道德理由將會是道德要求：如果S在沒有其他好的道德理由的情況下不做A，那麼S做了一件道德上錯的事。

Armstrong的論證：

想像這個情境（我不擅長想有趣的例子，看官們請忍受一下Armstrong舉的無聊範例）：

Jim之前答應他的同事在某年某月的某一天完成他的專案計畫，但基於天曉得是什麼的原因，在Jim沒有做錯任何事的情況下（例如偷懶），Jim的進度不如預期，而且明天就是最後期限了。然而今天是Jim他女兒的生日，按照慣例他們一家人會一起慶祝；雖然Jim之前沒承諾會參加，但大家都預期他會到場，而且如果Jim沒去的話她女兒會很失望。

如果Jim打算如期完成專案計畫，她女兒就得忍受沒有爸爸的生日派對；如果Jim打算赴生日派對，他就沒辦法完成答應同事的任務。而且專案計畫和避免女兒幼小的心靈受傷的重要程度是一樣的。因此現在Jim處於道德兩難的情境。

Jack處於和Jim在道德面向上幾乎一樣的兩難情境中，然而Jim比較想要經營家庭生活，Jack比較想要經營事業生活，而且他們的偏好不是基於對家庭或事業有錯誤的認知或誇大的想像。

極端道德實在論可以容許出現這種道德兩難，因為在上述的情況下「Jim應該遵守對同事的承諾」和「Jim不應該遵守對同事的承諾（而去陪女兒）」這兩個判斷的真假值和任何人的心靈狀態都無關*1，完全符合極端道德實在論者對道德判斷的定義。

Armstrong的論證是這樣的，

1. Jack應該遵守對同事的承諾。（根據對上述案例的判斷）
2. Jim應該不遵守對同事的承諾。（根據對上述案例的判斷）
3. 如果Jim應該不遵守對同事的承諾，那麼，並非Jim應該遵守對同事的承諾。（為推論出4而做的預設）
4. 並非Jim應該遵守對同事的承諾。（根據2、3）
5. 行為者應不應該遵守承諾端賴他個人比較想要經營怎樣的生活的考量。（根據1、4）
6. 如果極端的道德實在論為真，那麼對於行為者應該做什麼事的道德判斷不會受行為者個人比較想要經營怎樣的生活的影響。（根據極端的道德實在論的定義）
7. 極端的道德實在論是錯的。（根據5、6）

Armstrong對道德兩難論證的分析：

這個論證最重要的部分是1、2和3，除了6以外4到7都是從它們推論出來的，因此想要挽救極端道德實在論的人大概只要從那三個前提下手，也就是解釋「S應該做X」是什麼意思，就好了。可能的解釋方式至少有以下三種：

a. S應該做X，若且唯若，支持S做X的道德理由沒有被其他道德理由凌駕。另一個比較強的解釋是，

b. S應該做X，若且唯若，支持S做X的道德理由凌駕於其他道德理由。

c. S應該做X，若且唯若，支持S做X的道德理由沒有被其他道德理由凌駕，而且考慮到S（在沒有錯誤認知、不理性或偏見的情況下）打算怎麼經營他的人生，支持S做X的道德理由將會凌駕於其他道德理由。

在a的解釋下，遵守對同事的承諾和不遵守承諾端在道德上都一樣重要，沒有哪一個凌駕於另一個，因此對雙J而言這兩件事都是應該要做的，所以前提3是錯的。

在b的解釋下，遵守承諾和不遵守承諾端在道德上都一樣重要，沒有哪一個凌駕於另一個，因此對雙J而言這兩件事都不應該做。所以前提1和2是假的；前提3則為真，因為，如果Jim有凌駕於其他道德理由的道德理由要不遵守承諾端，那麼Jim當然就不應該把時間用在趕工那分專案計畫*2。

