tag:blogger.com,1999:blog-86988016799472579992024-03-13T10:13:41.097+08:00啊啊哲學rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.comBlogger106125tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-56296896654280061082013-04-14T23:02:00.001+08:002013-04-17T13:56:54.638+08:00述詞邏輯的語法我們學英文這門語言時,首先會學這個英文有哪些符號(a, b, c, ...),然後學單字(apple, water, ...),再學怎麼組成合文法的句子。<br />
<br />
<div>
述詞邏輯也是一門語言,所以我們先學這個語言有哪些符號,然後學term,再學well-formed formula(合文法的句式,有人翻成完構式,簡稱wff)長什麼樣。</div>
<div>
<br />
<b>符號</b><br />
邏輯符號(所有述詞邏輯的語言都會有這些符號,而且這些符號的<a href="http://aaphi.blogspot.com/2013/04/structure-of-first-order-logic.html">詮釋</a>是規定好的,不開放任意詮釋)<br />
<ul>
<li>變元(variable):$v_1, v_2, ⋯$ (有時會用$x, y, z, u, v$之類的)</li>
<li>連接詞(connective):$¬, ∧, ∨, →, ↔$<br />$¬$的其他寫法:$~$<br />$∧$的其他寫法:$·$<br />$→$的其他寫法:$⊃$<br />$↔$的其他寫法:$≣$</li>
<li>量限詞(quantifier):$∃, ∀$(有些人認為量限詞是非邏輯符號才對)</li>
<li>等號:$=$(有些人認為等號是非邏輯符號才對)</li>
<li>括號,或叫分段符號:(, ), [, ], {, } </li>
</ul>
非邏輯符號(不是所有述詞邏輯的語言都會有這些符號)<br />
<ul>
<li>常元(constant):$a, b, c, ⋯, c_1, c_2, ⋯$ (長相不固定,如果有某個述詞邏輯的語言就是要拿「<a href="http://ppt.cc/4r0P">這個是放在,荷花的左邊</a>」當常元,我們也沒辦法)</li>
<li>述詞(predicate):$A, B, C, ⋯, P_1, P_2, ⋯, ∈, <, ⋯$(長相不固定)</li>
<li>函數(function):$f, g, h, ⋯, f_1, f_2, ⋯, +, -, ×, ÷, ⋯$(長相不固定)</li>
</ul>
<div>
在以上這些符號之外的東西,就不是述詞邏輯這門語言的符號了。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>Term</b></div>
</div>
<div>
<ol>
<li>所有變元和常元都是term。</li>
<li>如果$f$是一個$n$元函數,那麼把$f$的參數位置都用term填滿後得到的東西,也是term。</li>
<li>以上兩點之外的東西都不是term。</li>
</ol>
</div>
<div>
所以,如果語言$L$有$c$這個常元和$g$這個二元函數,那麼下列都是這個語言的term:</div>
<div>
<ul>
<li>$g(x, c)$</li>
<li>$g(g(x,c), c)$</li>
<li>$g(g(x,c), g(y, c))$</li>
<li>$g(g(g(x, y), c ), g(c, z))$</li>
</ul>
<div>
下列這些都不是這個語言的term:</div>
</div>
<div>
<ul>
<li>$g(c, x, c)$($L$裡沒有三元的函數$g$)</li>
<li>$g(a, c)$($L$裡沒有符號$a$)</li>
<li>$g(c)$($L$裡沒有一元的函數$g$)</li>
<li>$cc$</li>
</ul>
</div>
<div>
<b>Well-formed formula</b></div>
<div>
<ol>
<li>如果$P$是一個$n$元述詞,那麼把$P$的參數位置都用term填滿後得到的東西,就是wff。這種wff有個特定的名字叫atomic formula(原子句式),是最簡單的wff。</li>
<li>如果$α,β$都是wff,$v$是隨便哪個變元,那麼下列這些也都是wff:$(¬α)$, $(α∧β)$, $(α∨β)$, $(α→β)$, $(α↔β)$, $(∃vα)$, $(∀vα)$。(有時會適度省略一些括號)</li>
<li>以上兩點以外的東西都不是wff。</li>
</ol>
</div>
<div>
所以,如果語言$L$有$c$這個常數,和$g$這個二元函數,和$Q$這個二元述詞,那麼下列都是這個語言的wff:</div>
<div>
<ol>
<li>$Q(c, c)$</li>
<li>$Q(x, y)$</li>
<li>$Q(c, z)$</li>
<li>$Q(x, y)∧Q(x, y)$</li>
<li>$∃zQ(x, y)$</li>
<li>$∃x∀y[∃zQ(x, y)→¬Q(x, y)]$</li>
</ol>
</div>
<div>
我們會把裡面沒有出現自由(free)變元的formula稱為sentence。上列六個formula中,只有第一個和第六個是sentence。<br />
<br />
下列都不是這個語言的wff:<br />
<br />
<ul>
<li>$Q(c, c)= Q(c, c)$(等號是述詞,述詞的參數位置要放term,不是放formula)</li>
<li>$Q(Q(x,y), c)$($Q$是述詞,述詞的參數位置要放term,不是放formula)</li>
<li>$Q(c)$($L$裡沒有一元的述詞$Q$)</li>
<li>$∧Q(x, y)$</li>
<li>$Q(x, y)∃z$</li>
</ul>
</div>
rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-66997540558513190582013-04-14T14:40:00.000+08:002013-04-14T23:06:33.059+08:00述詞邏輯的語意有了L這個語言的<a href="http://aaphi.blogspot.com/2013/04/structure-of-first-order-logic.html">structure</a>,先把這個structure叫$M$好了,我們就可以判斷這個語言中沒有自由變元(free variable)的語句(sentence),在$M$裡是真的還是假的。<br />
<div>
<br /></div>
<div>
以$L'$這個有$a, b, P, Q, f, g$這些非邏輯符號的語言為例,其中$a, b$是常數,$P$是一元述詞,$Q$是二元述詞,$f$是一元函數,$g$是二元函數。我們設計一個$L'$的structure $A$如下:</div>
<blockquote class="tr_bq">
$U=\{0, 1, 2\}$<br />
$a^A=0$<br />
$b^A=1$<br />
$P^A=\{0, 2\}$<br />
$Q^A=\{(0,1), (1,2), (2,1)\}$<br />
$f^A=\{(0,2), (1,2), (2,0)\}$<br />
——意思是,$f^A(0)=2, f^A(1)=2, f^A(2)=0$<br />
$g^A=\{(0,0,0), (0,1,1),(0,2,2), (1,0,1), (1,1,1), (1,2,1),$ $(2,0,1), (2,1,0), (2,2,1)\}$<br />
—— 意思是,$g^A(0,0)=0, g^A(0,1)=1, g^A(0,2)=2, ⋯$</blockquote>
<div>
<div>
<b>原子語句(atomic sentence)的真假值</b></div>
<div>
在$A$這個structure裡,$P(a)$是真的還是假的?我們先看$a^A$指到什麼東西,再看看$a^A$指到的東西是不是在$P$的詮釋裡。在裡面,那麼$P(a)$是真的;不在裡面,那麼$P(a)$就是假的。$a^A$指到$0$,而且$0∈P^A$,所以$P(a)$在$A$裡是真的。$P(a)$在$A$裡是真的,通常會記為$A⊨P(a)$或$⊨_AP(a)$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
而$P(b)$因為$1∉P^A$,便是假的。$P(b)$在$A$中為假,則記為$A⊭P(b)$或$⊭_AP(b)$。$Q(a,b)$是真的,記為$A⊨Q(a,b)$,因為$(0,1)∈Q^A$。$A⊭Q(a,a)$,因為$(0,0)∉Q^A$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
至於P(f(a))在$A$裡的真假值,就把$a^A$指到的東西輸進$f^A$裡,看輸出的東西是不是在$P^A$裡。$a^A$指到$0$,$0$輸入$f^A$會輸出$2$(因為$(0,2)∈f^A$,其中$0$是輸入,$2$是輸出),而$2∈P^A$,所以$A⊨P(f(a))$。而$A⊭P(g(b,a))$,因為往$g^A$的第一個參數位置輸入$1$,第二個位置輸入$0$後,輸出的$1$不在$P^A$裡。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>有連接詞的語句的真假值</b></div>
<div>
和語句邏輯的計算方式差不多。例如</div>
<div>
<ul>
<li>$A⊭P(g(b,a))$,所以$A⊨¬P(g(b,a))$。$A⊨P(a)$,故$A⊭¬P(a)$。</li>
<li>$P(a)∧P(g(b,a))$只會在$P(a)$和$P(g(b,a))$都為真的情況下為真,所以$A⊭P(a)∧P(g(b,a))$。</li>
</ul>
</div>
<div>
<b>有量限詞(quantifier)的句子的真假值</b></div>
<div>
$∀xP(x)$的意思是,所有domain裡的東西都有$P$這個性質。目前$U=\{0,1,2\}$,也就是說,$∀xP(x)$的意思是$0∈P^A$而且$1∈P^A$而且$2∈P^A$。因為$1∉P^A$,所以$A⊭∀xP(x)$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$∃xP(x)$的意思是,至少有一個domain裡的東西有$P$這個性質。也就是說,$∃xP(x)$的意思是$0∈P^A$或者$1∈P^A$或者$2∈P^A$。所以$A⊨∃xP(x)$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$∀x∃yQ(x,y)$的意思是,所有domain裡的東西,都和domain裡至少一個東西有$Q$這個關係。要講得具體一點以幫助理解的話,我們可以先把$Q$視為某個二元關係,例如$x$喜歡$y$(這不代表$Q$這個述詞就是$x$喜歡$y$的意思,$Q$就只是某個述詞符號,$Q^A$僅僅是某個由二元序列構成的集合。就像國小或幼稚園老師教$1+1=2$的時候,把「$1$這個自然數,填進+這個函數的兩個參數位置後,就會輸出$2$」生動地講成,一個蘋果和另一個蘋果放在一起就是兩個蘋果那樣。雖然$1+1=2$和蘋果半毛關係也沒有,但這樣舉例子比較容易理解),那麼$∀x∃yQ(x,y)$的意思便是,每個東西都至少喜歡一個東西。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
不過句子太複雜或太長的話,我們可能沒辦法用舉實例的方式,理解句子的意思。不過還有別的辦法。也可以這樣理解$∀x∃yQ(x,y)$:$∀x∃yQ(x,y)$是指所有domain裡的東西都滿足$∃yQ(x,y)$,也就是</div>
<blockquote class="tr_bq">
$∃yQ(x,y)[^x_0]$而且$∃yQ(x,y)[^x_1]$而且$∃yQ(x,y)[^x_2]$</blockquote>
<div>
$∃yQ(x,y)[^x_0]$的意思是$∃yQ(x,y)$中的$x$會指到domain裡的$0$。我們不能直接寫$∃yQ(0,y)$是由於,$0$不是term,所以$∃yQ(0,y)$不是<a href="http://aaphi.blogspot.com/2013/04/syntax-of-first-order-logic.html">合文法的字串</a>。(私底下想把$∃yQ(x,y)[^x_0]$腦補成$∃yQ(0,y)$是沒問題,但別在正式場合這麼做)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
而$∃yQ(x,y)[^x_0]$可以理解成,至少有一個domain裡的東西會滿足$Q(x,y)[^x_0]$,也就是,</div>
<blockquote class="tr_bq">
$Q(x,y)[^x_0,^y_0]$或者$Q(x,y)[^x_0,^y_1]$或者$Q(x,y)[^x_0,^y_2]$。</blockquote>
<div>
所以,$∃yQ(x,y)[^x_0]$而且$∃yQ(x,y)[^x_1]$而且$∃yQ(x,y)[^x_2]$的意思就會是:</div>
<blockquote class="tr_bq">
【$Q(x,y)[^x_0,^y_0]$或者$Q(x,y)[^x_0,^y_1]$或者$Q(x,y)[^x_0,^y_2]$】而且<br />
【$Q(x,y)[^x_1,^y_0]$或者$Q(x,y)[^x_1,^y_1]$或者$Q(x,y)[^x_1,^y_2]$】而且<br />
【$Q(x,y)[^x_2,^y_0]$或者$Q(x,y)[^x_2,^y_1]$或者$Q(x,y)[^x_2,^y_2]$】。</blockquote>
</div>
<div>
<div>
也就是<br />
<blockquote class="tr_bq">
【$0$喜歡$0$,或者$0$喜歡$1$,或者$0$喜歡$2$】而且<br />
【$1$喜歡$0$,或者$1$喜歡$1$,或者$1$喜歡$2$】而且<br />
【$2$喜歡$0$,或者$2$喜歡$1$,或者$2$喜歡$2$】</blockquote>
因為domain裡的每個東西的確都喜歡至少一個東西,所以$A⊨∀x∃yQ(x,y)$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>有自由變元的句式(formula)的真假值</b></div>
<div>
有自由變元的句式,基本上沒辦法判斷真假值。試想以下幾個句式:</div>
<ul>
<li>$1=1$</li>
<li>$2=1$</li>
<li>$x=1$</li>
</ul>
<div>
第一個句式顯然是真的,第二個顯然是假的,但第三個就難辦了,因為我們不知道$x$到底是指哪個數,所以無從判斷$x$是不是等於$1$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
既然問題的根源在於,不知道$x$到底是指什麼,那麼就發派一個東西給$x$去指不就得了。負責這項指派業務的玩意兒,就是一元的assignment function(我不知道這個東西有沒有固定的中文譯名,如果硬要翻的話,就叫指派函數好了)。這個函數和邏輯語言裡那個非邏輯符號的函數的詮釋不一樣。Assignment function的定義域是所有變數的集合(而不是structure的domain,和對非邏輯符號的函數的詮釋不一樣),值域是structure的domain裡的某一個東西。也就是,只要我們輸入某個變數給assignment function,問它這個變數是指啥,它就會輸出一個structure的domain裡的東西,回答我們此變數是指structure的domain裡的這個東西。</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
問不同的assignment function同一個問題,可能會得到不同的答案。例如$h_1(x)=1$但$h_2(x)=2$之類的。這時在$h_1$這個assignment function的指派之下,$P(x)$在$A$中為假,因為$1∉P^A$,記為$A⊭P(x)[h_1]$,而在$h_2$的的指派之下,$P(x)$在$A$中為真,因為$2∈P^A$,記為$A⊨P(x)[h_2]$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
有時我們會看到一些長相比較奇特的assignment function,例如$h^x_1$。$h^x_1$是指,我們已經有一個assignment function $h$,而$h^x_1$是個這樣的函數:輸入$x$會輸出$1$,輸入$x$以外的變數會輸出和$h$一樣的東西;也就是</div>
<blockquote class="tr_bq">
$h^x_1(v)=1$ , if $v=x,$($v$是variable的意思)<br />
$h^x_1(v)=h(v)$, if $v≠x$</blockquote>
<div>
依此類推,</div>
<blockquote class="tr_bq">
$h^x_1^y_2(v)=1$ , if $v=x, $<br />
$h^x_1^y_2(v)=2$ , if $v=y, $<br />
$h^x_1^y_2(v)=h(v)$, if $v≠x$ and $v≠y$</blockquote>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>重要概念</b></div>
<ol>
<li>某個structure $M$讓某個句子$φ$為真的話,我們就會就說$M$這個structure是$φ$的<b>模型(model)</b>。(不過structure和mode這兩個字常混用就是了)</li>
<li>某個語言$L$中的句子$φ$是<b>可滿足的(satisfiable)</b>,若且唯若,至少有一個$L$的structure,和一個該structure的assignment function(如果$φ$裡有自由變元的話會用上,沒有的話,assignment function就只是來插花的)會讓$φ$為真。</li>
<li>某個語言$L$中的句子$φ$是<b>邏輯真理(logical truth)</b>,記為$⊨φ$,若且唯若,所有$L$的structure,和所有該structure的assignment function都會讓$φ$為真。<br />也就是,任選一個$L$的structur和它的隨便那個assignment function,$φ$在裡面都會是真的。</li>
<li>某個語言$L$中的語句集合$Γ$,<b>蘊含(imply)</b>該語言的某個句子$φ$,記為$Γ⊨φ$,若且唯若,所有會讓$Γ$裡全部句子都為真的$L$的structure,和所有該structure的assignment function,也都會讓$φ$為真。<br />也就是,$Γ$裡全部句子都為真的時候,$φ$也會為真。</li>
</ol>
<div>
第3點,是第4點中的$Γ$取為空集合而產生的特例。</div>
rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-89297488756208830632013-04-13T22:54:00.000+08:002013-04-14T23:52:19.166+08:00述詞邏輯的structure<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;">語句邏輯的句子是用真值表來判斷真假值,述詞邏輯的句子則是用structure來判斷。Structure是由domain和對<a href="http://aaphi.blogspot.com/2013/04/syntax-of-first-order-logic.html">非邏輯符號</a>的詮釋(</span><span style="line-height: 17.98611068725586px;">interpretation</span><span style="line-height: 17.98611068725586px;">)構成的;至於要詮譯哪些非邏輯符號,就看語言中的非邏輯符號有哪些,詮釋那些就可以了。</span></span><br />
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;"><br /></span></span></div>
