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2.14.2011

語句邏輯的健全性

如果你不太能理解這篇文章在幹嘛,建議先讀過下列文章。
健全性(soundness):如果Γ├A,那麼Γ ⊧A。如果某組語句Γ可以推導出某個語句A,那麼不管語句們的真值設定是什麼,都不會出現Γ裡的語句都為真但A為假的情況(Γ可以是空集合)(健全性是後設定理)。

PS系統的健全性證明:

使用強數學歸納法,用推論出A需要幾行證明為Γ├A排序。

B.C.當證明行數為1的時候,A要嘛是公理,要嘛是前提。
  • A是公理:
    1. 公理1:├A→(B→A)
      如果有個真值設定v讓v'(A→(B→A)) = 0(讓A→(B→A)為假),那麼v'(A) = 1而且v'(B→A) = 0。想讓v'(B→A) = 0,那麼v'(B) = 1而且v'(A) = 0。但是v'(A)在之前設定的值是1(畫底線的地方),所以找不到讓v'(A→(B→A)) = 0的真值設定。因此 ⊧A→(B→A)成立。
      .
    2. 公理2:├(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
      如果有個真值設定v讓v'((A→(B→C))→((A→B)→(A→C))) = 0,那麼v'(A→(B→C)) = 1而且v'((A→B)→(A→C)) = 0。讓v'((A→B)→(A→C)) = 0,那麼v'(A→B) = 1而且v'(A→C) = 0。讓v'(A→C) = 0,那麼v'(A) = 1而且v'(C) = 0。v'(A) = 1,所以要讓v'(A→B) = 1的話,v'(B) = 1。但是v'(A) = 1而且v'(C) = 0而且v'(B) = 1的話,v'(A→(B→C)) = 0,和之前v'(A→(B→C)) 設定的值(畫底線處)不同。因此找不到讓v'((A→(B→C))→((A→B)→(A→C))) = 0的真值設定。⊧(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))成立。
      .
    3. 公理3:├(¬A→¬B)→(B→A)
      如果有個真值設定v讓v'((¬A→¬B)→(B→A)) = 0,那麼v'(¬A→¬B) = 1而且v'(B→A) = 0。讓v'(B→A) = 0,那麼v'(B) = 1而且v'(A) = 0。但是如此一來會讓v'(¬A→¬B) = 0,所以⊧(¬A→¬B)→(B→A)成立。
      .
  • A是前提:
    當前提裡的所有語句φ在某個真值設定v底下,v'(φ) = 1,那麼v'(A)當然也會是1。
I.H.假設,當Γ├A的證明長度小於n時,如果Γ├A則Γ ⊧A。

I.C.當Γ├A的證明長度等於n時,A要嘛是公理,要嘛是前提,要嘛是用MP規則推論出來的。
A是公理的話,在B.C.已經證明公理都是恆真句了,所以Γ⊧A(A是公理)。

A是前提的情況,證明方式和B.C.差不多。

A是用MP規則推論出來的,也就是說,A是如下推論出來的:
第1行:Γ├某個句子
第2行:Γ├某個句子

第 i 行:Γ├B→A

第 j 行:Γ├B

第 n 行:Γ├A(根據第i行、第j行及MP)

因為第 i 行和第 j 行的推論長度都小於第 n 行,所以它們都可以使用I.H.做推論。所以可以得到Γ⊧B→A和Γ⊧B。Γ⊧B→A的意思是,在任何真值設定v下,如果有v'讓Γ裡所有語句的值都是1,那麼那個v'也會讓B→A的值是1(v'(B) = 0 或v'(A) = 1)。Γ⊧B的意思是,在任何真值設定v下,如果有v'讓Γ裡所有語句的值都是1,那麼那個v'也會讓B的值是1

根據上一段畫了底線的那兩句話,可以知道,在Γ⊧B→A和Γ⊧B都成立的情況裡,
在任何真值設定v下,v'(A) = 1。因此,在Γ⊧B→A和Γ⊧B都成立的情況裡,Γ⊧A也成立。
得證PS這個證明系統的健全性。

參考資料:中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。

2 comments:

  1. 你是打算把整本邏輯寫完嗎..

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  2. 沒有,到述詞邏輯我就快GG了。

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