在c的解釋下，前提1、2和3都為真，因此這個論證成立。雖然這個解釋和平常我們對「S應該做X」的解釋可能不太一樣，但在這個論證裡它已經夠用了。

但是，試圖用重新解釋前提的方式來反駁論證的人，忽略了這個論證最重要的主張：道德判斷的真假值的確會受某些心靈狀態影響，而不是像極端道德實在論者宣稱的那樣。畢竟在道德兩難的情況中，雖然雙J遵守承諾也不是，不遵守承諾也不是，左右為難，但還是得選一個做，但是要怎麼選呢？既然在非心靈狀態的面向上雙J的情況幾乎一樣（所以不能用來判斷應該怎麼做），那麼就用某種心靈狀態判斷吧：Jim比較想要經營家庭生活，Jack比較想要經營事業生活，由此判斷要Jim陪女兒、Jack趕計畫。由此可見心靈狀態的確會影響道德判斷的真假值，因此極端道德實在論對道德判斷的定義大概不會對。

極端道德實在論者可能的反駁，及Armstrong對此的回應：

反駁a：解釋c和平常我們對「S應該做X」的解釋不一樣啦！看看解釋a和b多麼符合我們使用「S應該做X」的直覺啊。

回應：這個反駁要嘛沒搞清楚反極端道德實在論者想用這個論證幹嘛，要嘛低估了我們使用語言的彈性。這個論證不是要證明所有的道德判斷都要考慮某種心靈狀態，所以就算解釋a或b完全捕捉了我們使用「應該」的直覺也沒有比較贏。此外，解釋c的確捕捉了部分，而不是全部，我們使用「應該」的直覺。

繼續反駁：解釋c說的「應該」是speech acts或語用，沒有真假值可言。也就是，那根本算不上是道德判斷，那只代表了S做了要去做X的承諾。

再次回應：好啦，就算那只是個承諾而不是道德判斷，我們還是會覺得對於雙J在這個情境下應該做什麼事的道德判斷，得參考他們對自己人生的規畫。也就是說，解釋c的應該是不是speech act、是不是語用，和雙J應該做什麼行為沒有關係。*3

＊　　＊　　＊

反駁b：解釋c說的「應該」不是道德判斷，因為它不符合極端道德實在論對道德判斷的定義。因此前提6是錯的*4，這個論證不成立。

回應：解釋c說的「應該」是道德判斷。而且這個論證要討論的是，有些道德判斷是不是要考慮行為者對人生的規畫；然而極端道德實在論者直接把道德判斷定義為不考慮任何心靈狀態而做出的判斷，這是個循環定義，因此反駁b失敗。

＊　　＊　　＊

反駁c：指出這個情境不是道德兩難。
回應：修改情境，使雙J處於道德兩難。

＊　　＊　　＊

反駁d：我同意做道德判斷時可以考慮行為者之前的行為（但仍然不考慮行為者的心靈狀態，所以沒有違反極端道德實在論對道德判斷的定義）。例如Jim之前都比較照顧家庭，那麼以此為由判斷Jim應該陪女兒也會是個道德判斷。

回應：行為者之前之所以會做那些行為，是因為他們心裡的人生規畫或別的東西造成的，因此表面上考慮行為者之前的行為似乎和極端道德實在論對道德判斷的定義沒有衝突，但事實上有。

Armstrong總結道，目前似乎沒有好的理由能反駁道德兩難論證，所以我們似乎可以承認有些道德判斷的確會考慮到某些心靈狀態，因此極端的道德實在論對道德判斷的定義是錯的。

最後，Armstrong對道德兩難論證的澄清：

• 這個論證只反對極端的道德實在論，不是極端道德實在論者的人不必緊張。
• 這個論證只主張有些道德判斷會考慮某些心靈狀態，而不是全部的道德判斷都會考慮某些心靈狀態。
• 這個論證反對所有道德判斷都不考慮任何心靈狀態；但不反對有些道德判斷的確不考慮任何心靈狀態。
• 這個論證不反對如右的道德實在論：做道德判斷時不考慮真實世界裡的人的心靈狀態，而是考慮理想世界中的人的心靈狀態。
• 這個論證不反對如右的實在論：做道德判斷時不考慮行為者以外的人的心靈狀態，只考慮行為者的心靈狀態。
• 這個論證只在有道德兩難的情境下才健全。