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">以某個有$c_1, c_2, P_1, P_2, f_1, f_2$這些非邏輯符號的語言為例,其中$c_1, c_2$是常數,$P_1$是一元述詞,$P_2$是二元述詞,$f_1$是一元函數,$f_2$是二元函數</span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;">(</span></span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">此處符號的下標和述詞及函數是幾元一模一樣只是偶然</span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">),這個語言的s</span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;">tructure大致會長成這樣:$M=(U, c_1^M, c_2^M, P_1^M, P_2^M, f_1^M, f_2^M)$。</span></span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">以下一一介紹這些符號的意思。</span></div>
<div>
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;"><b>Structure的名字</b></span></div>
$M=(U, c_1^M, c_2^M, P_1^M, P_2^M, f_1^M, f_2^M)$中的$M$和上標的$^M$顯示了這個structure的名字是$M$,意思是model。取名時通常會用大寫英文字母,有時會用特殊字形呈現,以示區隔,例如$M$的花體字是$\fr M$。<br />
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;"><b>Domain</b></span></div>
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;">$U$指structure的domain,$U$是universe的意思。有些人不會寫$U$來表示domain,而是寫$D$,或dom($M$),或$|M|$(最後兩個寫法和structure的名字有關。不過</span><span style="line-height: 17.98611068725586px;">$|M|$這個寫法可能會讓人誤以為你想談的是$M$的domain的基數(cardinality),也就是domain裡有幾個東西</span><span style="line-height: 17.98611068725586px;">)。或者structure的名字用特殊字形,然後domain就用一般字形呈現</span></span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">,例如</span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;">$\fr A$這個structure的domain就用$A$表示</span></span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">。</span><br />
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;"><br /></span>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">當我們在說structure的大小、structure有多大時,我們指的是它的domain的基數。</span></div>
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">Domain是一個集合,而且不能是空集合。我們可以把structure理解成是某個世界,domain則決定了這個世界上有哪些東西。</span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">你可以依自己喜好往domain這個集合裡加進任何東西,例如數字、英文字、中文字、人、幾何圖案;</span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">加無限個東西進去也行,例如讓domain是所有實數的集合</span><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;">。以下是一些domain這個集合可能的長相:</span></div>
</div>
<ul>
<li>$\{0, 1, 2\}$ </li>
<li>{$0, △, @, a$, Doctor House, 嗨!, 飛天麵條神}</li>
</ul>
不過為了書寫方便起見,通常只會放數字或英文字。我們暫定$M$的domain是$\{0, 1, 2\}$。<br />
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;"><b>常數的詮釋</b></span></span></div>
<div>
$c_1^M$是指,$c_1$這個常數在$M$裡的詮釋。$c_1^M∈U$,也就是,$c_1^M$會等於domain裡的某一個成員。我們可以把常數理解成domain裡某個東西的名字;一個東西可以有很多個常數當作名字,就像一個人可以有很多個綽號類似;但一個常數不能指到一個以上的東西,因為重名的話,我們就不知道那到底是在叫誰了。以下是一些$c_1, c_2$這兩個常數在$M$中可能的詮釋:<br />
<ul>
<li><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;">$c_1^M = 0, c_2^M = 1$</span></span></li>
<li><span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif;"><span style="line-height: 17.98611068725586px;">$c_1^M = 0, c_2^M = 0$</span></span></li>
</ul>
<span style="color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 17.98611068725586px;"><b>述詞的詮釋</b></span><br />
$P_1^M$是指,$P_1$這個述詞在$M$裡的詮釋。我們對述詞的詮釋是<a href="http://phiphicake.blogspot.tw/2008/05/blog-post_6798.html">外延</a>(extension)式的。如果$P$是一個$n$元述詞,那麼$P^M⊆U^n$。$P^M$也是一個集合,而和domain不同的是,述詞的詮釋可以是空集合。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$U^n$是$U×⋯×U$乘$n$次的意思。$A×B$是一個由二元序列(tuple)構成的集合,序列中的第一個東西來自$A$,第二個來自$B$,把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合,就是$A$×$B$。例如,<br />
<blockquote class="tr_bq">
若$A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$,則$A×B=$ $\{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$。</blockquote>
$A×B×C$則是由許多三元序列構成的集合,序列中的第一個東西來自$A$,第二個來自$B$,第三個來自$C$,把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合,就是$A×B×C$。例如,<br />
<blockquote class="tr_bq">
若$A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$,$C=\{5,6\}$,則$A×B×C=$ $\{(1,3,5), (1,4,5), (2,3,5), (2,4,5), (1,3,6), (1,4,6), (2,3,6), (2,4,6)\}$</blockquote>
在序列裡,東西的順序很重要,$(1,2)$和$(2,1)$是不同的序列,這點和集合很不一樣,$\{1,2\}$和$\{2,1\}$都是同一個集合。(也有人用角括號表示序列,但是我還沒弄清楚怎麼在blogger上打出角括號)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
完全沒弄懂前面$P^M$ ⊆ $U^n$是什麼鬼玩意的人別擔心,先來看幾個例子。我們可以把一元述詞$P_1$的詮釋想成,我們想讓domain裡的哪些東西有$P_1$這個性質,我們就把那些東西放到$P_1^M$這個集合裡。$P_1$在$M$裡幾個可能的詮釋:<br />
<ul>
<li>$\{1\}$ </li>
<li>$\{0, 2\}$ </li>
<li>$\{0, 1, 2\}$ </li>
<li>∅</li>
</ul>
</div>
<div>
我們可以把二元述詞$P_2$的詮釋想成,我們想讓domain裡哪兩個東西有$P_2$這個關係,就把那兩個東西放到$P_2^M$這個集合裡。或者更生動一點地說(就像國小或幼稚園老師教$1+1=2$的時候,把「$1$這個自然數,填進+這個函數的兩個參數位置後,就會輸出$2$」生動地講成,一個蘋果和另一個蘋果放在一起就是兩個蘋果那樣。雖然$1+1=2$和蘋果半毛關係也沒有,但這樣舉例子比較容易理解),把$P_2$想成某個二元關係,例如$x$喜歡$y$,我們想讓domain裡的$0$喜歡自己的話,就把$(0,0)$放進$P_2^M$這個集合裡,想讓domain裡的$1$喜歡domain裡的$2$的話,就把$(1,2)$放進去。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$P_2$在$M$裡幾個可能的詮釋:</div>
<div>
<ul>
<li>$\{(0,0), (0,1), (0,2)\}$ ($0$喜歡domain裡的所有東西,$1$和$2$則什麼東西都不喜歡)</li>
<li>$\{(0,1), (1,0), (2,0)\}$ ($0$和$1$互相喜歡,$2$單戀$0$)</li>
<li>∅(每個東西都不喜歡每個東西)</li>
</ul>
</div>
<div>
如果我們遇到的是三元述詞,而且這個述詞的詮釋不是空集合的話,集合裡的東西會長得像$(□,□, □)$,其中空格的部分各填進一個domain裡的東西。總的來說,如果遇到的是$n$元述詞,而且述詞的詮釋不是空集合的話,集合裡的東西會長得像$(□, ...,□)$,共$n$個空格,其中每個格子都填進一個domain裡的東西。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
等號這個述詞非常特別,它是邏輯符號(不過有些邏輯學家不這麼認為,但目前先當作等號是邏輯符號),所以一般而言等號的詮釋已經規定好了,不是我們想要讓哪兩個domain裡的東西相等,就可以把那兩個東西組成的序列丟進等號的詮釋裡。等號的詮釋這個集合裡,放的東西一律是,每個domain裡的東西,自己和自己構成的序列,也就是,$\{(x,x)|x∈domain\}$。現在domain$=\{0,1,2\}$,所以$=^M=\{(0,0), (1,1), (2,2)\}$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b>函數的詮釋</b></div>
<div>
$f_1^M$是指,$f_1$這個函數在$M$裡的詮釋。如果函數$f$是$n$元的,則它的定義域是$U^n$,值域是$U$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
我們有個把函數轉成集合的辦法:函數是$n$元,我們就弄出$n+1$元的序列,序列的前面$n$格放輸入值,最後一格放輸出值。例如$g(x)=x+1$這個定義在自然數上的一元函數,轉成集合後會長這樣:$\{(0,1), (1,2), (2,3), ...\}$。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
函數的定義是,如果輸入值在定義域裡的話,就一定要有輸出值,而且輸出值只能有一個。所以在詮釋函數時也要符合這條規定。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
所以,$f_1^M$的定義域是$\{0, 1, 2\}$,因為$f_1$是一元函數。而$f_1^M$會長這樣:$\{(0,□), (1,□), (2,□)\}$,其中每個空格都填進一個domain裡的東西,就能得到一個可能的詮釋。所有空格都填同一個東西也沒關係。</div>
<div>
<br /></div>
<div>
$f_2^M$的定義域是$\{(0,0), (0,1),(0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)\}$,因為$f_2$是二元函數。而$f_2^M$會長這樣:$\{(0,0,□), (0,1,□),(0,2,□), (1,0,□),$ $(1,1,□), (1,2,□), (2,0,□), (2,1,□), (2,2,□)\}$,其中每個空格都填進一個domain裡的東西。<br />
<br />
如何用structure判斷句子是真的還是假的?請見<a href="http://aaphi.blogspot.com/2013/04/semantic-of-first-order-logic.html">述詞邏輯的語意</a>。</div>
rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-50275645901821470122012-11-16T10:59:00.000+08:002012-11-16T11:00:44.816+08:00公理,定理,引理和系理對象語言(object language)和後設語言(metalanguage)<br />
<blockquote class="tr_bq">
當有人用英文研究拉丁文時,對象語言是拉丁文,後設語言是英文。對象語言和後設語言可以是同一套語言,例如用中文研究中文的時候。基本上,後設語言中要具備對象語言裡的所有符號,不然討論對象語言時可能會遇上困難。例如,若只用中文研究英文,便無法寫出「water的意思是水」這種句子,因為後設語言裡沒有英文字母;若後設語言是一套由英文字母和中文構成的語言,就可以。我們在用中文、英文和某邏輯語言的符號,討論該邏輯語言時,對象語言是該邏輯語言,後設語言是一套由中文、英文和該邏輯語言的符號構成的語言。</blockquote>
公理(axiom)<br />
<blockquote class="tr_bq">
</blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
在邏輯系統中,不需要證明就可以拿來用的句式(formula)便是公理。你可以問選這些句式當公理有什麼好處,但沒辦法要求證明這些句式。如果你覺得某邏輯系統的其中一些公理不能滿足你的需求(例如,不能完美模仿人類的推論方式),可以另闢一套邏輯系統,放自己喜歡的公理。但那套系統有沒有研究價值、是否有人想用則是另一回事。</blockquote>
定理(theorem)<br />
<blockquote class="tr_bq">
僅利用某邏輯系統的公理,或利用公理及系統允許的推論規則就能證明的句式,便是該邏輯系統的定理。根據定義,任一邏輯系統的公理均是其定理。</blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
定理還有另一個意思。對象語言是某套邏輯系統的邏輯文章裡,定理通常指作者主要想證明的句子,這個句子使用後設語言有,但對象語言沒有的符號描述該邏輯系統的性質。因為這種定理中出現了那套邏輯語言沒有的符號,所以無法被該邏輯系統的公理或推論規則證明。語句邏輯的演譯定理(deduction theorem)便是這樣的句子。第二種意思的定理被稱為後設定理(metatheorem)。</blockquote>
引理(lemma)<br />
<blockquote class="tr_bq">
引理也是用後設語言描述邏輯系統的性質的句子。引理通常指,用來幫助證明後設定理的重要踏腳石。是後設定理還是引理,端賴它在文章中是否為作者的主要目標,因此可能發生,同一個句子在這篇文章中是引理,在另一篇文章中是後設定理的情況。</blockquote>
系理(corollary)<br />
<blockquote class="tr_bq">
系理也是用後設語言描述邏輯系統的性質的句子。後設定理蘊含的一些重要結果便是系理,至於哪些被蘊含的結果才是重要的,則由作者決定;作者大多會選和他等一下要討論的事有關的結果當系理。一但證明後設定理,要證明該後設定理的系理通常很容易。</blockquote>
rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-11501228707329408542011-10-08T12:14:00.004+08:002011-10-09T14:08:54.205+08:00九十九年中正哲學碩班甄試邏輯試答<b>I. True or False</b><br />
<ol><li><b>[(A∨B)→C]→[(D∧¬C)→(A→E)] is a tautology.</b><br />
<b>T</b></li>
<li><b>∃x(∀yPy→Rx) is logically equivalent to ∀yPy→∃xRx.</b><br />
<b>T</b><br />
1.∃x(∀yPy→Rx) 前提<br />
2.∀yPy ACP for ∃xRx<br />
3.∀yPy→Rx 1, EI<br />
4.Rx 2,3, MP<br />
5.∃xRx 4, EG<br />
6.∀yPy→∃xRx 2-5, CP<br />
.<br />
1.∀yPy→∃xRx 前提<br />
2.¬∃x(∀yPy→Rx) AIP<br />
3.∀x¬(∀yPy→Rx) 2, EQ<br />
4.∀x(∀yPy∧¬Rx) 3, Impl, Dem, DN<br />
5.∀yPy∧¬Rx 4, UI<br />
6.∀yPy 5, Simp<br />
7.∃xRx 1,6, MP<br />
8. ¬Rx 5, Simp<br />
9.∀x¬Rx 8, UG<br />
10.¬∃xRx 9, EQ<br />
11.∃xRx∧¬∃xRx 7,10, Conj<br />
12.∃x(∀yPy→Rx) 2-11, IP<br />
.</li>
<li><b>Suppose A is contingent. If A and B are inconsistent and A and C are inconsistent, then B and C must be inconsistent. </b><br />
<b>F</b><br />
A和B不一致,而且A和C不一致,表示A和B不可能同時為真,而且A和C不可能同時為真。所以當A為真時,B和C都不會為真;但A為假時,B和C的真值不管怎麼設定都不會和「A和B不一致,而且A和C不一致」的前提有衝突。所以A和B不一致,而且A和C不一致,而且B和C一致的情況是有可能的。<br />
.<br />
或者,畫出A、B、C的真值表,然後把A和B同時為真的那列劃掉,再把A和C同時為真的那列劃掉,最後檢查剩下的列裡有沒有B和C同時為真的情況。<br />
.</li>
<li><b>P∧R logically implies Q if and only if P logically implies P→Q and R logically implies R→Q.</b><br />
<b>F</b><br />
P∧R⊧Q iff P⊧P→Q and R⊧R→Q<br />
A蘊含(imply,⊧)B的意思是,當A為真時,B也會為真(不會有A為真B為假的情況)。檢查A if and only if B為不為真的方式有三種:<br />
<blockquote>一、當A為真時,B也為真。而且當B為真時,A也為真。<br />
二、當A為假時,B也為假。而且當B為假時,A也為假。<br />
三、當A為真時,B也為真。而且當A為假時,B也為假。</blockquote>我用第二種方式檢查。<br />
P∧R⊧Q只會在P和R為真,Q為假的時候為假。在P和R為真,Q為假的時候,P⊧P→Q and R⊧R→Q也為假。<br />
P⊧P→Q and R⊧R→Q會在P或R為真,Q為假的時候為假。在P和R只有其中一個為真,Q為假的時候,P∧R⊧Q會為真。<br />
.<br />
因為有P∧R⊧Q為真,但P⊧P→Q and R⊧R→Q為假的情況(P和R只有其中一個為真,Q為假),故P∧R⊧Q iff P⊧P→Q and R⊧R→Q為假。<br />
.</li>
<li><b>A is true unless B is false. So A and B cannot be both true.</b><br />
<b>F</b><br />
P: A is true.<br />
Q: B is true.<br />
「A is true unless B is false」可以被改寫成P∨¬Q。當P和Q皆為真時,P∨¬Q也為真。所以A和B可以同時為真。</li>
</ol><b>II. A politician made the following statement during a TV interview: </b><br />
<b>“If I am not attending a congressional meeting, I am planning for a better future of our country. And if I am not planning for a better future of our country, I am listening to our people for their opinions.” What’s wrong with his statement?</b><br />
<blockquote>A: I am attending a congressional meeting.<br />
P: I am planning for a better future of our country.<br />
L: I am listening to our people for their opinions.<br />
<br />
這位政治家說的話可以被改寫成¬A→P, ¬P→L。<br />
<br />
1.¬A→P 前提<br />
2.¬P→L 前提<br />
3.¬P ACP<br />
4.A 1,3, MT<br />
5.L 2,3, MP<br />
6.A∧L 4,5, Conj<br />
7.¬P→(A∧L) 3-6, CP<br />
8.¬(A∧L) 根據常識,大概沒有人可以一邊開國會會議一邊聴取人民的意見。<br />
9.P 7,8, MT<br />
<br />
這位政治家一直在為國家的美好未來做打算。不過大概沒有人能無時無刻都掛念著同一件事。</blockquote><b>III. Let “Lxy” stand for “x loves y”,</b><br />
<b> “Hxy” stand for “x hates y” and</b><br />
<b> “Px” stand for “x is a philosopher”.</b><br />
<b>Please symbolize the following sentence.</b><br />
<b>Someone who is not a philosopher loves exactly two different philosophers who hate each other.</b><br />
<blockquote>∃x(¬Px∧∃y∃z(Lxy∧Lxz∧∀u(Lxu→(u=y∨u=z))∧¬y=z∧Py∧Pz∧Hyz∧Hzy))</blockquote><b>IV. Please prove the following valid argument.</b><br />
<b>∀x(Rx↔Qx), ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx) /∴ ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx</b><br />
<div><ol><li>∀x(Rx↔Qx)</li>
<li>∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx)</li>
<li>∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px) ACP for ∀x¬Rx</li>
<li>¬(Px↔Qx)↔Rx 2, EI</li>
<li>(¬Px↔Qx)↔Rx 4, 等價</li>
<li>¬Px↔(Qx↔Rx) 5, 等價</li>
<li>[¬Px∧(Qx↔Rx)]∨[Px∧¬(Qx↔Rx)] 6, Equiv</li>
<li>Rx↔Qx 1, UI</li>
<li>¬Px∨(Rx↔Qx) 8, Add, Comm</li>
<li>¬[Px∧¬(Qx↔Rx)] 9, Dem, DN, 等價</li>
<li>¬Px∧(Qx↔Rx) 7,10, DS</li>
<li>¬Px 11, Simp</li>
<li>(∃yRy∧∃yQy)→Px 3, UI</li>
<li>¬(∃yRy∧∃yQy) 12,13, MT</li>
<li>∀y¬Ry∨∀y¬Qy 14, QN</li>
<li>¬∀y(¬Ry∨¬Qy) AIP</li>
<li>∃y(Ry∧Qy) 16, QN, DeM, DN</li>
<li>Ry∧Qy 17,EI</li>
<li>∃yRy∧∃yQy 18, Simp, EG, Conj</li>
<li>¬∀y¬Ry∧¬∀y¬Qy 19,QN</li>
<li>¬(∀y¬Ry∨∀y¬Qy) 20, Dem, DN</li>
<li>(∀y¬Ry∨∀y¬Qy)∧¬(∀y¬Ry∨∀y¬Qy) 15,21, Conj</li>
<li>∀y(¬Ry∨¬Qy) 16-22, IP</li>
<li>¬Rx∨¬Qx 23, UI</li>
<li>¬(Rx∧Qx) 24, Dem, DN</li>
<li>(Rx∧Qx)∨(¬Rx∧¬Qx) 8, Equiv</li>
<li>¬Rx∧¬Qx 25, 26, DS</li>
<li>¬∀yQy 27, Simp, EG, QN</li>
<li>∀y¬Ry 15,28, DS</li>
<li>¬Rz 29, UI</li>
<li>∀x¬Rx 30, UG</li>
<li>∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx 3-31, CP</li>
</ol><div>另一個方法:</div></div><div><ol><li>∀x(Rx↔Qx)</li>
<li>∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx)</li>
<li>¬[∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx] AIP </li>
<li>∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)∧¬∀x¬Rx 3, DeM, DN</li>
<li>∃xRx 4, Simp, QN</li>
<li>Rx 5, EI</li>
<li>Rx↔Qx 1, UI</li>
<li>Qx 6,7, Equiv, Simp, MP</li>
<li>∃yRy∧∃yQy 6,8, EG, Conj</li>
<li>¬(Py↔Qy)↔Ry 2, EI</li>
<li>∃yRy∧∃yQy→Py 4, Simp, UI</li>
<li>Py 9,11, MP</li>
<li>¬Py↔(Qy↔Ry) 10, 等價</li>
<li>Qy↔Ry 1, UI, 等價</li>
<li>¬Py 13,14, Equiv, Simp, MP</li>
<li>Py∧¬Py 12,15, Conj</li>
<li>∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx 3-16, IP</li>
</ol><div>相關文章:</div><div><a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/100.html">一百年中正哲學碩班甄試邏輯試題試答</a> - 啊啊哲學</div></div>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-32009847866388378372011-10-07T12:01:00.001+08:002011-10-08T12:22:45.409+08:00中正的研究所開始招生(101學年度)重要日程表<br />
<ul><li>簡章發售日期:10月6日起。</li>
<li>報名期間:10月6日至10月25日。</li>
<li>「系所指定繳交資料」郵寄截止日:10 月26 日。</li>
<li>複試:11月18日至11月20日(確切日期以各系所正式通知為準)。</li>
</ul><div>相關連結:</div><div><a href="http://exams.ccu.edu.tw/exam2/s2_new.htm">國立中正大學101學年度碩士班、博士班甄試招生公告</a><br />
<a href="http://exams.ccu.edu.tw/">國立中正大學招生資訊</a><br />
<a href="http://www.exam.ccu.edu.tw/">國立中正大學招生系統</a></div>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-15427763707414787792011-10-01T17:40:00.002+08:002011-10-08T12:18:13.550+08:00確定描述詞理論的困難之前提過<a href="http://aaphi.blogspot.com/2010/02/blog-post_15.html">確定描述詞理論的內容</a>和<a href="http://aaphi.blogspot.com/2010/02/02.html">它能解決的問題</a>,現在來看看它會遇上什麼麻煩。<br />
<br />
一,「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」在確定描述詞理論的分析下會變成像「單身漢是沒結婚的男人」一樣的廢話。<br />
<blockquote>我們會認為「單身漢是沒結婚的男人」是廢話,是因為單身漢這個專有名詞的意思其實就是就代表沒結婚的男人。我不須要出門觀察單身漢是不是都沒結婚而且都是男人,就可以根據「單身漢」這個專有名詞的意思判斷「單身漢是沒結婚的男人」為不為真。<br />
<br />
確定描述詞理論把專有名詞當成偽裝的確定描述詞,在確定描述詞理論的分析下,「摩西」這個專有名詞的意思其實就是帶領以色列人離開埃及的人。因此,我只要根據「摩西」這個專有名詞的意思就可以判斷「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」為不為真。<br />
<br />
然而,我們通常不會認為「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」是廢話,也就是,我們可以從這句話學到新東西。所以確定描述詞理論的分析大概有問題。<br />
<br />
有些人會反駁,在確定描述詞理論的分析下,「摩西」這個專有名詞的意思不是帶領以色列人離開埃及的人,而是,帶領以色列人離開埃及的人,或制定十誡的人,或分開紅海的人,或…。所以,「摩西」這個專有名詞的意思只告訴我們,摩西做過這個或者摩西做過那個或者…。我們沒辦法從「摩西」這個專有名詞的意思得知摩西到底做過什麼。因此「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」不是廢話,這句話告訴我們摩西到底做過什麼。<br />
<br />
不過,即使「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」不是廢話,「摩西是帶領以色列人離開埃及的人,或摩西是制定十誡的人,或摩西是分開紅海的人,或摩西是…」仍然是廢話。 </blockquote><blockquote>然而,我們通常不會認為只要根據「摩西」這個專有名詞的意思就可以判斷「摩西是帶領以色列人離開埃及的人,或摩西是制定十誡的人,或摩西是分開紅海的人,或摩西是…」為不為真,我們可以從這句話學到新東西。所以改良後的確定描述詞理論的分析大概還是有問題。</blockquote>二,Saul Kripke提出的反例。<br />
<blockquote>我們通常會用下列句子描述柏拉圖:<br />
<ul><li>出生時被命名為柏拉圖的人。</li>
<li><a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%90%E5%A4%9A%E7%AF%87">《斐多篇》</a>的作者。</li>
<li><a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%86%E6%83%B3%E5%9B%BD">《理想国》</a>的作者。</li>
<li>…</li>
</ul>然而,柏拉圖出生時不叫柏拉圖,而是<a href="http://www.scideanews.com/content/full/nh20080803a2">亞里斯特克勒斯(Aristocles)</a>。<br />
<br />
想像古希腊時代有個出生時被命名為柏拉圖的人,他生性孤僻,幾乎不和其他人接觸。他碰巧做過亞里斯特克勒斯做過的每件事,例如他也寫了《斐多篇》、《理想国》、…。但他死後完全沒有人記得他,他的著作也不曾傳世。<br />
<br />
然而這個孤僻的傢伙比亞里斯特克勒斯更符合「出生時被命名為柏圖的人、《斐多篇》的作者、《理想国》的作者、…」這些描述,所以當我們使用這些描述時,根據確定描述詞理論,我們談論的是那個孤僻的傢伙,而不是亞里斯特克勒斯。但這怎麼會對呢?畢竟,我們根本不知道那個孤僻的傢伙的存在,我們要怎麼談論一個我們從來沒意識到其存在的東西?</blockquote><br />
參考資料<br />
P.54,55,57 Collin, F. & Guldmann, F. (2005) Meaning, Use and Truth [Ashgate]<br />
<br />
相關文章<br />
<a href="http://phi-thinking.blogspot.com/2011/08/strawson.html">對描述詞理論的一個攻擊,以及兩種回應</a> - 哲學與思方rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-43992275078119336512011-09-30T17:51:00.001+08:002011-09-30T17:53:15.399+08:00素樸集合論的困難素樸集合論(naive set theory)是這樣定義集合的:<br />
<blockquote>{x | x符合條件A、B、C…}</blockquote>意思是,把符合A、B、C…這些條件的東西蒐集起來,就可以得到一個集合。<br />
<br />
例如,屬於{x | x是猫}這個集合裡的東西都是猫,屬於{x | x是上帝}這個集合裡的東西都是上帝。可能有人會爭論{x | x是上帝}是不是空集合,如果不是的話那個集合裡有幾個東西,不過這對素樸集合論沒什麼威脅。真正的麻煩是,有些集合的條件會產生悖論。<br />
<br />
1906年G. G. Berry提出了{x | x是可以用一行字定義的正整數(x is a positive integer definable in one line of type)} 這個集合。這個集合裡的東西有:<br />
<ul><li>12345</li>
<li>(把質數由小到大排列)第一百個質數</li>
<li>x<sup>4</sup> - 17x<sup>3</sup> + 101x<sup>2</sup> - 247x + 210 = 0這個多項式的解</li>
<li>…</li>
</ul>然而,有些正整數沒辦法只用一行字定義,因此不屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數} 這個集合。不過我們可以為這些沒辦法只用一行字定義的正整數排大小,最小的那個數可以用下列這句話定義:<br />
<blockquote>最小的不可以用一行字定義的正整數。</blockquote>而這句話只有一行,所以該數屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數} 這個集合!但是怎麼會有東西不屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數}而且屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數}呢?<br />
<br />
<br />
另一個悖論來自羅素(Russell),所以叫羅素悖論(Russell's paradox),不過Ernst Zermelo也自行想到這個悖論。<br />
<br />
1902年時,羅素提出了{x | x ∉ x}這個集合,這個集合蒐集不屬於自己的東西。這個集合裡的東西有:<br />
<ul><li>{x | x是猫}({x | x是猫}這個集合裡蒐集的東西是猫,{x | x是猫}是集合而不是猫,所以{x | x是猫}這個集合裡不會蒐集「{x | x是猫}」這個東西)</li>
<li>{x | x是上帝}</li>
<li>…</li>
</ul>那麼,{x | x ∉ x}這個集合屬不屬於自己?{x | x ∉ x}要嘛屬於自己,要嘛不屬於自己,如果它屬於自己,表示它滿足{x | x ∉ x}中x ∉ x這個條件,那麼它不屬於自己。如果它不屬於自己,表示它沒有滿足{x | x ∉ x}中x ∉ x這個條件,所以它屬於自己。<br />
<br />
不管{x | x ∉ x}這個集合屬不屬於自己,都會產生矛盾。<br />
<br />
參考資料:<br />
P.4-6, Enderton, H. B. (1977) Elements of set theory [Academic Press]<br />
<br />
相關文章:<br />
<a href="http://phi-thinking.blogspot.com/2009/09/russell-paradox.html">羅素悖論</a> - 哲學與思方rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-47251265482379486772011-08-08T23:22:00.000+08:002011-08-08T23:22:05.609+08:00九十七學年度中正哲學轉學考邏輯試答符號說明:<br />
<ul><li>"¬" : not</li>
<li>"∧" : and</li>
<li>"∨" : or</li>
<li>"→" : if... then ...</li>
<li>"↔" : if and only if</li>
<li>"∀" : for all</li>
<li>"∃" : there is</li>
</ul>我做邏輯推論時主要用的是十八條規則,參考書目為<a href="http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010138302">彭孟堯的符號邏輯</a>。<br />
<br />
第一部份:語句邏輯<br />
<br />
1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句,並同時標明各原子語句所代表的中文語句。<br />
(a)張三喜歡邏輯或哲學,但並非兩者都喜歡。<br />
<blockquote>A:張三喜歡邏輯。B:張三喜歡哲學。<br />
(A∨B)∧¬(A∧B)</blockquote>(b)雖然張三喜歡邏輯,但是李四不喜歡。<br />
<blockquote>A:張三喜歡邏輯。B:李四喜歡邏輯。<br />
A∧¬B</blockquote>2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。<br />
(¬P∨¬Q), (Q∧R) / (P→R)<br />
<blockquote>(¬P∨¬Q), (Q∧R) / (P→R)<br />
F T F FT T T T T T T<br />
F T F FT T F F T F F<br />
F T T TF F F T T T T<br />