Note:

1. 做道德判斷時考慮盡量減少某個人的痛苦，可不可以算是考慮某種心靈狀態？或者我們可以同情地把雙J之所以應該參加生日派對的原因理解為遵守家人間不明文的約定。
2. 我覺得3在解釋b底下為真是因為它的前件為假。這樣講不是比較簡單易懂嗎？
3. 我不確定自己對繼續反駁和再次回應的部分完全理解了，以下是原文：Moral realists might try to explain such uses in terms of speech acts and pragmatic effects rather than truth conditions. No pragmatic explanation, however, seems to be adequate, because it seems true that Jack ought to keep his promise but not that Jim ought to keep his promise, regardless of which speech act is done or which pragmatic effect is intended. This suggests that the  agents' ways of life determine the truth values of the judgments rather than only their speech acts and pragmatic effects. Thus, the first response fails.
4. 把前提5誤植為前提6嗎？畢竟前提6是從極端的道德實在論的定義推論出來的耶。

參考資料：
Sinnott Armstrong 1987 Moral Realisms and Moral Dilemmas

超驗的和先驗的

侯維之上課的時候提到「超驗的（transcendent）」和「先驗的（transcendental）」這兩個字雖然長得很像但意思可差多了。

這是康德做出的區分。「超驗的」指，把原本用在能從感官經驗觀察到的東西上的準則（principle）用在沒辦法從感官經驗觀察到的東西上，這麼做的結果當然是錯的；沒辦法用感官經驗觀察到的東西包括實體（substance）的概念*1、上帝（呃，或者是上帝的概念？）。「先驗的」，意思是不必用到感官經驗就能知道某個命題為不為真；例如，不用檢查我的隨身碟，我也知道「我的隨身碟裡要嘛有新世紀福音戰士要嘛沒有」為真。

我不是很清楚，把原本用在能從感官經驗觀察到的東西上的準則用在沒辦法從感官經驗觀察到的東西上到底是怎麼回事，而且到底是觀察到什麼東西我也不知道；我也不清楚「transcendental」和「a priori」能不能通用。不過已經三個禮拜沒更新了所以還是厚著臉皮寫上來，嘛哈。


*1：實體的概念是指，能獨立於其它東西而存在的東西。例如桌上的芒果就是一個實體，我們可以合理地想像這個情境：在某個可能世界裡只有那顆芒果，除此之外什麼都沒有。在不考慮柏拉圖的理形世界和類似的理論下，「是方的」這個性質不是實體，我們總是在某個東西上觀察到這個性質，像是方的眼鏡、方的西瓜，我們沒辦法想像只有「是方的」這個性質存在，除此之外什麼東西都沒有的世界。

但是我們沒辦法光靠觀察芒果或西瓜就說觀察到了實體的概念，概念本身和概念的指涉物是不一樣的。

照我對侯維之對康德對「transcendent」的說法似乎蘊含，幾乎所有的概念都沒辦法用感官經驗觀察到（不過我猜很多概念是從感官經驗學到的）。

概念、代表概念的符號、概念的指涉物

概念、代表概念的符號、概念的指涉物是三個不一樣的東西。

例如，我心中對太陽的概念是，白天、沒被雲擋住時掛在天上閃光強度如此這般的傢伙。我用「太陽」或「日」這些字，或tai yang、r（這是漢語拼音）這些發音代表符合上述概念的東西。而生活中每天東升西落為地球帶來溫暖的那顆大火球，就是我用「太陽」或「日」這些符號，或tai yang、r這些發音指涉到的東西。

知道這三個東西的差異後，我們可以釐清一些事情：

太陽的概念沒有辦法為地球帶來溫暖，太陽這個概念的指涉物才可以。因為概念和我們腦袋裡想的東西有關，而實際上在發光發熱的傢伙可是在離地球很遠的距離外呢。

代表概念的符號或聲音是可以改變的，例如當初造字時是用「目」而不是「日」來代表太陽的概念，那麼我們現在大概就會用「目」來代表太陽的概念。我們也可以用不同的符號或聲音代表同一個概念，例如剛剛提到的「日」和「太陽」。