F T T TF F F F T F F<br />
T F T FT T T T F T T<br />
T F T FT T F F F T F<br />
T F T TF F F T F T T<br />
T F T TF F F F F T F<br />
沒有前件皆真後件為假的情況,故此論證有效。</blockquote>3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。<br />
(P∨Q), ((P→R)∧(R→Q)) / Q<br />
<blockquote>1.P∨Q<br />
2.(P→R)∧(R→Q)<br />
3.¬Q AIP<br />
4.P 1,3,DS<br />
5.R 2,4,Simp,MP<br />
6.Q 2,5,Simp,MP<br />
7.¬Q∧Q 3,6,Conj<br />
8.Q 3-7,IP</blockquote>4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。<br />
((P∨(Q→R))→((P∨Q)→(P∨R)))<br />
<blockquote>1.P∨(Q→R) ACP for (P∨Q)→(P∨R)<br />
2.P∨Q ACP for P∨R<br />
3.¬P ACP for R<br />
4.Q 2,3,DS<br />
5.Q→R 1,3,DS<br />
6.R 4,5,MP<br />
7.¬P→R 3-6,CP<br />
8.P∨R 7,Impl,DN<br />
9.(P∨Q)→(P∨R) 2-8,CP<br />
10.(P∨(Q→R))→((P∨Q)→(P∨R)) 1-9,CP</blockquote>第二部份:述詞邏輯<br />
<br />
5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。<br />
(j:張三;Dx:x是狗;Oxy:x擁有y;Bxy:x咬y)<br />
(a)張三擁有至少兩隻狗。<br />
<blockquote>(∃x)(∃y)(Dx∧Dy∧¬x=y∧Ojx∧Ojy)</blockquote>(b)有隻狗咬張三。<br />
<blockquote>(∃x)(Dx∧Bxj)</blockquote>6.證明以下的論證為無效論證。<br />
(∀x)(Px→Qx), ¬(∀x)Px/(∃x)¬Qx<br />
<blockquote>前件皆真後件為假的反例:<br />
D={0}<br />
P={}<br />
Q={0}</blockquote>7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。<br />
(a)((∃x)Pxa→Qa), (∀x)(¬Qx∨¬Rx) / (∀x)(Ra→¬Pxa)<br />
<blockquote>1.(∃x)Pxa→Qa<br />
2.(∀x)(¬Qx∨¬Rx)<br />
3.Ra ACP for ¬Pxa<br />
4.¬Qa∨¬Ra 2,UI<br />
5.¬Qa 3,4,DS<br />
6.¬(∃x)Pxa 1,5,MT<br />
7.(∀x)¬Pxa 6,QN<br />
8.¬Pxa 7,UI<br />
9.Ra→¬Pxa 3-8,CP<br />
10.(∀x)(Ra→¬Pxa) 9,UG</blockquote>(b)(∀x)(Pax→(Qx→Rb)), ¬(∀x)¬Qx, (∀x)Rax / (∃x)Rx<br />
我猜題目有筆誤。第三個前提大概要改成Pax。<br />
<blockquote>1.(∀x)(Pax→(Qx→Rb))<br />
2.¬(∀x)¬Qx<br />
3.(∀x)Pax<br />
4.(∃x)Qx 2,QN<br />
5.Qx 4,EI<br />
6.Pax 3,UI<br />
7.Pax→(Qx→Rb) 1.UI<br />
8.Qx→Rb 6,7,MP<br />
9.Rb 5,8,MP<br />
10.(∃x)Rx 9,EG</blockquote>8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。<br />
<blockquote>(∃x)(¬Px∨(∀x)Px)<br />
1.¬(∃x)(¬Px∨(∀x)Px) AIP<br />
2.(∀x)¬(¬Px∨(∀x)Px) 1,QN<br />
3.¬(¬Px∨(∀x)Px) 2,UI<br />
4.Px∧¬(∀x)Px 3,DeM,DN<br />
5.Px 4,Simp<br />
6.(∀x)Px 5,UG?(應該可以吧)<br />
7.¬(∀x)Px 4,Simp<br />
8.(∀x)Px∧¬(∀x)Px 6,7,Conj<br />
9.(∃x)(¬Px∨(∀x)Px) 1-8,IP</blockquote><br />
<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/08/blog-post.html">九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答</a><br />
<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/08/blog-post_08.html">九十八學年度中正哲學轉學考邏輯試答</a>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-36705342935533945472011-08-08T16:23:00.003+08:002011-08-08T23:23:50.429+08:00九十八學年度中正哲學轉學考邏輯試答符號說明:<br />
<ul><li>"¬" : not</li>
<li>"∧" : and</li>
<li>"∨" : or</li>
<li>"→" : if... then ...</li>
<li>"↔" : if and only if</li>
<li>"∀" : for all</li>
<li>"∃" : there is</li>
</ul>我做邏輯推論時主要用的是十八條規則,參考書目為<a href="http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010138302">彭孟堯的符號邏輯</a>。<br />
<br />
第一部份:語句邏輯<br />
<br />
1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句,並同時標明各原子語句所代表的中文語句。<br />
(a)中正大學在颱風來時放假。<br />
<blockquote>A:颱風來台。B:中正大學放假。<br />
A→B</blockquote>(b)除非經濟復甦,否則失業人數會繼續增加。<br />
<blockquote>A:經濟復甦。B:失業人數繼續增加。<br />
A∨B</blockquote>2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。<br />
((I→¬Y), (S∧Y)) / (S∧¬I)<br />
<blockquote>((I→¬Y), (S∧Y)) / (S∧¬I)<br />
T F F T T T T T F FT<br />
T F F T F F T F F FT<br />
T T T F T F F T F FT<br />
T T T F F F F F F FT<br />
F T F T T T T T T TF<br />
F T F T F F T F F TF<br />
F T T F T F F T T TF<br />
F T T F F F F F F TF<br />
沒有前件皆真後件為假的情況,故此論證有效。</blockquote>3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。<br />
G→(H→K), H→(K→E), ¬G∨H / ¬G∨E<br />
<blockquote>1.G→(H→K)<br />
2.H→(K→E)<br />
3.¬G∨H<br />
4.G ACP for E<br />
5.H 3,4,DS<br />
6.H→K 1,4,MP<br />
7.K 5,6,MP<br />
8.K→E 2,5,MP<br />
9.E 7,8,MP<br />
10.G→E 4-9,CD<br />
11.¬G∨E 10,Impl</blockquote>4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。<br />
(P→((¬P∨¬Q)→¬Q))<br />
<blockquote>1.P ACP for (¬P∨¬Q)→¬Q<br />
2.¬P∨¬Q ACP for ¬Q<br />
3.¬Q 1,2,DS<br />
4.(¬P∨¬Q)→¬Q 2-3,CP<br />
5.P→((¬P∨¬Q)→¬Q) 1-4,CP</blockquote>第二部份:述詞邏輯<br />
<br />
5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。(a:張三;b:小華;Pxy:x暗戀y;Bx:x是男孩)<br />
(a)最多只有兩個男孩暗戀小華。<br />
<blockquote>(∀x)(∀y)((Bx∧By∧Pxb∧Pyb)→(∀z)((Bz∧Pzb)→(z=x∨z=y)))</blockquote>(b)所有的男孩中,只有張三暗戀小華。<br />
<blockquote>(∀x)((Bx∧Pxb)→x=a)</blockquote>6.證明以下的論證為無效論證。<br />
(∀x)(¬Wx∨¬Px), (∀x)¬Wx / (∃x)¬Px<br />
<blockquote>前件皆真後件為假的反例:<br />
D={0}<br />
W={}<br />
P={0}</blockquote>7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。<br />
(∃x)(Mx∧Kx)→(∀y)Ay, ¬Aa / (∀x)(Mx→¬Kx)<br />
<blockquote>1.(∃x)(Mx∧Kx)→(∀y)Ay<br />
2.¬Aa<br />
3.(∃y)¬Ay 2.EG<br />
4.¬(∀y)Ay 3.QN<br />
5.¬(∃x)(Mx∧Kx) 1,4,MT<br />
6.(∀x)(¬Mx∨¬Kx) 5,QN,DeM,DN<br />
7.(∀x)(Mx→¬Kx) 6.Impl</blockquote>8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。<br />
<blockquote>(∀x)(¬Px→(Px→Qx))<br />
1.¬Px ACP for Px→Qx<br />
2.Px ACP for Qx<br />
3.Px∨Qx 2.Add<br />
4.Qx 1,3,DS<br />
5.Px→Qx 2-4,CP<br />
6.¬Px→(Px→Qx) 1-5,CP<br />
7.(∀x)(¬Px→(Px→Qx)) 6,UG</blockquote><a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/08/blog-post.html">九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答</a><br />
<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/08/blog-post_4805.html">九十七學年度中正哲學轉學考邏輯試答</a>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-19723200850449708262011-08-08T14:59:00.006+08:002012-06-30T00:43:57.536+08:00九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答符號說明:<br />
<ul>
<li>"¬" : not</li>
<li>"∧" : and</li>
<li>"∨" : or</li>
<li>"→" : if... then ...</li>
<li>"↔" : if and only if</li>
<li>"∀" : for all</li>
<li>"∃" : there is</li>
</ul>
我做邏輯推論時主要用的是十八條規則,參考書目為<a href="http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010138302">彭孟堯的符號邏輯</a>。<br />
<br />
第一部份:語句邏輯<br />
<br />
1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句,並同時標明各原子語句所代表的中文語句。<br />
(a)如果張三喜歡邏輯,則李四喜歡邏輯。反之亦然。<br />
<blockquote>
A:張三喜歡邏輯。B:李四喜歡邏輯。<br />
A↔B</blockquote>
(b)只有降低利率,才能挽救金融危機。<br />
<blockquote>
A:利率被降低。B:金融危機被挽救。<br />
B→A</blockquote>
2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。<br />
¬(P∨Q), (¬Q→(P∨¬R)) / ¬(Q∨R)<br />
<blockquote>
¬(P∨Q), (¬Q→(P∨¬R)) /¬(Q∨R)<br />
F T T T F T T T T F T F T T T<br />
F T T T F T T T T T F F T T F<br />
F T T F T F T T T F T F F T T<br />
F T T F T F T T T T F T F F F<br />
F F T T F T T F F F T F T T T<br />
F F T T F T T F T T F F T T F<br />
T F F F T F F F F F T F F T T<br />
T F F F T F T F T T F T F F F<br />
<br />
沒有前提皆真且結論為假的情況,故此論證有效。</blockquote>
3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。<br />
(P→(¬Q→¬R)), ¬Q / (R→¬P)<br />
<blockquote>
1.P→(¬Q→¬R)<br />
2.¬Q<br />
3.R ACP for ¬P<br />
4.¬Q∧R 2,3,Conj<br />
5.¬(¬Q→¬R) 4,DeM,Impl,DN<br />
6.¬P 1,5,MT<br />
7.R→¬P 3-6,CP</blockquote>
4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。<br />
((P∧Q)→((P→¬Q)→Q))<br />
<blockquote>
1.P∧Q ACP for (P→¬Q)→Q)<br />
2.P→¬Q ACP for Q<br />
3.Q 1,Simp<br />
4.(P→¬Q)→Q) 2-3,CP<br />
5.(P∧Q)→((P→¬Q)→Q) 1-4,CP</blockquote>
第二部份:述詞邏輯<br />
5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。(a:張三;b:李四;Hxy:x幫助y;Bx:x是男孩)<br />
(a)有兩個男孩幫助張三。<br />
<blockquote>
(∃x)(∃y)(Bx∧By∧x≠y∧Hxa∧Hya)</blockquote>
(b)張三和李四都幫助所有的男孩。<br />
<blockquote>
(∀x)(Bx→(Hax∧Hbx))</blockquote>
6.證明以下的論證為無效論證。<br />
(∀x)(Px→Qx), (∃x)Px / (∀x)Qx<br />
<blockquote>
前提皆真結論為假的反例:<br />
D={0,1}<br />
P={0}<br />
Q={0}</blockquote>
7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。<br />
(∀x)¬(Px∧Qx), ((∃x)¬Qx→(∃x)(Rx∧Sx)) / (∀x)¬Px∨(∃x)Rx<br />
<blockquote>
1.(∀x)¬(Px∧Qx)<br />
2.(∃x)¬Qx→(∃x)(Rx∧Sx)<br />
3.¬Px∨¬Qx 1,Dem,UI<br />
4.¬(∃x)Rx ACP for (∀x)¬Px<br />
5.(∀x)¬Rx 4,QN<br />
6.¬Rx 5,UI<br />
7.¬Rx∨¬Sx 6,Add<br />
8.(∀x)(¬Rx∨¬Sx) 7,UG?(應該可以用UG吧)<br />
9.(∀x)¬(Rx∧Sx) 8,DeM,DN<br />
10.¬(∃x)(Rx∧Sx) 9,QN<br />
11.¬(∃x)¬Qx 2,10,MT<br />
12.(∀x)Qx 11,QN<br />
13.Qx 12,UI<br />
14.¬Px 3,13,Comm,DS<br />
15.(∀x)¬Px 14,UG?(應該可以用UG吧)<br />
16.¬(∃x)Rx→(∀x)¬Px 4-15,CP<br />
17.(∀x)¬Px∨(∃x)Rx 16,Impl,DN,Comm</blockquote>
8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。<br />
<blockquote>
((∀x)(Px→(Qx→Rx))→((∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx)))<br />
1.(∀x)(Px→(Qx→Rx)) ACP for (∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx)<br />
2.(∀x)(Px→Qx) ACP for (∀x)(Px→Rx)<br />
3.Px ACP for Rx<br />
4.Px→(Qx→Rx) 1,UI<br />
5.Px→Qx 2,UI<br />
6.Qx→Rx 3,4,MP<br />
7.Qx 3,5,MP<br />
8.Rx 6,7,MP<br />
9.Px→Rx 3-8,CP<br />
10.(∀x)(Px→Rx) 9,UG<br />
11.(∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx) 2-10,CP<br />
12.(∀x)(Px→(Qx→Rx))→((∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx))<br />
1-11,CP</blockquote>
<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/08/blog-post_08.html">九十八學年度中正哲學轉學考邏輯試答</a><br />
<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/08/blog-post_4805.html">九十七學年度中正哲學轉學考邏輯試答</a>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-29952400799278336992011-07-17T11:25:00.001+08:002011-07-17T11:27:28.994+08:00沒把問題問清楚<blockquote>海生館另外一個有名的例子是,解說員請問遊客說:「大洋池展示缸有五十多種魚,請問大致可以分成兩大類,請問是哪兩大類?」<br />
有人說:「公的和母的?」<br />
有人說:「大魚和小魚?」<br />
有人說:「有毒的與沒有毒的?」<br />
有人說:「咬人與不咬人的?」<br />
有位大哥說:「清蒸的與紅燒的?」給答案的人當時不是飢腸轆轆,要不然就是職業廚師或是美食家,三句不離本行。<br />
<br />