關於代表概念的符號，還有使用該符號和提及該符號的區分。當我使用「太陽」的時候，我要說的是白天、沒被雲擋住時掛在天上閃光強度如此這般的傢伙；當我提及「太陽」的時候，我要說的是「太陽」這兩個符號。（相關文章，使用和提及 - 哲學哲學雞蛋糕）


參考書目：Roger-Pol Droit，沙發上的哲學對話，麥田。

烏鴉悖論和我的意見

科學哲學裡有一派立場叫邏輯經驗論（logical empiricism），他們其中一個主張是用邏輯系統翻譯經驗科學的理論，也就是說，把經驗科學的理論用邏輯表達；用邏輯表達的內容包括，怎麼知道一個命題有沒有意義，如果有意義的話，怎麼判斷這個命題是不是真的。

例如，如果我們有個科學理論是這樣的：

所有的烏鴉都是黑色的。

用「Rx」代表「x是烏鴉」，用「Bx」代表「x是黑色的」，我們可以把這個命題用述詞邏輯改寫成：

∀x(Rx→Bx)

我們要怎麼判斷這個命題有沒有意義？只要命題裡提到的事物理上有可能被觀察到，我們可以藉著直接或間接的感官經驗知道這個命題為不為真，這個命題就是有意義的命題。「所有的烏鴉都是黑色的」是個有意義的命題，因為我們能觀察到烏鴉，也能觀察烏鴉是不是黑色的。

我們要怎麼知道這個命題是不是真的？嗯，只要把世界上從過去到未來的所有烏鴉都找來，看看牠們是不是黑色的就好啦。可是要把世界上從過去到未來的所有烏鴉都找出來似乎不是我們能力所及的事，我們只能盡量檢查多一點的烏鴉來提高這個命題的可信度，但永遠沒辦法完全證明這個命題為真，此外，只要出現了一隻不是黑色的烏鴉，這個命題馬上就被證明是錯的。所以經驗科學理論通常沒辦法被完全驗證，只能被完全否證。

但韓培爾（Hempel）提出了烏鴉悖論（Raven paradox）告訴我們這樣的驗證方法好像會不符合我們的直覺。

根據古典命題邏輯，P：「所有的烏鴉都是黑色的」和Q：「不是黑色的東西都不是烏鴉」表達的是同一件事。黑色的烏鴉可以提高P的可信度；不是黑色的而且不是烏鴉的東西可以提高Q的可信度。但P和Q講的根本是同一件事，所以非黑的非烏鴉也可以當驗證P的例子。

欸，有沒有搞錯啊，用不是烏鴉的東西來支持「所有的烏鴉都是黑色的」噢？我們乾脆在一間破爛倉庫裡堆滿聖誕樹、多啦A夢、藍白拖、百香果然後歡呼「所有的烏鴉都是黑色的！」算了。

韓培爾認為其實這裡沒有悖論，不是烏鴉的東西的確可以當驗證例，理由有二。

1. 當我們說「所有的烏鴉都是黑色的」的時候，其實我們不只是在談論烏鴉；我們說的其實是「就算找遍了世界上所有時間點的所有東西，你也找不到不是黑色的烏鴉」，我們談論的是世界上所有的東西，因此拿不是烏鴉的東西當驗證例一點也不奇怪。
2. 尋找「所有的烏鴉都是黑色的」的驗證例時，我們只考慮那個東西是不是烏鴉、是不是黑色的，黑色烏鴉、黑色非烏鴉、非黑非烏鴉都是驗證例，非黑烏鴉是否證例；至於那個不是烏鴉的東西到底是聖誕樹還是拖鞋、那個不是黑色的東西到底是綠色的還是藍白色的一點都不重要。