這個問題的標準答案是軟骨魚與硬骨魚兩大類。</blockquote><div style="text-align: right;"> ——<a href="http://pansci.tw/archives/4678">當「科學家」遇上「小孩」</a> - PanSci 泛科學</div><br />
有時候我們會遇到,已經知道答案的人(例如老師)問問題,但是沒把問題講清楚(可能是因為講得太清楚的話答案就露餡了),導致我們心裡有很多個答案但是不曉得哪個才是出題者要的。<br />
<br />
對出題者而言,我目前想到的把問題問得更清楚的方式是舉例子。<br />
<ul><li>如果出題者問的是一群東西可以分成哪幾類(例如海生館的解說員),他可以補充哪些東西是同一類,哪些東西是另外一類。</li>
<li>如果出題者問的是某個東西有哪種特性(例如地球科學老師想要學生回答地球內部有軟流圈),他可以舉例其他哪些東西有一樣的特性,哪些東西沒有、這個特性造成了哪些影響(例如地科老師可以補充說因為這個特性使地球有板塊運動)。</li>
</ul>如果出題者實在舉不出例子,也想不出其他把問題問清楚而不會洩漏答案的方式,那麼當回答問題的人說的答案不是出題者想要的(而且答案也不是太離譜)的時候,不要罵答題者笨,因為是出題者自己沒把問題問清楚的。出題者或許可以這樣講:「你的答案的確符合題目的要求,但是不是我想要的那一個。你還有其他答案嗎?」rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-85400305079242638492011-06-27T11:49:00.002+08:002011-08-17T11:59:48.635+08:00中正哲學三下心得<b>(</b><b>地球與環境科學系</b><b>)</b><b>地球與環境科學概論,石瑞銓</b><br />
課本和上學期一樣是Understand the Earth,作者為John Grotzinger、Tom Jordan、Frank Press、Raymond Siever,第六版。沒有期中期末考,每一張教完會有小考。而且地環系學生中流傳著好幾份考古題。<br />
<br />
老師上課很認真,有時候還會補充台灣的地質或環境狀況,很有趣。<br />
<br />
<b>(</b><b>地球與環境科學系</b><b>)</b><b>地球與環境科學概論實習,徐瑄儒</b><br />
經過了四份令我痛苦不堪的類似學習單的東西(而且都沒有發回來,不曉得自己哪裡有沒有寫錯。或許我應該主動去跟助教要),就只剩下兩次野外實察的口頭報告和寫教學評量表時要上課,其他時間都停課。<br />
<br />
老師特別提醒我們,如果報告有用到圖片,要在圖片旁加上編號和說明。<br />
<br />
<b>(哲學系)理由論,謝世民</b><br />
老師把自己選好的論文集結成冊當做課本。論文分別是:<br />
<ol><li>Bernard Williams, "Internal and External Reasons," in Moral Luck, Cambridge University Press, 1981: 101-113.</li>
<li>Bernard Williams, "Internal Reasons and the Obscurity of Blame," in Making Sense of Humanity, Cambridge University Press, 1995: 35-45.</li>
<li>Christine Korsgaard, "Acting for a Reason" in The Constitution of Agency, Cambridge University Press, 2008: 205-229.</li>
<li>Christine Korsgaard, "Self-Constitution in the Ethics of Plato and Kant" in The Constitution of Agency, Cambridge University Press, 2008: 100-126.</li>
<li>Kieran Setiya, Reasons without Rationalism, Princeton University Press, 2007: 39-56, 68-107.</li>
<li>John Broome, "Does Rationality Give Us Reasons?" Philosophy Issues 15(2005): 321-37.</li>
<li>John Broome, "Is Rationality Normative?" Disputatio 23 (2007): 161-78.</li>
<li>Joseph Raz, "Reason, Reasons, and Normativity" in Oxford Studies in Metaethics (ed. Russ Shafer-Landau), v. V, Oxford University Press, 2010. (PDF)</li>
<li>T. M. Scanlon, "Value", What We Owe to Each Other, Harvard University Press, 1998: 78-107.</li>
<li>Harry Frankfurt, "On Love, and its Reasons" in The Reasons of Love, Princeton University Press, 2004: 33-68.</li>
</ol>老師有講解的論文分別是第1、3、5、7、8和10篇。為了讓我們更理解第十篇,第九篇有提到一點。期中考前挑重點一行一行慢慢講解,期中考後整篇一行一行講解,有時候還會講課本沒有提過的例子。有課前複習的話應該能聽懂比較多講解。<br />
<br />
期中期末考都很有挑戰性。<br />
<br />
<b>(哲學系)</b><b>盧梭,謝世民</b><br />
課本是Susan Dunn的譯作,The social contract and the first and second discourses。挑重點一行一行講解。謝世民把整本教完了,這是我目前修過的課中進度最快的。期中考的內容是first and second discourses,期末考是the social contract。不過我實在看不下那麼多篇英文字,所以去找了何兆武和李常山的翻譯,讀到看不懂或想確定英譯原文的時候才翻課本。<br />
<br />
<b>(</b><b>地球與環境科學系</b><b>)</b><b>程式設計與應用,呂學諭</b><br />
這堂課學的是C++。課本是施威銘研究室的最新C++程式語言。因為有上機的實習課,所以上課時間少,要教的東西又很多,結果老師常常免費幫我們加課五到十五分鐘。不過老師好像還是覺得有些重要的部分來不及講。<br />
<br />
目前會寫很兩光的C++,而且我目前不是很清楚程式的安全性怎麼判斷。不過老師有說我們寫出來的程式安全性大概不高。<br />
<br />
我猜寫程式比較難的部分是,已經知道某個語言有哪些指令可以用,但是要怎麼把這些指令組合出想要的功能。<br />
<br />
<b>(哲學系)</b><b>哲學概論,吳秀瑾</b><br />
課本是Robert C. Solomon和Kathleen M. Higgins的The Big Question。老師挑重點講,有時候會放影片和小組討論。我覺得期末考的題目很有趣,而且跟陳瑞麟老師的出題方式滿像的。不考我們理論的內容是什麼,而是給我們某個情境,然後要我們想出各家理論對這個情境會做出什麼判斷。<br />
<br />
<b>(哲學系)</b><b>柏拉圖,鄭凱元</b><br />
讀了好幾篇對話錄,而且老師講解的時候會指出他覺得有趣的地方,還會說明為什麼他覺得很有趣,讓我也覺得那個部份真是有趣。<br />
<br />
小組期末成果裡,我只負責找荷馬的奧德賽的第十一章中出現的盲先知、阿伽門農、阿基里斯的人物介紹。貢獻非常微薄,真是對不起大家。<br />
<br />
<b>(數學系)旁聽,集合論,黃英龍</b><br />
黃英龍大概是個教學認真的老師,不只希望我們了解數學家解決問題的方法,也很在意我們知不知道數學家們在用這個做法時有什麼顧慮。教到一半會停下來問我們懂不懂,也會問問題請大家回答。我有去聽的那幾堂課都沒有教得很快,應該很容易跟上進度。老師也樂於回答學生的問題。但是每次去上他的課總覺得心情不好,幾個禮拜後就不去聽了。<br />
<br />
讓我覺得心情不好的原因:<br />
<ul><li>講完題目接著走到學生旁邊,面向他說:「說!」(靠真是嚇死我了)。</li>
<li>當大家(去上課的人大概只有五個左右吧)都回答不出老師的問題時,他會說「你們都笨笨的。」</li>
<li>當我問「十分之一是循環小數嗎」的時候,他的回答是「你數學真爛耶,<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/blog-post_24.html">它是循環小數啊</a>。」。(我數學爛,我數學爛,我數學爛…orz)</li>
<li>課上到一半開始發表他的讀書觀。</li>
<li>老師:「那個東西是如何如何」我:「那個東西是哪個東西?」「就那個東西啊。」「哪個?」「那個東西。」「什麼東西?」然後他才上黑板講解。</li>
</ul><div>當我覺得別人是真心地認為我在某些領域很笨的時候,我好像就會覺得很難過。或許我應該訓練自己的情緒反應,這樣才不會因為沒辦法忍受老師的言行舉止而錯過應該是滿有趣的課程內容。<br />
<br />
相關文章:<br />
<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/01/blog-post_31.html">中正哲學三上心得</a><br />
<a href="http://aaphi.blogspot.com/2010/06/blog-post_27.html">中正哲學二下心得</a><br />
<a href="http://aaphi.blogspot.com/2010/01/blog-post.html">中正哲學二上心得</a></div>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-48118050891474838462011-06-08T11:29:00.005+08:002011-06-12T18:22:20.807+08:00反駁一個主張或論證的方法<div>在這篇文章裡我試圖整理哲學家跟其他人筆戰的方法,並盡量提供例子以便理解怎麼運用這些方法。相信這些方法也可以用在哲學以外的爭論場合。雖然目前對這篇文章的完成度很不滿意,但只靠我沒念過幾篇哲學文章的腦袋大概也擠不出什麼東西,所以就不負責任地發佈了。<br />
<br />
這篇文章會持續更新,也非常歡迎觀眾提出意見,例如補充遺漏的方法或範例、方法的分類沒分好、字和字中間多了一個不必要的半形空白之類的都可以喔。或者哪個觀眾覺得這篇文章實在爛得沒救了,自己重新整理了一篇,也希望你能把文章分我看,謝謝。</div><div><br />
</div><div><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">一、找反例</span></b></div><div><ul><li>有人主張所有東西都是怎樣怎樣的,就找出一個不是怎樣怎樣的東西。例如,<br />
<blockquote>有人主張所有物理學家都相信宇宙是智慧設計者創造的,我們就去找出一個不相信宇宙是智慧設計者創造的的物理學家。<br />
<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2009/02/blog-post_28.html">黑白瑪莉</a>。</blockquote></li>
<li>有個主張的內容是P若且唯若Q(例如,S說謊若且唯若S說了他相信是假的的話),就找出符合P而且不符合Q,或不符合P而且符合Q的例子。<br />
<blockquote><a href="http://aaphi.blogspot.com/2010/01/gettier-problem.html">蓋提爾問題</a>、<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2008/05/blog-post_3955.html">謊言的定義</a>。</blockquote></li>
<li>有個主張的內容是如果P則Q(例如,如果把糖放進水裡,糖就會溶解),就找出符合P而且不符合Q的例子。<br />
<blockquote><a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/05/four-case-argument.html">四案論證</a>。</blockquote></li>
</ul></div><div><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">二、指出那個主張<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2011/03/imply-implication.html">蘊含</a></span></b><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">我們難以接受或不可能為真的事</span></b><br />
<ul><li>直接指出那個主張蘊含我們難以接受或不可能為真的事,例如<br />
<blockquote><a href="http://phiphicake.blogspot.com/2008/05/blog-post.html">孿生地球</a>、<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2008/05/blog-post_1444.html">伽利略的思想實驗</a>、<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2008/07/searle-chinese-room-argument.html">中文房間</a>。</blockquote></li>
<li>指出該主張和我們廣為接受的法則不能同時為真。例如,<br />
<blockquote><a href="http://phi-thinking.blogspot.com/2011/02/e-j-lowe.html">[E. J. Lowe] 時間旅行之回到過去的迴圈</a>。</blockquote></li>
<li>指出該主張有一些缺點,而且那些缺點沒辦法被同時克服。</li>
</ul></div><div><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">三、指出論證是不<a href="http://aaphi.blogspot.com/2009/10/1.html">健全的</a></span></b></div><ul><li>指出論證裡的某幾行雖然都用了同一個字,但那個字的意思都不一樣。例如 <blockquote><div><ol><li>Philosophy is better than nothing.</li>
<li>Nothing is better than sex.</li>
<li>Philosophy is better than sex.</li>
</ol><div>這個論證裡,第一句用「nothing」來說哲學是最爛的東西,第二句的「nothing」是指性愛是最棒的東西(不過我不確定這個論證是不是因為「nothing」有歧義所以才無效的)。</div></div><br />
<div><ol><li>如果x和y是同一個東西,那麼x和y會有一模一樣的性質。(<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2008/05/blog-post_3865.html">萊布尼茲定律</a>)</li>
<li>超人有「被露易絲喜歡」的性質,克拉克沒有「被露易絲喜歡」的性質。</li>
<li>超人和克拉克不是同一個東西。</li>
</ol><div>可能的反駁是,第一句說的性質和第二句說的性質不是同一種性質。第一句的性質是指東西本身的性質(例如它在空間中的座標、顏色、形狀)。第二句的性質是露易絲賦與的,不是超人或克拉克本身有的性質。</div></div></blockquote></li>
<div>
<li>指出論證的前提們不可能同時為真。 指出論證的其中某個前提或預設為假。 <br />
<blockquote>找反例、指出那個前提蘊含我們難以接受或不可能為真的事。</blockquote></li>
<li>指出論證裡使用了無效的推論規則。例如, <br />
<blockquote><a href="http://phiphicake.blogspot.com/2009/08/consequence-argument.html">不相容論的結果論證</a>。</blockquote></li>
<li>指出論證的某個前提是錯的。例如, <br />
<blockquote><a href="http://phi-thinking.blogspot.com/2011/04/blog-post_07.html">決定論的兩難</a>。</blockquote></li>
</div></ul><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">四、指出論證是<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2009/05/begging-question.html">丐題</a>的</span></b> <span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"> </span><br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><br />
</span></b><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>五、指出該主張是<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2008/05/ad-hoc.html">ad hoc</a></b><b>的</b></span> <span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"> </span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b><br />
</b></span><br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">六、做實驗判斷兩個競爭的理論中哪個比較可能為真</span></b> <br />
<blockquote><a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/05/trolley-problem-and-experimental.html">電車問題和實驗哲學</a>。</blockquote><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">七、如果某個主張訴諸最佳說明,那麼提出比它更好的說明打敗它,或者至少提出跟它一樣好的說明和它競爭</span></b>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-62223183514512995852011-05-29T15:14:00.003+08:002011-07-31T11:22:06.319+08:00四案論證<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">在決定論為真的世界裡的人要為自己的行為負道德責任嗎</span></b><br />
<br />
決定論主張,如果世界之前的狀態是怎樣怎樣,那麼世界之後的狀態就被決定一定是那樣那樣。例如,在宇宙大爆炸的那瞬間每個粒子的速度、旋轉方式、組成成分,以及能量在空間中的分布等等狀態,就決定了西元2011年五月二十九號安萍會在宿舍寫四案論證這件事一定會發生。<br />
<br />
如果決定論為真,給定世界之前的狀態就決定了世界以後一定會發生什麼事,那麼我們還需要為自己的行為負道德責任嗎?<br />
<br />
有些人認為,<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2009/08/principle-of-alternative-possibility.html">只有在我們能做實際上我們沒做的事情的時候,我們才要為自己的行為負道德責任</a>。例如,簍雷實際上說了「要教官退出校園就是要警察、軍人退出國家」這句蠢話,但是其實簍可以不說這句蠢話的。在簍雷實際上可以不說蠢話的時候,簍雷才需要為自己說蠢話的行為負道德責任。<br />