我支持韓培爾的看法，不過他只說明了為什麼把不是烏鴉的東西當驗證例是合理的，沒說明為什麼我們直覺上不會把不是烏鴉的東西當驗證例，這可能會讓其他人難以接受烏鴉悖論被解決了。我想到另一個方式可以說明為什麼這樣的驗證方法會違反我們的直覺：

考慮這兩個命題以及（根據古典命題邏輯）它們的驗證例：

P：所有的烏鴉都是黑的（黑色烏鴉、黑的非烏鴉、非黑的非烏鴉）
R：所有的烏鴉都不是黑的（非黑烏鴉、黑的非烏鴉、非黑的非烏鴉）

非烏鴉的東西都可以驗證P，但他們同時也可以驗證R，因此這種驗證例沒辦法告訴我們，P和R到底哪個可信度比較高。然而黑色烏鴉可以驗證P並否證R；非黑烏鴉可以驗證R否證P。因此，當我們在檢查命題P時，只會把黑色烏鴉當驗證例，把非黑烏鴉當否證例，不考慮黑的非烏鴉、非黑的非烏鴉。

阿尿問我為什麼是拿「所有的烏鴉都不是黑的」而不是拿「有些烏鴉不是黑色的」跟「所有的烏鴉都是黑的」比較；因為當我們問一個命題為不為真時，我們問的是命題P和與P矛盾的命題¬P哪個是對的。

我試著用比較P和R的方式來比較「有些烏鴉不是黑色的」跟「所有的烏鴉都是黑的」，可是目前還沒成功；所以我想了一個理由說明為什麼我不比較P和¬P：

這裡要討論的是，在還沒有否證例出現的情況下（否證例出現的話真假立辨就不用玩了啊），根據現有的經驗證據，理論P和理論R哪個可信度比較高。所以我不用拿P和¬P來比較。

Kim對行為主義的批評

如果我是行為主義者（behaviorist），我想知道小丸子心情好不好，我可以從她嘴角有沒有上揚、說話的語調是不是很輕快等等行為知道；但是我要怎麼知道小丸子有「相信飛天麵條怪物不存在」的信念？有這種信念的人會有什麼行為？從小丸子不會早晚三炷香地拜飛天麵條神可以推論出她相信飛天麵條怪不存在嗎？我大概不能這樣推論，畢竟，小丸子可能相信飛天麵條怪存在但根本就不知道有拜拜這回事；小丸子可能真的有在燒香，卻只是燒好玩的而已。

想從小丸子的行為得知她相不相信飛天麵條怪存在，我可能可以這麼做：

安萍：「哈囉小丸子，你相信飛天麵條怪物存在嗎？」
小丸子：「我相信飛天麵條怪不存在窩～」

如此一來我就能知道小丸子相信飛天麵條怪不存在。

不過這種方法至少會有兩個麻煩：

1. 我能藉由問問題的方式得知小丸子的信念，預設了小丸子有語言能力，她能理解我吐出的一串聲音或一段文字到底是什麼意思，而且小丸子也能夠用我能理解的方式將她的答案傳達給我。但理解的行為不是行為主義者能說明的行為。
2. 我能藉由問問題的方式得知小丸子的信念，預設她願意對我說實話。但要說明小丸子為什麼會願意對我說實話，似乎無可避免地會出現「小丸子相信她應該對我說實話」之類的理由；這樣的說明有點循環，說明力可能會不太夠。

行為主義和行為

行為主義（behaviorism）討論的行為是什麼樣的行為？

Jaegwon Kim寫的Philosophy of Mind裡，區分出了四種行為：

1. 生理上的行為（Physiological activities and responses）：
   例如流汗、心臟跳動、膝跳反射這一類，而且自己沒辦法控制。
   
2. 身體動作（Bodily movements）：
   例如轉轉眼珠、舔自己的手肘、抖腳或扭屁股。
   
3. 牽涉到身體動作的行為（Actions which involve bodily motions）：
   有意圖地用身體動作達到某個目的，例如揮手跟朋友打招呼、比中指問候別人的祖宗十八代。
   