<br />
然而在決定論為真、給定世界初始的狀態的世界裡,簍雷已經被決定要在某某時刻說蠢話,他沒有辦法不說蠢話啊。因此,如果我們認為我們生存的世界是決定論式的,也接受「只有在我們能做實際上我們沒做的事情的時候,我們才要為自己的行為負道德責任」這個原則的話,我們沒有辦法要任何人為自己的行為負道德責任。因為我們都一定會做被之前的世界狀態決定的事情,沒辦法做這以外的事情。<br />
<br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">相容論者的策略</span></b><br />
<br />
相容論者是指,主張「在決定論為真的世界裡的人對自己的行為有道德責任」的人。<br />
<br />
剛剛提到,<br />
<blockquote>如果我們認為我們生存的世界是決定論式的,也接受「只有在我們能做實際上我們沒做的事情的時候,我們才要為自己的行為負道德責任」這個原則的話,我們沒有辦法要任何人為自己的行為負道德責任。</blockquote>有些相容論者接受我們生存的世界是決定論式的,但是不接受「只有在我們能做實際上我們沒做的事情的時候,我們才要為自己的行為負道德責任」這個原則。他們提出其他原則來代替,例如:<br />
<br />
Hume和Ayer主張,只有在滿足<br />
<ul><li>行為者不是被強迫去做A(A是指某個行為),而且</li>
<li>如果行為者做A是出於他的某個欲望,這個欲望不能是強烈到行為者沒有辦法抵抗的(例如,大雄無論如何、死都要吃冰的欲望,就是強烈到行為者沒有辦法抵抗的欲望),以及</li>
<li>行為者做A,是出於行為者持續且固定的人格特質(例如技安生性暴力,把大雄爆打一頓是出於技安持續且固定的人格特質)</li>
</ul><div>這三個條件的時候,行為者才需要為他的行為A負道德責任。</div><div><br />
</div><div>Frankfurt則主張,只有在滿足</div><div><ul><li>行為者想要做A(一階欲望),而且行為者想要「想要做A」(二階欲望),而且行為者是因為想要「想要做A」而想要做A</li>
</ul><div>的時候,行為者才需要為他的行為A負道德責任。</div></div><div><br />
</div><div>Fischer和Ravizza則主張,如果滿足</div><div><ul><li>在行為者有充分的理由不做A而做其他事的情境裡,行為者可以不做A而做其他事,而且行為是因為那些充分理由而不做A而做其他事,和</li>
<li>行為者通常都能認識、辨認出(recognize)行為的理由,以及</li>
<li>行為者也把道德理由當成行為的理由</li>
</ul><div>這三個條件,行為者就要為他的行為A負道德責任。</div></div><div><br />
</div><div>Wallace則主張,只有在滿足</div><div><ul><li>行為者的行為會引發回應態度(reactive attitude)(例如簍雷無緣無故故意踩我的腳所以我生氣了,生氣就是一種回應態度。如果簍雷是不小心踩到我的腳,而且我知道他是不小心的我就不會生氣;簍雷不小心踩到我的腳不會引發回應態度),以及</li>
<li>行為者有能力捕捉並運用道德理由,並用這些理由控制或規範自己的行為</li>
</ul><div>這些條件的情況下,行為者就要為他的行為A負道德責任。</div></div><div><br />
</div><div>Hume和Ayer、Frankfurt的方案是提出道德責任的必要條件。意思是,如果不滿足這些條件,行為者就沒有道德責任;滿足了這些條件,行為者也不一定有道德責任。Fischer和Ravizza、Wallace的則是道德責任的充分條件。意思是,滿足了這些條件,行為者就有道德責任;沒有滿足這些條件,行為者也不一定沒有道德責任。</div><div><br />
</div><div>這些必要或充分條件都可以在決定論為真的世界中被滿足。</div><div><br />
</div><div><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Perebroom的四案論證(Four-Case Argument)</span></b></div><div><br />
</div><div>Perebroom設計了四個案例,每個案例的主角簍雷都把住隔壁的小隨殺掉了,而且簍雷殺掉小隨的行為都滿足Hume和Ayer、Frankfurt、Fischer和Ravizza、Wallace提出來的條件們。</div><div><br />
</div><div>案例一:</div><blockquote>邪惡的神經科學家們創造了簍雷,並無時無刻地操弄他的腦狀態。不過簍雷的成長過程跟正常人沒什麼兩樣。科學家們局部操弄簍雷的行為理由。當簍雷要開始推論他接下來要做什麼的時候,科學家們就按按鈕操弄簍雷的推論過程,讓簍雷變成自私自利的人。科學家沒有讓自私自利成為簍雷無法抗拒的欲望。他們的操弄也讓簍雷想要想要殺掉小隨、簍雷想要殺掉小隨、簍雷想要殺掉小隨是因為他想要想要殺掉小隨。簍雷也接受某些道德理由做為行為理由,在簍雷自私自利的理由比較弱的時候,他就會根據道德理由行為。</blockquote>案例二:<br />
<blockquote>邪惡的神經科學家們創造了簍雷。雖然他們不能無時無刻地操弄他的腦狀態,但他們在簍雷腦子裡植入晶片, 讓簍雷在推論他接下來要做什麼事的時候通常會考慮自私自利的理由,成為自私自利的人。</blockquote>案例三:<br />
<blockquote> 簍雷不是被科學家創造出來的。簍雷被成長的環境和所受的教養影響,長成大部分時候是自私自利的人。</blockquote>案例四:<br />
<blockquote>簍雷不是被科學家創造出來的。他的成長環境和受到的教養也不是熱切鼓吹自私自利的。簍雷活在物理決定論為真的世界裡。</blockquote>Perebroom認為,案例一的簍雷符合相容論者提出來的,道德責任的充分和必要條件,但我們直覺上還是認為簍雷一不用為他殺了小隨負道德責任,所以Fischer和Ravizza、Wallace提出來的道德責任的充分條件是錯的。<br />
<br />
此外,Perebroom認為<br />
<ol><li>案例一的簍雷沒有道德責任。</li>
<li>案例一和二之間在道德面向上沒有差別(沒有某個跟道德責任有關的行為的性質,是簍雷一有簍雷二沒有,或簍雷一沒有簍雷二有的),案例二和三之間、案例三和四之間也沒有差別。</li>
<li>所以,一和二沒有差別,一沒有道德責任,所以二也沒有。二和三沒有差別,二沒有道德責任,所以三也沒有。三和四沒有差別,三沒有道德責任,所以四也沒有。</li>
<li>因此,物理決定論為真的世界裡生活的簍雷四不用為他的行為負道德責任。</li>
</ol><div>最後,Perebroom主張,這四個案例的簍雷都不用負道德責任的最佳說明是,他們是被他們控制範圍以外的因素因果地決定去殺掉小隨的。案例一的控制範圍以外的因素是被科學家操弄的腦狀態,案例二是被科學家植入的晶片,案例三是成長環境和所受的教養,案例四是簍雷出生前世界之前的狀態。</div><div><br />
</div><div>相容論者對Perebroom的四案論證當然有話要說,不過這篇文章就到此為止吧。</div><div><br />
</div><div><br />
</div><div>參考文章:</div><div>P101-117, Pereboom, D. (2001), <i>Living without Free Will</i>, Cambridge University Press</div><div><br />
</div><div>相關文章:</div><div><a href="http://phiphicake.blogspot.com/2010/02/blog-post_09.html">自由意志地圖</a> - 哲學哲學雞蛋糕</div><div><a href="http://phi-thinking.blogspot.com/2011/04/blog-post_07.html">決定論的兩難</a> - 哲學與思方</div>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-14159055579708416802011-05-08T12:37:00.005+08:002011-06-07T13:24:02.132+08:00電車問題和實驗哲學<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="300" src="http://www.youtube.com/embed/Y4HqXP47lPQ?rel=0" width="512"></iframe><br />
<br />
上哲概的時候老師放了這段影片給我們看,後續的討論讓我想起了上學期的S-A讀書會念到的,Sinnott-Armstron在2008年和別人合寫的文章,Intention, Temporal Order, and Moral Judgments。<br />
<br />
這篇文章裡提到了四個不同的電車案例:<br />
<ol><li>簍雷想要救電車主軌道上的五個人的話,他唯一的方法是把車開到側軌道上,但是開上側軌會撞死一個人。</li>
<li>簍雷想要救電車主軌道上的五個人的話,他唯一的方法是把一個長得很大隻的人推到主軌道上,用肉身擋住電車,但是那個倒楣的大傢伙會壯烈犧牲。</li>
<li>簍雷想要救電車主軌道上的五個人的話,因為電車側軌道會再接回主軌道,所以他唯一的方法是把車開到側軌道上,撞死一個人讓電車停下來。如果側軌道上沒有人可以撞的話電車不會停下來(見下圖)。</li>
<li>簍雷想要救電車主軌道上的五個人的話,因為電車側軌會再接回主軌道,所以他唯一的方法是把車開到側軌道上,撞死一個人讓電車停下來。不過側軌道上有一顆大石頭,就算側軌道上沒有人電車也會因為撞到石頭停下來。</li>
</ol><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhShllY-OR_qeWqZ6C0UP-yLjglEKy2QmSythc0RGtxTYqRQCqelW7A86CB_kKxSH2J2LunMEP6lmOhn61bZFkw3QY79vkPkE64DetYyfiTm1dluHj77sfLfspx0g8EgVAPwlpLGIkt-Bnj/s1600/trolley+car_1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="141" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhShllY-OR_qeWqZ6C0UP-yLjglEKy2QmSythc0RGtxTYqRQCqelW7A86CB_kKxSH2J2LunMEP6lmOhn61bZFkw3QY79vkPkE64DetYyfiTm1dluHj77sfLfspx0g8EgVAPwlpLGIkt-Bnj/s320/trolley+car_1.jpg" width="320" /></a></div><div style="text-align: right;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;">(圖片來源:Sinnott-Armstron 2008 Intention, Temporal Order, and Moral Judgments)</span></div>心理學家用這四個案例做了一份調查,這份調查裡,在簍雷決定救五個人的情況下,受試者們有89%的機會認為簍雷一的做法是道德上可允許的,11%認為簍雷二的做法是道德上可允許的,簍雷三是55%,簍雷四是72%。<br />
<br />
我們,或者換個保險一點的說法,受試者們做這樣的道德判斷是基於什麼理由呢?這篇文章提供了兩個理論,它們都能夠合理地說明這份調查結果:<br />
<ul><li>雙效說(<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Double_Effect">doctrine of double effect</a>):如果行為者想要的是好結果,而不是把壞的結果當成目的或達到好結果的手段,那麼這個行為在道德上是被允許的。<br />
簍雷一和簍雷四的目的是救五個人。在簍雷一和四的案例裡,如果側軌上沒有人,那五個人還是可以得救,簍雷不是故意要藉由撞死側軌上的人去救主軌道上的五個人,因此是道德上可允許的。<br />
在簍雷二和三的例子裡,如果側軌上沒有人,那五個人就會被電車撞死。簍雷是想藉由撞死側軌上的人去救那五個人,因此不是道德上可允許的。<br />
.</li>
<li> 時序假說(temporal hypothesis):<br />
一個行為是道德上可允許的,若且唯若,做這個行為後,壞結果不會發生在好結果之前。<br />
簍雷一和簍雷四是先開進側軌,因此五個人肯定會得救(好結果),然後才撞死人(壞結果),所以他們的行為是道德上可允許的。簍雷二和三是先撞死人(壞結果)然後電車停下來,那五個人得救(好結果),所以他們的行為不是道德上被允許的。<br />
</li>
</ul>這兩個競爭的說法中,哪一個比較能符合我們的直覺呢?哲學家們的方法是,設計一個行為者想要好結果,而且壞結果比好結果先發生的案例(雙效說會判斷這個行為是道德上可允許的,時序說則判斷這個行為不是道德上可允許的),或者,行為者把壞結果當目的或促成好結果的手段,而且好結果比壞結果先發生的案例(雙效說會判斷這個行為不是道德上可允許的,時序說則判斷這個行為是道德上可允許的)。然後做問卷調查。<br />
<br />
哲學家們設計的情境是這樣的:<br />
<blockquote>5.簍雷想要救電車主軌上的五個人的話,因為電車側軌會再接回主軌道,而電車側軌上有另一個不會接回主軌的第二側軌,所以他唯一的方法是把電車開進第二側軌。但是在開進第二側軌之前,電車會撞死一個人。</blockquote><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4owA1za4IBqQCuQrAhBOJTfgjgil-iT-UwdWZG6kcaGuAd3LjFWCOUfXHIZtvXOVYGmrPFKTH1lZPKS7TVwGRHEVshL_BitalIGDhkL_NPihVOE_HqQvZqtW3AEoS7Na-Cssy6Msy_1PM/s1600/combination+track.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="147" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4owA1za4IBqQCuQrAhBOJTfgjgil-iT-UwdWZG6kcaGuAd3LjFWCOUfXHIZtvXOVYGmrPFKTH1lZPKS7TVwGRHEVshL_BitalIGDhkL_NPihVOE_HqQvZqtW3AEoS7Na-Cssy6Msy_1PM/s320/combination+track.jpg" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: right;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;">(圖片來源:Sinnott-Armstron 2008 Intention, Temporal Order, and Moral Judgments)</span></div>雙效說會判斷簍雷五的行為是道德上可以被允許的,因為簍雷的目的是把車開進第二側軌,而不是把人撞死。時序說會判斷簍雷五的行為不是道德上可被允許的,因為電車會先撞死一個人(壞結果)再開進第二側軌,五個人得救(好結果)。<br />
<br />
實驗的詳細過程如下:<br />
他們找了達特茅斯學院(Dartmouth College)和紐約高中(New York high school)的在校生,以及參加在北卡羅來納州(North Carolina)舉辦的醫學會議的與會者共一百九十個人來寫問卷。受試者的平均年齡是22.8歲,平均修過0.4倫理課。25%受試者曾聽過電車問題,52%受試者是女性。<br />
<br />
問卷有三份,內容分別有簍雷一、三和五這三個情境。每個情境都會請受試者回答下列五個問題,以及宗教、性別、年齡等背景資料。<br />
<ol><li>簍雷讓電車開進側軌是道德上錯的嗎?<sup>*1</sup></li>
<li>簍雷不讓電車開進側軌是道德上錯的嗎? </li>
<li>如果簍雷讓電車開進側軌,簍雷是殺害在側軌上的人。</li>
<li>如果簍雷讓電車開進側軌,簍雷是故意殺害在側軌上的人。</li>
<li>如果簍雷讓電車開進側軌,簍雷要為側軌上的人的死負責。</li>
</ol><blockquote>回答選項:<br />
非常不同意:-3<br />
大致不同意:-2<br />
稍微不同意:-1<br />
中立:0<br />
稍微同意:1<br />
大致同意:2<br />
非常同意:3</blockquote>受試者們會隨機分配到三份問卷中的其中一份。<br />
<br />
省略中間我看不太懂的統計學分析,最後的結果是:<br />
<ul><li>關於問題一,在道德判斷上雙效說勝出。受試者們對簍雷的行為是不是道德上錯的的判斷結果,符合雙效說的判斷標準。</li>
<li>關於問題二,統計結果沒有統計上的顯著性,不過大致上符合雙效說的判斷標準。哲學家們猜測這可能是因為題目的用字把受試者搞胡塗了。<sup>*2</sup></li>
<li>關於問題三,在簍雷是不是殺害在側軌上的人的判斷上,時序說勝出。受試者們對簍雷的行為是不是殺害在側軌上的人的判斷結果,符合時序說的判斷標準。</li>
</ul>根據調查結果,受試者們在判斷簍雷把電車開進側軌的行為是不是道德上錯的、簍雷是不是殺害在側軌上的人時,用的似乎不是同一套標準。換句話說,殺害的行為可以不是道德上錯的,而非一定是錯的;不殺害的行為可以是道德上錯的,而非一定不是錯的。<br />
<br />
關於受試者們怎麼做道德判斷:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div>受試者似乎是,先判斷簍雷是不是故意要造成不好的結果,或者是不是把不好的結果當成促進好結果的手段;根據這個判斷決定簍雷要不要為他的行為所造成的不好結果負責任;最後再依前兩個判斷來判斷簍雷的行為是不是道德上錯的。<br />
<br />
我的想法:<br />
根據雙效說,簍雷一把車開進側軌救五個人是道德上可允許的。不過,簍雷選擇不把車開進側軌救一個人也是道德上可允許的。只要讓電車繼續在主軌道上行駛,副軌上的人就得救;簍雷沒有故意要撞死五個人,也沒有故意把撞死五個人當成救一個人的手段。所以我們還是可以再問,在雙效說判斷救一個或救五個都是道德上可允許的行為時,救一個比較好還是救五個?判斷的標準是什麼?不過這大概已經不是這篇文章要討論的範圍了。<br />
<br />
<br />
相關文章:<a href="http://phiphicake.blogspot.com/2009/06/blog-post_09.html">實驗哲學</a> - 哲學哲學雞蛋糕<br />
<br />
<br />
Notes:<br />
<ol><li>不問「是道德上可允許的嗎」是為了避免受試者不曉得問卷在幹嘛。</li>
<li>原文為,However, this lack of significance might result from subjects being confused by the negation when they were asked whether it is morally wrong to refrain from throwing the switch(es).</li>
</ol>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-73817890133194316062011-03-26T09:08:00.001+08:002011-03-26T09:46:51.117+08:00如果感覺到地震讓地表上下晃動,那麼這次地震大概比較大<div style="text-align: right;">中正大學,地球與環境科學系,992學期,地球與環境科學概論,石瑞銓</div><br />
地震的震波大致可以分成三種,傳遞速率由快到慢排序列舉如下:P波(primary wave)、S波(secondary wave)和表面波(表面波還可以分成雷利波(Rayleigh wave)和洛夫波(Love Wave))。<br />
<br />