4. 沒牽涉到身體動作的行為（Actions which do not directly involve bodily motion）：
   例如想著明天午餐吃什麼、心算一加一等於幾、因為玩象棋十場九輸所以決定找技術很爛的學妹對局以消心頭之憤。

而行為主義要討論的是前兩種行為，因為後兩種行為都牽涉到了那個有心靈的東西的意圖，而意圖是沒辦法被客觀地觀察到的。

題外話：
侯維之一直很不爽有人講「做出X的動作」這樣的句子；我國三的英文老師也曾抱怨過新聞主播喜歡說「消防隊員做出救火的動作」。

我想他們的批評多少和第二種和第三種行為的差別有關；身體動作只是把身體擺出特定的姿勢，而行為則和目的有關。消防隊員救火的時候，不僅僅只是擺出穩住重心、手握噴水管的姿勢，只是擺姿勢的話隔壁的三歲小妹妹就會了，連拿個東西假裝是噴水管都免了；消防隊員救火的時候是有意圖地要藉著噴水來控制火勢的。

在動作和行為的區分下，說「消防隊員做出救火的動作」意思好像是消防隊員在玩辦家家酒一樣；此外，說不定有人洗澡的時候也會做出類似救火的動作，那麼說「消防隊員做出救火的動作」時，那個消防隊員到底在救火還是在洗澡啊？

相關文章：
行為主義、人際語言與天擇 - 哲學哲學雞蛋糕
Kim對行為主義的批評 - 啊啊哲學

語用（pragmatic）

如果哲學家只考慮語言的形式（有效性）和語意（和健全性有關），那麼哲學家們大概早就因溝通不良而被大眾排擠了，要是他們還沒死於惹惱別人而被追殺的話：

「欸簍雷，我剛剛跟小隨告白，結果她跟我說，『如果太陽從西邊出來，我就當你女朋友。』我沒希望了啦嗚哇啊啊啊！」
「白痴啊，你沒辦法從這句話推論出小隨永遠也不當你女朋友，這是無效推論。」*1

「不好意思，請問哪裡有加油站？」
「噢，經過郵局一直走走走，右手邊左轉，再右手邊左轉，右手邊左轉那間就是了。」
二十分鐘後，不時瞄向油箱的無辜駕駛人終於找到傳說中的加油站，五年前就廢棄的。

拄著拐杖的阿公搖搖簍雷的肩膀，問，「請問物理上你可不可能把尊臀往右移十公分？」
簍雷心讚：他問物理上的可能欸，還挺有哲學素養的嘛！觀察了他座位右邊十公分處的一片空曠，「這是物理上可能的。」
十秒後護父心切的婦人終於忍不住了，一掌從簍雷頭上巴下去：「死猴囡仔，叫你往右移空出位子來啦！」

除了形式（form）和語意（semantic）另一個在語言上扮演重要角色的就是語用（pragmatic）。我們沒辦法從字面上看出語用，而是要從對話的情境裡或溝通雙方共同的背景知識推敲除了字面上的意思外，那句話還意味著什麼別的東西。我猜許多溝通不良的例子都是因為沒把語用搞清楚，而且可能會讓別人覺得不夠體貼或者讓自己鬧出笑話，像是美國影集The Big Bang Theory裡的Sheldon Cooper（第一季第二集的這個，哈哈哈）。

在第一個例子裡，當有人說「如果太陽從西邊出來，我就當你女朋友」，她的意思不是字面上的：

如果太陽從西邊出來，我就當你女朋友；但不承諾太陽從別的方位升上來時會不會當你女朋友。

根據日常經驗，大部分的人不會把自己的話講得那麼精準，用邏輯直接翻譯那句話不會是個好主意，事實上小隨講的大概是這個：

只有在太陽從西邊升上來的時候我才會當你女朋友，但太陽根本不會從西邊升起來，所以你永遠也沒機會科科。

此外來向我們哭訴告白被打槍的傢伙通常是要抒發自己的挫敗還是其他什麼東西，而不是來報告自己的推論結果。

第二個例子裡，如果有駕駛人問哪裡有加油站時，我們會推測他的油箱快見底了，然後告訴他離這裡最近的、可以讓他的車加油的加油站。

第三個例子裡，我們預設其他人不會無緣無故問很簡單的問題、或者講出跟他的目的完全無關的話。當老杯杯問簍雷可不可能移開屁股，我們會猜他真正的意思是：我知道你移開屁股是件很容易的事，麻煩讓位子出來好嗎。


*1：我們也可以把這句話同情地理解成「又不是被拒絕一次就沒機會了，再接再厲啊」，不過這裡我想討論的不是這種解釋。

心物隨附性

這學期的心哲課本提到兩種心物隨附性（Mind-Body supervenience）：

心物隨附性Ⅰ：

心靈隨附於物質，若且唯若，物理性質相同的任何東西，他們的心靈性質都會相同。（這不蘊含，如果任何東西的心靈性質相同，那麼他們會有一樣的物理性質）

（例如，長得一模一樣的雙胞胎小隨和阿便目前都擁有同樣的物理性質：被《銀河便車指南》用同樣的角度和力道砸到鼻尖，那麼他們鼻尖上疼痛的感覺會一樣。）

心物隨附性Ⅱ：

心靈隨附於物質，若且唯若，如果某個東西有某個心靈性質M，那麼這個東西會擁有某個物理性質P，而且任何有P性質的東西都會有M性質。

（例如，小隨感覺到鼻尖上的疼痛，那麼表示小隨擁有（在這個例子裡是）被《銀河便車指南》用特定的角度和力道砸到鼻尖的物理性質，而且任何人被那本書用相同的方式對待的話他也會感覺到鼻尖上的疼痛。）

好吧，除了Ⅱ蘊含Ⅰ以外這兩個到底該死地有什麼不一樣？

心物隨附性Ⅰ不保證心靈和物質（例如大腦）有關係。考慮隨便兩坨不佔空間也不由物質組成的心靈，因為他們完全沒有任何物理性質，所以他們的物理性質一樣，那麼我們可以從心物隨附性Ⅰ推論出這兩坨東西的心靈性質完全一樣。此外，如果馬格西亞星球上的十億個心靈都沒有任何物理性質，那麼這一大堆壓不死人的心靈都擁有一模一樣的心靈狀態（所以嚴格來說馬格西亞星球上非物質的心靈只有一種），真是見鬼了！

而心物隨附性Ⅱ保證擁有心靈性質的東西都會有相應的物理性質，因此它蘊含我們的心靈性質是被我們的物理性質決定的。

相關文章：
感質與隨附性原則 - 哲學哲學雞蛋糕

PS.他們完全沒有任何物理性質，所以他們的物理性質一樣。真的可以這樣講嗎囧？

所有的東西都是X能推出有些東西是X

今天邏輯課時老師說，

所有的X都是Y推不出有些X是Y。
所有的東西都是X可以推出有些東西是X。

之所以會有這種差別是因為，我們目前學的邏輯系統有個公理是：

「所有的東西」這個集合不能是空集合。

因此所有的東西都是X可以推出有些東西是X。但公理沒規定X不能是空集合，所以X仍可能是空集合，因此所有的X都是Y推不出有些X是Y。

Forbes和自我呈現

Saul提供了區分語意和語用的方式說明簡單語句的等值替換失敗，Forbes也寫了一篇文章提供自己的解決方式，並且在文末批評Saul的方法。

Forbes對於直接脈絡的等值替換失敗提供了和 Frege 類似的解決方法，並聲稱它能比Saul提供的方法做得更好，因為這個方法可以解決簡單語句和間接脈絡下的等值替換失敗。先考慮簡單語句的情況：