其中P波是震幅最小,也就是能量最小的波。它是<a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B8%B1%E6%B3%A2">疏密波</a>。P波會在地球內部傳遞,<a href="http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Earthquake_wave_shadow_zone.svg">在離震源比較遠的地方會以和地表接近垂直的角度傳到地表</a>,所以會造成地表上下震動。小地震的P波一般人通常感覺不到,因為它實在太小了。但是如果能感覺到地表上下震動,而且那真的是地震造成的上下震動的話,最好在S波和表面波到達之前趕快關火關瓦斯(火災通常是地震過後導致傷亡人數非常慘烈的主因),然後跑到安全的地方。畢竟,連震幅最小的P波都能搖成這樣了,更別提S波和表面波了。三月十二號的野外實習我們去看被921地震弄倒的房子,一二層樓通常都被壓得扁扁的,樓上雖然柱子受到損傷但是沒有倒;所以我猜如果來不及跑到戶外的話往頂樓跑應該會比較安全吧。<br />
<br />
不過爆炸和火山爆發會產生P波但是不會產生S波(因此可以從震波紀錄知道其他國家有沒有試爆核子彈)。如果簍雷感受到P波並很機警地關瓦斯並跑到比較安全的地方,在那裡等了老半天卻什麼鬼震動都沒有的時候,那麼簍雷該擔心的大概就不是地震了。rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-72137049214924428942011-03-03T20:23:00.000+08:002011-03-03T20:23:57.414+08:00就是你想的那個東西前幾天我在<a href="http://twitter.com/octw/statuses/40353485300039680">老貓的推特上</a>看到<a href="http://www.guokr.com/article/7849/">燈泡放進嘴裡就拿不出來了嗎?</a>這篇粉碎謠言的文章。作者親自吞燈泡做實驗,文章裡提到:<br />
<blockquote>最初的測試,小耿心裡比較沒底,因此在燈泡外面套上了一層橡膠膜(好吧,其實就是用了你想的那個東西)。</blockquote>讀到「橡膠膜」時,我對它還沒有什麼特別的想法,反正就是橡膠膜嘛。但我讀到「好吧,其實就是用了你想的那個東西」時,雖然我心裡只想著橡膠膜,卻馬上知道了那層橡膠膜就是保險套。(如果有人知道有些保險套是橡膠做的,而且他讀到「橡膠膜」時想到保險套以外的其他東西,例如橡膠手套,那麼他讀到「好吧,其實就是用了你想的那個東西」後,會確信那層橡膠膜是橡膠手套嗎?)<br />
<br />
「好吧,其實就是用了你想的那個東西」這個看起來跟保險套似乎一點關係也沒有的句子到底告訴了我什麼事情,讓我能從這個句子得知那層橡膠膜就是保險套呢?這真是太神奇了。<br />
<br />
(這篇文章加上語言哲學標籤合適嗎?)rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-25974360488120027592011-02-25T22:30:00.000+08:002011-02-25T22:30:48.705+08:00應觀眾要求我在文章底下放了「讚」給手癢的讀者按。頌大俠<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/blog-post_24.html">去吧</a>!<br />
<br />
沒有放「沒道理」或「看不懂」之類的選項是因為,只是按個鈕我怎麼知道文章是不是真的有問題、真的有問題的話是哪裡有問題勒。rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com14tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-17818527589491033602011-02-24T00:24:00.003+08:002011-02-24T20:13:03.474+08:000.1是循環小數數學系的集合論,黃英龍老師說0.1是循環小數,因為0.1可以寫成0.100000000000000000000...<br />
<br />
真是嚇死我了。rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-32777494820643042382011-02-20T18:10:00.001+08:002011-08-17T12:47:10.245+08:00碼書:編碼與解碼的戰爭<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmflNZFloEDwF7jZVAcWvChc2K20StXaTAsYZTsodkG8yRzUW81g_7RBUw5-lmXjv9cKFWOkjvMkuqJl3Aw6VIhzrfR9MKhL8kYDbxb9MzWtQJdOqh4H4pQw3XbjxEsP1OTI2xwMVtW8Y2/s1600/the_code_book.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmflNZFloEDwF7jZVAcWvChc2K20StXaTAsYZTsodkG8yRzUW81g_7RBUw5-lmXjv9cKFWOkjvMkuqJl3Aw6VIhzrfR9MKhL8kYDbxb9MzWtQJdOqh4H4pQw3XbjxEsP1OTI2xwMVtW8Y2/s1600/the_code_book.jpg" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">這本書介紹了很多從以前到現在,隨著人們通訊技術發展因應而生的隱藏、加密和解密訊息的方式。例如,把訊息寫在信差剃光的頭皮上,等頭髮長長了信差再出發、用隱形墨水寫字、把訊息中的a用b替換,把b用c替換…把z用a替換後得到密碼文、網路上的公開鑰匙和私密鑰匙,以及量子電腦對密碼學可能的影響。其中也穿插了有趣的小故事、密碼學在軍事上應用的案例、加密者和解密者間的競賽。此外,書中有一章的內容是關於怎麼解讀古代文字。</div><br />
有時候讀到密碼學家們解密的竅門時,真是讓我覺得,天啊這群人好聰明噢哈哈哈。我滿喜歡這本書的,喜歡到買了一本放在書櫃上。<br />
<br />
以下節錄一些有趣的段落(括號的部分是我根據前後文加上去的):<br />
<ul><li>(十六世紀末)西班牙的密碼專家,似乎比歐洲其他地方的對手天真。當他們發現法國人可以看透他們的訊息時,竟不願正視這件事實。西班牙國王菲力普二世甚且向梵諦岡陳情,宣稱維特(以破解西班牙密碼為樂的傢伙)之所以能破解西班牙密碼的唯一解釋是:「他是與撒旦結盟的魔王」。菲力普訴請樞機法庭審判維特的惡魔勾當。教宗深知自己的密碼分析家多年來也一向能破解西班牙的密碼,於是駁回他的陳情。這則新聞很快就傳到各國專家耳裡,西班牙的密碼專家頓時成為全歐洲的笑柄。<br />
.</li>
<li>(十九世紀後半期)民眾開始覺得需要保護它們高度敏感的私人通訊,必要時會進行加密,…(略)…一般大眾所用的密碼,對專業的密碼分析家而言是不堪一擊,但對付那些隨機窺探他人隱私的傢伙卻已綽綽有餘了。<br />
<br />
…(略)…有一次,惠斯頓(解碼專家)解譯了一名牛津學生刊在《泰唔士報》提議愛人與他一起私奔的啟事。幾天後,惠斯頓刊登他自己的啟事,也用同樣的密碼加密,勸告這對愛侶不要履行這項輕率、叛逆的計畫。稍後隨即出現第三則啟事,這次沒有加密,它是女方當事人發出的:「親愛的查理,不要再寫了。我們的密碼被發現了。」</li>
</ul>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-28980177607150165322011-02-19T21:26:00.004+08:002011-02-19T21:45:46.292+08:00語句邏輯的完備性<div><div style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">如果你不太能理解這篇文章在幹嘛,建議先讀過下列文章。</div><ul><li><a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/syntax-and-semantics-for-sentential.html">語句邏輯的語法和語意</a></li>
<li><a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/proof-theoretic-system-for-sentential.html">語句邏輯的證明系統</a></li>
</ul></div>完備性:如果Γ ⊧A,那麼Γ├A。如果不管語句們的真值設定是什麼,都不會出現Γ裡的語句都為真但A為假的情況,那麼Γ可以推導出某個語句A(Γ可以是空集合)(完備性是後設定理)。<br />
<div><br />
</div><div>PS系統的其中一種完備性證明:</div><div><br />
</div><div>證明簡介:</div><div>因為找不到方法為Γ ⊧A排序,所以不能像<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/soundness-of-sentential-logic.html">證明健全性</a>那樣用數學歸納法做證明。不過,P→Q若且唯若¬Q→¬P,因此證明了</div><blockquote>如果並非Γ├A,那麼並非Γ ⊧A</blockquote>也就是證明了完備性。<br />
<br />
另外,有人證明了<br />
<ul><li>並非Γ├A,若且唯若,Γ∪{¬A}是一致的,以及</li>
<li>並非Γ ⊧A,若且唯若,Γ∪{¬A}有一個模型(model)。Γ∪{¬A}有一個模型的意思是,有個真值設定v,它的unique extension v'給Γ裡的語句和¬A的值都是1。</li>
</ul><div>因此,證明了</div><blockquote>如果Γ∪{¬A}是一致的,那麼Γ∪{¬A}有一個模型</blockquote> 也就是證明了完備性。<br />
<br />
假設前件(Γ∪{¬A}是一致的)為真,然後把Γ∪{¬A}擴充成最大化一致集合(maximal consistent set)Γ<sup>*</sup>,再根據Γ<sup>*</sup>做出一個真值設定v,而這個v會是Γ∪{¬A}的模型。得證如果Γ∪{¬A}是一致的,那麼Γ∪{¬A}有一個模型。得證語句邏輯的完備性。<br />
<ul><li>最大化一致集合的定義:Γ是最大化一致集合,若且唯若,Γ是一致的,而且對任何合法的語句A而言,如果A∉Γ,那麼Γ∪{A}是不一致的。</li>
</ul><div>證明:<br />
<br />
先證明跟最大化一致集合有關的兩個的引理(lemma)放著備用。<br />
<ol><li>如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,要嘛A∈Γ,要嘛¬A∈Γ(Γ是最大化一致集合,所以不會有A∈Γ而且¬A∈Γ的情況)。<br />
<br />
使用反證法,假設前件成立而且後件不成立,如果能根據這些假設推導出矛盾的結果,就能得證前件成立時後件會成立。<br />
<br />
假設Γ是最大化一致集合,而且有個語句A,A∉Γ、¬A∉Γ。根據最大化一致集合的定義,Γ∪{A}和Γ∪{¬A}都是不一致的。根據一致的定義,從Γ∪{¬A}是不一致的這件事可以推論出會有某個語句B,Γ∪{¬A}├B而且Γ∪{¬A}├¬B。根據<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/proof-theoretic-system-for-sentential.html">之前</a>證明過的Γ, A├B若且唯若Γ├A→B定理,從Γ∪{¬A}├B而且Γ∪{¬A}├¬B,可以推論出Γ├¬A→B和Γ├¬A→¬B。<br />
<br />
根據├(¬A→B)→((¬A→¬B)→A)這條我目前還不知道是怎麼推論出來的定理,以及上一段最後一句的Γ├¬A→B和Γ├¬A→¬B,用MP規則可以推論出Γ├A。<br />
<br />
根據一致的定義,從Γ∪{A}是不一致的這件事可以推論出會有某個語句C,Γ∪{A}├C而且Γ∪{A}├¬C。根據A├B若且唯若Γ├A→B定理,從Γ∪{A}├C而且Γ∪{A}├¬C,可以推論出Γ├A→C和Γ├A→¬C。根據├A→¬¬A定理、Γ├A→C和Γ├A→¬C和MP規則,可以得到Γ├¬¬A→C和Γ├¬¬A→¬C。<br />
<br />
根據├(¬A→B)→((¬A→¬B)→A)定理,以及上一段最後一句的Γ├¬¬A→C和Γ├¬¬A→¬C,用MP規則可以推論出Γ├¬A。<br />
<br />
因此Γ├A而且Γ├¬A,Γ 不一致,Γ 不會是最大化一致集合。這個結果和我們的假設矛盾,得證如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,要嘛A∈Γ,要嘛¬A∈Γ。<br />
.</li>
<li>如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,如果Γ├A,那麼A∈Γ。<br />
<br />
用反證法。假設Γ是最大化一致集合,而且Γ├A而且A∉Γ。A∉Γ,根據最大化一致集合的定義,Γ∪{A}是不一致的。Γ∪{A}不一致,因此會有某個語句B,Γ∪{A}├B而且Γ∪{A}├¬B。根據A├B若且唯若Γ├A→B,可以得到Γ├A→B和Γ├→A¬B。根據Γ├A(假設)、Γ├A→B、Γ├→A¬B和MP,可以得到Γ├B和Γ├¬B。因此Γ不是最大化一致集合,和假設矛盾。</li>
</ol></div>用Lindenbaum's lemma把Γ∪{¬A}擴充成最大化一致集合。<br />
<blockquote>Lindenbaum's lemma:任何一致的集合Γ都可以擴充成最大化一致集合Γ<sup>*</sup>。<br />
<blockquote>證明:<br />
<br />
找一個函數f,它的功能是把所有合法的語句從1開始編號。每個編號都不一樣。把Γ擴充成最大化一致集合Γ<sup>*</sup>的程序如下:<br />
<ul><li>Γ<sub>0</sub> = Γ(Γ<sub>0</sub>就是Γ)。</li>
<li>Γ<sub>n+1</sub> = Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>,如果Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>是一致的<br />
(如果Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>是一致的,那麼Γ<sub>n+1</sub> = Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>)。<br />
Γ<sub>1</sub> = Γ<sub>n</sub>,如果Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>是不一致的<br />
(如果Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>是不一致的,那麼Γ<sub>n+1</sub> = Γ<sub>n</sub>)。</li>
<li>Γ<sup>*</sup> = ∪<sub>n∈ω</sub>Γ<sub>n</sub>(Γ<sup>*</sup> = Γ<sub>0</sub>∪Γ<sub>1</sub>∪Γ<sub>2</sub>∪...Γ<sub>n</sub>∪...,ω是指自然數的集合。根據定義不能聯集一串無限大的集合,所以Γ<sup>*</sup> = Γ<sub>0</sub>∪Γ<sub>1</sub>∪Γ<sub>2</sub>∪...Γ<sub>n</sub>∪...的寫法是不合法的)。</li>
</ul>證明對任何屬於ω的n來說,Γ<sub>n</sub>是一致的(弱數學歸納法):<br />
<ul><li>B.C.:Γ<sub>0</sub>根據預設是一致的。</li>
<li>I.H.:假設Γ<sub>n</sub>是一致的。</li>
<li>I.C.:從Γ<sub>n</sub>變成Γ<sub>n+1</sub>有兩種情況。一,Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>是一致的,那麼Γ<sub>n+1</sub> = Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>,在這種情況下Γ<sub>n+1</sub>是一致的。二,Γ<sub>n</sub>∪φ<sub>n+1</sub>是不一致的,那麼Γ<sub>n+1</sub> = Γ<sub>n</sub>,根據I.H.,Γ<sub>n+1</sub>是一致的。</li>
</ul>故得證對任何屬於ω的n來說(for any n∈ω),Γ<sub>n</sub>是一致的。<br />
<br />
證明每個Γ<sup>*</sup>的子集合都是某些Γ<sub>n</sub>的子集合(反證法):<br />
假設有個Γ<sup>*</sup>的子集合α,α不是任何Γ<sub>n</sub>的子集合,因此,α裡的某些語句φ不屬於任何Γ<sub>n</sub>。然而,Γ<sup>*</sup> = ∪<sub>n∈ω</sub>Γ<sub>n</sub>,所以屬於Γ<sup>*</sup>的語句一定會屬於某個Γ<sub>n</sub><br />
<br />
證明Γ<sup>*</sup>是一致的(反證法):<br />
假設Γ<sup>*</sup>是不一致的,因此對某個語句A而言Γ<sup>*</sup>├A而且Γ<sup>*</sup>├¬A。在推導是有限長的情況下,被拿來當前提的語句也會是有限多個。把推導出A的前提們稱做α,α是Γ<sup>*</sup>的子集合;把推導出¬A的前提們稱做β,β是Γ<sup>*</sup>的子集合。讓Γ等於α聯集β,Γ也會是Γ<sup>*</sup>的子集合,此外,Γ├A而且Γ├¬A。出現了有個Γ<sup>*</sup>的子集合是不一致的情況。然而根據之前證明過的,<br />
<ul><li>每個Γ<sup>*</sup>的子集合都是某些Γ<sub>n</sub>的子集合</li>
<li>對任何屬於ω的n來說,Γ<sub>n</sub>是一致的</li>
</ul>因此Γ會是一致的。產生矛盾,因此Γ<sup>*</sup>是一致的。<br />
<br />
證明Γ<sup>*</sup>是最大化的(反證法):<br />
假設Γ<sup>*</sup>不是最大化的,因此,會有某個語句A,A∉Γ<sup>*</sup>,而且Γ<sup>*</sup>∪{A}是一致的。然而,A會被標上某個編號,例如A<sub>m</sub>,因為Γ<sup>*</sup>∪{A}是一致的,所以A∈Γ<sub>m</sub>,所以A∈Γ<sup>*</sup>。產生矛盾,因此Γ<sup>*</sup>是最大化的。</blockquote>於是就證明了任何一致的集合Γ都可以擴充成最大化一致集合Γ<sup>*</sup></blockquote>用Γ<sup>*</sup>做出一個特別的真值設定v。<br />
<blockquote>這個特別的真值設定v是長這樣的:<br />
<ul><li>v(A) = 1,若且唯若,φ是原子語句而且φ∈Γ<sup>*</sup>。</li>
<li>v(A) = 0,若且唯若,φ是原子語句而且φ∉Γ<sup>*</sup>。</li>
</ul>Henkin Lemma:這個特別的真值設定v的v',對任何合法語句φ而言,φ∈Γ<sup>*</sup>若且唯若v'(φ) = 1。<br />
<blockquote>證明(強數學推納法,用φ裡的連接詞數量做排序):<br />
<ul><li>B.C.:φ是原子語句,根據那個特別的真值設定v的定義,φ∈Γ<sup>*</sup>若且唯若v'(φ) = 1。</li>
<li>I.H.:假設,對所有連接詞數量小於n的合法語句而言,φ∈Γ<sup>*</sup>若且唯若v'(φ) = 1。</li>
</ul>I.C.:當φ的連接詞數量是n的時候,要嘛φ = ¬ψ,要嘛φ = ψ→χ。<br />
<ol><li>φ = ¬ψ<br />
ψ的連接詞數量是n-1,根據I.H.,ψ∈Γ<sup>*</sup>若且唯若v'(ψ) = 1。v'(φ) = 1若且唯若v'(ψ) = 0,v'(ψ) = 0若且唯若ψ∉Γ<sup>*</sup>。因為Γ<sup>*</sup>是最大化一致集合,根據之前證的「如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,要嘛A∈Γ,要嘛¬A∈Γ」,ψ∉Γ<sup>*</sup>所以¬ψ∈Γ<sup>*</sup>。因此φ∈Γ<sup>*</sup>。 </li>
.