(1)Clark Kent走進電話亭，然後Superman走出來。
(2)Clark Kent走進電話亭，然後Clark Kent走出來。

Forbes說，這兩個語句要表達的不只是字面上的意思，完整的解釋應該長成這樣：

(3)如此穿著的Clark Kent走進電話亭，然後如此穿著的Superman走出來。
(4)如此穿著的Clark Kent走進電話亭，然後如此穿著的Clark Kent走出來。

「如此」的指涉物會隨著它後面的詞改變，(3)裡的第一個「如此」指的是Clark Kent，第二個「如此」指的是Superman；而(4)的第二個「如此」指的是Clark Kent，和(3)的第二個「如此」意思不一樣，所以這裡的「Superman」和「Clark Kent」不能等值替換。

讓我們看看間接脈絡下的例子：

(5)Lois相信Superman會飛。
(6)Lois相信Clark Kent會飛。

完整的解釋會是這樣：

(7)Lois相信Superman會飛，以這樣的表達方式。
(8)Lois相信Clark Kent會飛，以這樣的表達方式。

「以這樣的表達方式」意思是Lois會用特定的文字組合表達她的信念。(7)的「這樣」指的是「Superman會飛」這個文字組合；而在(8)裡的「這樣」指涉到另一個文字組合：「Clark Kent會飛」。因為兩句的「這樣」意思不一樣，所以不能等值替換。

然後Forbes批評Saul的方法：

依照Saul的說法，下列這組語句會有一樣的語意。

(9)Lois相信Superman就是Superman。
(10)Lois相信Clark Kent就是Superman，雖然她不會說自己有這個信念。

僅僅藉著加上「雖然她不會說自己有這個信念」就能讓我們知道「Lois不相信Clark Kent就是
Superman」的語用嗎？

依照Saul的說法，下列這組語句也會有一樣的語意。

(11)Oedipus想和Jocasta結婚。
(12)Oedipus想和他媽媽結婚，雖然他不會這樣講。

可是「Jocasta」是專有名詞，「Oedipus的媽媽」是確定描述詞；前者在任何可能世界都會指涉到同一個人，後者則可能會指涉到不同的人，語意不一樣怎麼能等值替換勒？

我的意見：
Saul在她的文章最後建議，要嘛簡單語句跟間接脈絡用不同的方式解決，但是要說明為什麼非得用不同方式解決不可；要嘛兩種脈絡都用語用和語意的區分來解決，但要說明為什麼我們會覺得不符合直覺。現在我試試看第二個方法。

Lois相信Clark Kent就是Superman，雖然她不會說自己有這個信念，根據羅素的確定描述詞理論，用到間接脈絡的語句至少有兩種解釋：

(ws)存在一個獨一無二的人是Clark Kent，而且Lois相信這個人就是Superman。雖然Lois不會說自己有這個信念。
(ns)Lois相信：存在一個獨一無二的Clark Kent，而且他就是Superman。雖然Lois不會說自己有這個信念。

在第一種解釋下，Lois的信念僅僅是「某個特定的人就是Superman」，她的信念不包括那個特定的人到底是誰，再加上Lois不會說她相信Clark Kent就是Superman，(ws)的語用蘊含似乎是Lois不相信Clark Kent就是Superman。

在第二種解釋下，Lois明明相信Clark Kent就是Superman，但是打死也不肯說，這裡的語用蘊含是，Lois活脫脫是個傲嬌。

我猜我們通常會把間接脈絡的語句解釋成第二個，但Saul的解決方式似乎只能用在第一個解釋。說明為什麼不符直覺這條路我目前還想不到要怎麼走，但Predelli的質疑似乎可以另闢蹊徑，說明簡單語句跟間接脈絡為什麼要用不同的方式解決，這部份下集待續。

Forbes的第二個批評，我猜Saul可以說，既然「Jocasta」和「Oedipus的媽媽」語意不一樣，那不要等值替換就好了啊。（嘛，是Forbes的第二個批評太蠢，還是我太笨所以讀錯了Forbes的意思，或者我們兩個都很正常只是語言哲學太困難了？）

相關文章：
Forbes, G. (1997), "How Much Substitutivity?," Analysis, 57, 109-113.