<li>φ = ψ→χ<br />
ψ和χ的連接詞數量都小於n。<br />
<br />
(如果φ∈Γ<sup>*</sup>則v'(φ) = 1)(反證法)<br />
假設φ∈Γ<sup>*</sup>而且v'(φ) = 0。v'(φ) = 0,所以v'(ψ) = 1而且v'(χ) = 0。v'(ψ) = 1而且v'(χ) = 0,根據I.H.,ψ∈Γ<sup>*</sup>而且χ∉Γ<sup>*</sup>。根據χ∉Γ<sup>*</sup>和「如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,要嘛A∈Γ,要嘛¬A∈Γ」,可以推論出¬χ∈Γ<sup>*</sup>。因為ψ∈Γ<sup>*</sup>和¬χ∈Γ<sup>*</sup>,所以Γ<sup>*</sup>├ψ而且Γ<sup>*</sup>├¬χ。根據定理├ψ→(¬χ→¬(ψ→χ))和MP,得到Γ<sup>*</sup>├¬(ψ→χ)。根據Γ<sup>*</sup>├¬(ψ→χ)和之前證的「如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,如果Γ├A,那麼A∈Γ」,可以得到¬(ψ→χ)∈Γ<sup>*</sup>。因此¬φ∈Γ<sup>*</sup>。因此φ∈Γ<sup>*</sup>而且¬φ∈Γ<sup>*</sup>,所以Γ<sup>*</sup>├φ而且Γ<sup>*</sup>├¬φ,Γ<sup>*</sup>是不一致的。這個結果和Γ<sup>*</sup>是一致的預設矛盾。<br />
.<br />
(如果v'(φ) = 1則φ∈Γ<sup>*</sup>)<br />
假設v'(φ) = 1,所以v'(ψ) = 0或v'(χ) = 1。根據I.H.,ψ∉Γ<sup>*</sup>或χ∈Γ<sup>*</sup>。<br />
<br />
1.ψ∉Γ<sup>*</sup><br />
根據「如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,要嘛A∈Γ,要嘛¬A∈Γ」,¬ψ∈Γ<sup>*</sup>,因此Γ<sup>*</sup>├¬ψ。根據Γ<sup>*</sup>├¬ψ、定理├¬ψ→(ψ→χ)和MP可以得到Γ<sup>*</sup>├ψ→χ。根據Γ<sup>*</sup>├ψ→χ和「如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,如果Γ├A,那麼A∈Γ」,可以得到ψ→χ∈Γ<sup>*</sup>,也就是φ∈Γ<sup>*</sup>。<br />
<br />
2.χ∈Γ<sup>*</sup><br />
χ∈Γ<sup>*</sup>,所以Γ<sup>*</sup>├χ。根據公理├χ→(ψ→χ)和Γ<sup>*</sup>├χ和MP可以得到Γ<sup>*</sup>├ψ→χ。根據Γ<sup>*</sup>├ψ→χ和「如果Γ是最大化一致集合,那麼對任何合法的語句A而言,如果Γ├A,那麼A∈Γ」,可以得到ψ→χ∈Γ<sup>*</sup>,也就是φ∈Γ<sup>*</sup>。</li>
</ol></blockquote>得證Henkin Lemma。</blockquote>完備性:Γ ⊧A則Γ├A。<br />
<blockquote>Γ ⊧A則Γ├A,若且唯若,並非Γ├A則並非Γ ⊧A,若且唯若,Γ∪{¬A}是一致的則Γ∪{¬A}有一個模型。<br />
<br />
Γ∪{¬A}是一致的,所以可以用Lindenbaum's lemma把Γ∪{¬A}擴充成最大化一致集合Γ<sup>*</sup>,然後用Γ<sup>*</sup>做出一個特別的真值設定v。根據Henkin Lemma,因為Γ∪{¬A}裡的語句都屬於Γ<sup>*</sup>,所以這個v的v'給Γ∪{¬A}裡的語句的值都會是1,因此Γ∪{¬A}有一個模型。</blockquote>得證語句邏輯的完備性。<br />
<br />
參考資料:中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-87177582182187684172011-02-14T14:21:00.002+08:002011-02-14T14:27:22.926+08:00語句邏輯的健全性如果你不太能理解這篇文章在幹嘛,建議先讀過下列文章。<br />
<ul><li><a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/syntax-and-semantics-for-sentential.html">語句邏輯的語法和語意</a></li>
<li><a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/proof-theoretic-system-for-sentential.html">語句邏輯的證明系統</a></li>
</ul>健全性(soundness):如果Γ├A,那麼Γ ⊧A。如果某組語句Γ可以推導出某個語句A,那麼不管語句們的真值設定是什麼,都不會出現Γ裡的語句都為真但A為假的情況(Γ可以是空集合)(健全性是後設定理)。<br />
<br />
PS系統的健全性證明:<br />
<br />
使用<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/proof-by-induction.html">強數學歸納法</a>,用推論出A需要幾行證明為Γ├A排序。<br />
<br />
B.C.當證明行數為1的時候,A要嘛是公理,要嘛是前提。<br />
<ul><li>A是公理:<br />
<ol><li>公理1:├A→(B→A)<br />
如果有個真值設定v讓v'(A→(B→A)) = 0(讓A→(B→A)為假),那麼<u>v'(A) = 1</u>而且v'(B→A) = 0。想讓v'(B→A) = 0,那麼v'(B) = 1而且v'(A) = 0。但是v'(A)在之前設定的值是1(畫底線的地方),所以找不到讓v'(A→(B→A)) = 0的真值設定。因此 ⊧A→(B→A)成立。<br />
.</li>
<li>公理2:├(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))<br />
如果有個真值設定v讓v'((A→(B→C))→((A→B)→(A→C))) = 0,那麼<u>v'(A→(B→C)) = 1</u>而且v'((A→B)→(A→C)) = 0。讓v'((A→B)→(A→C)) = 0,那麼v'(A→B) = 1而且v'(A→C) = 0。讓v'(A→C) = 0,那麼v'(A) = 1而且v'(C) = 0。v'(A) = 1,所以要讓v'(A→B) = 1的話,v'(B) = 1。但是v'(A) = 1而且v'(C) = 0而且v'(B) = 1的話,v'(A→(B→C)) = 0,和之前v'(A→(B→C)) 設定的值(畫底線處)不同。因此找不到讓v'((A→(B→C))→((A→B)→(A→C))) = 0的真值設定。⊧(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))成立。<br />
.</li>
<li>公理3:├(¬A→¬B)→(B→A)<br />
如果有個真值設定v讓v'((¬A→¬B)→(B→A)) = 0,那麼<u>v'(¬A→¬B) = 1</u>而且v'(B→A) = 0。讓v'(B→A) = 0,那麼v'(B) = 1而且v'(A) = 0。但是如此一來會讓<u>v'(¬A→¬B) = 0</u>,所以⊧(¬A→¬B)→(B→A)成立。<br />
.</li>
</ol></li>
<li>A是前提:<br />
當前提裡的所有語句φ在某個真值設定v底下,v'(φ) = 1,那麼v'(A)當然也會是1。</li>
</ul><div>I.H.假設,當Γ├A的證明長度小於n時,如果Γ├A則Γ ⊧A。</div><div><br />
</div><div>I.C.當Γ├A的證明長度等於n時,A要嘛是公理,要嘛是前提,要嘛是用MP規則推論出來的。</div><blockquote>A是公理的話,在B.C.已經證明公理都是恆真句了,所以Γ⊧A(A是公理)。<br />
<br />
A是前提的情況,證明方式和B.C.差不多。<br />
<br />
A是用MP規則推論出來的,也就是說,A是如下推論出來的:<br />
第1行:Γ├某個句子<br />
第2行:Γ├某個句子<br />
…<br />
第 i 行:Γ├B→A<br />
…<br />
第 j 行:Γ├B<br />
…<br />
第 n 行:Γ├A(根據第i行、第j行及MP)<br />
<br />
因為第 i 行和第 j 行的推論長度都小於第 n 行,所以它們都可以使用I.H.做推論。所以可以得到Γ⊧B→A和Γ⊧B。Γ⊧B→A的意思是,在任何真值設定v下,如果有v'讓Γ裡所有語句的值都是1,那麼那個v'也會讓B→A的值是1(<u>v'(B) = 0 或v'(A) = 1</u>)。Γ⊧B的意思是,在任何真值設定v下,如果有v'讓Γ裡所有語句的值都是1,那麼那個<u>v'也會讓B的值是1</u>。<br />
<br />
根據上一段畫了底線的那兩句話,可以知道,在Γ⊧B→A和Γ⊧B都成立的情況裡,<br />
在任何真值設定v下,v'(A) = 1。因此,在Γ⊧B→A和Γ⊧B都成立的情況裡,Γ⊧A也成立。</blockquote><div>得證PS這個證明系統的健全性。<br />
<br />
參考資料:中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。</div>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-10573558511032988842011-02-13T17:29:00.001+08:002011-02-13T17:29:56.699+08:00數學歸納法數學歸納法(proof by induction)是集合論裡的定理(theorem)。這個定理用在語句邏輯上大概是這個樣子:<br />
<blockquote>想證明某一類型的<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/syntax-and-semantics-for-sentential.html">合法語句</a>都具有某個性質P,就得先為該類型的語句們用自然數排序(例如句子裡面沒有連接詞的語句們的排序是0,有一個連接詞的語句們的排序是1之類的),然後就可以用數學歸納法了。<br />
<br />
先證明排序中最小的語句們(例如,如果是用語句的連接詞數量來排序,那麼最小的排序是0;如果是用推論的長度來排序,那麼最小的排序是1)有性質P(base case),然後假設排序n的語句們有性質P(inductive hypothesis),再利用假設證明排序為n+1的語句們也有性質P(inductive case)。這樣就能得到我們想要的結論:任何排序的語句都有性質P。</blockquote>有三種使用數學歸納法的方式,弱歸納法(weak induction)、強歸納法(strong induction)和良序歸納法(well-ordering induction)。但是我不清楚良序歸納法是什麼就不寫了。<br />
<br />
弱歸納法<br />
<ul><li>Base Case:證明最小的排序有性質P。</li>
<li>Inductive Hypothesis:假設排序<b>為n</b>的語句有性質P。</li>
<li>Inductive Case:用IH證明排序<b>為n+1</b>的語句有性質P。<br />
得證任何排序的語句都有性質P。</li>
</ul><div>強歸納法</div><ul><li>Base Case:證明最小的排序有性質P。</li>
<li>Inductive Hypothesis:假設排序<b>小於n</b>的語句都有性質P。</li>
<li>Inductive Case:用IH證明排序<b>為n</b>的語句有性質P。<br />
得證任何排序的語句都有性質P。(強歸納法的範例可以在<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/proof-theoretic-system-for-sentential.html">這篇文章</a>裡找到)</li>
</ul><div><br />
</div><div>數學歸納法的部分我沒有讀得很清楚,所以這篇不是寫得很好。Kiki有在講義附上參考書目(Causey R. (2001), <i>Logic, Sets, and Recursion.</i>),有興趣的人可以找來看看。</div><div><br />
</div><div>參考資料:中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。</div>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8698801679947257999.post-63556193059814993922011-02-12T17:52:00.008+08:002011-02-19T21:27:41.472+08:00語句邏輯的證明系統 (這裡用的A、B、C可以替換成其他<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/syntax-and-semantics-for-sentential.html">合法</a>的語句)<br />
<br />
證明系統裡有公理(axiom)和推論規則(rule of inference)這兩個部分。<br />
<br />
Kiki上課時用的證明系統(PS系統)裡只用了兩個連接詞,¬和→。不過我忘記要怎麼證明這兩個連接詞就夠用了。另外,Kiki有提到其實只要「|」這個連接詞<sup>*1</sup>就夠用。證明系統的公理越少,以後在證明健全性和完備性時會比較簡單,但是做推論時會比較麻煩,要寫好幾行才能推論出想要的東西。<br />
<br />
PS系統裡會用到「├」這個符號,如果我沒記錯的話這個符號的名字是single term style。<br />
<blockquote>證明(proof):├A<br />
意思是A是公理,或A是由公理和推論規則產生的。A不需要任何前提就能堆論出來。<br />
<br />
推導(deduction):Γ├A<br />
意思是A是由Γ這組前提,以及公理和推論規則產生的語句。Γ是由語句們形成的集合。當Γ├A裡的Γ是空集合時,它就是├A。<br />
<br />
一致(consistency):<br />
Γ 是個一致的集合,若且唯若,對於某個語句A而言,不會有Γ├A而且Γ├¬A的情況發生。</blockquote>PS系統的公理:<br />
<ol><li>├A→(B→A)</li>
<li>├(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))</li>
<li>├(¬A→¬B)→(B→A)</li>
</ol><div>PS系統的推論規則:Modus Ponens(MP)<br />
<ul><li>由├A→B和├A可以得到├B,或者</li>
<li>A→B, A├B</li>
</ul><div>有了公理和推論規則後,就可以推論出其它定理(theorem)(因為還沒證明語句邏輯的<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/soundness-of-sentential-logic.html">健全性</a>和<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/completeness-of-sentential-logic.html">完備性</a>,所以不能用語句的真假值來證明這些定理):<br />
<br />
</div>推導├A→A。<br />
<ol><li>├A→((A→A)→A) 公理1 </li>
<li>├(A→((A→A)→A))→((A→(A→A))→(A→A)) 公理2</li>
<li>├(A→(A→A))→(A→A) 1,2,MP</li>
<li>├A→(A→A) 公理1</li>
<li>├A→A 3,4,MP</li>
</ol><div>推導Γ, A├B若且唯若Γ├A→B(這是後設定理,因為在語句邏輯的語法裡沒有說「Γ」、「若且唯若」是合法的語句邏輯符號)。</div><blockquote>1.如果Γ├A→B則Γ, A├B。<br />
當Γ├A→B時,如果在前提裡加進A,讓前提從Γ變成Γ, A,那麼除了<br />
Γ, A├A→B以外我們還可以得到Γ, A├A。根據MP規則,從Γ, A├A→B和Γ, A├A我們可以推論出Γ, A├B。</blockquote><blockquote>2.如果Γ, A├B則Γ├A→B。<br />
這時候要用到<a href="http://aaphi.blogspot.com/2011/02/proof-by-induction.html">數學歸納法</a>。用推導的長度為Γ, A├B的推導們排序(例如之前推導├A→A時推導的長度是五行)。<br />
<blockquote>Base Case:<br />
證明當Γ, A├B推導的長度是一行時,Γ, A├B則Γ├A→B會成立。<br />
<br />
Γ, A├B推導的長度是一時,要嘛B和A是同一個語句,要嘛B是公理或Γ裡的某個語句。<br />
<ol><li>B和A是同一個語句:<br />
那麼根據├A→A這個定理,Γ├A→B會成立。</li>
<li>B是公理:<br />
因此Γ├B。加上公理1Γ├B→(A→B),使用MP規則可以得到Γ├A→B。</li>
<li>B是Γ裡的某個語句:<br />
因此Γ├B。加上公理1Γ├B→(A→B),使用MP規則可以得到Γ├A→B。</li>
</ol>Inductive Hypothesis:<br />
假設當Γ, A├B的推導長度小於n時,Γ, A├B則Γ├A→B會成立。<br />
<br />
Inductive Case:<br />
利用Inductive Hypothesis證明當Γ, A├B推導的長度是n行時,Γ, A├B則Γ├A→B會成立。<br />
<br />
Γ, A├B推導的長度是n時,要嘛B和A是同一個語句,要嘛B是公理或Γ裡的某個語句,要嘛B是用MP規則推論出來的。<br />
<ol><li>B和A是同一個語句:證明方式和Base Case一樣。</li>
<li>B是公理:同上。</li>
<li>B是Γ裡的某個語句:同上。</li>
<li>B是用MP規則推論出來的:<br />
也就是說,B是這樣推論出來的:<br />
第1行:Γ, A├某個句子<br />
第2行:Γ, A├某個句子<br />
…<br />
第 i 行:Γ, A├C→B<br />
…<br />
第 j 行:Γ, A├C<br />
…<br />
第 n 行:Γ, A├B(根據第i行、第j行及MP)<br />
<br />
因為第 i 行和第 j 行的推論長度都小於第 n 行,所以它們都可以使用Inductive Hypothesis做推論。所以Γ, A├C→B使用IH後我們得到Γ├A→(C→B)。Γ, A├C使用IH後得到Γ├A→C。再使用公理2Γ├(A→(C→B))→((A→C)→(A→B))和MP規則,就可以得到Γ├A→B。<br />
</li>
</ol></blockquote></blockquote>其他PS系統裡的後設定理(大概不只這些):<br />
<ul><li>Idempotence:Γ, A├A</li>
<li>Monotonicity(單調性):如果Γ├A,那麼Γ, Σ├A</li>
<li>Cut:如果Γ, A├B而且Γ, A, B, Σ├C,那麼Γ, A, Σ├C</li>
</ul><div>其他PS系統裡的定理:</div><div><ul><li>→的傳遞性:A→B, B→C├A→C</li>
<li>├¬A→(A→B)<br />
如果某組前提可以推論出A也可以推論出¬A(也就是說,這組前提不一致),那麼根據MP規則及這個定理,這組前提可以推論出任何語句。</li>
<li>├¬¬A→A</li>
<li>├A→¬¬A</li>
<li>├A→((A→B)→B)</li>
<li>├(A→B)→(¬B→¬A)</li>
<li>├(A→¬A)→¬A</li>
<li>懶得列了,就這樣。有興趣的人可以試試看自己推導這些定理。不過我幾乎都證不出來,嘛哈。</li>
</ul></div>參考資料:中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。<br />
<br />
Note:<br />
<ol><li>這個連接詞的真值表如下:<br />
A|B<br />
T F T<br />
T T F<br />
F T T<br />
F T F</li>
</ol></div>rossignolhttp://www.blogger.com/profile/17041488975102441736noreply@blogger.com9