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2.02.2011

語句邏輯的語法和語意

(用φ、ψχ代表合法的語句,用Γ、Σ、Φ、Δ代表合法語句的集合 )
語法(syntax)

定義合法的邏輯符號:
  • ¬、∧、∨、→、↔ (邏輯連接詞)
  • A、A1、A2、…B、B1、B2、… (有可數無限大那麼多的語句符號)
  • (、) (括號)
定義合法的語句(well-formed formula,wff):
  1. A、A1、A2、…、B、B1、B2、…這些都是合法的語句。
  2. 如果φ和ψ都是合法的語句,那麼下列這些也是:
    ¬φ、¬ψ
    φ∧ψ
    φ∨ψ
    φ→ψ
    φ↔ψ
  3. 只有符合前兩點的才是合法的句子。
這樣的定義被稱為遞迴定義(recursive definition)。當你要確定某串符號是不是符合定義,就得一直往前追朔其他東西是不是符合定義。例如,要檢查(A∧C)→(↔B)是不是wff,就得檢查(A∧C)和↔B是不是wff(根據定義2)。要檢查A∧C是不是wff,就得看A和C是不是wff(根據定義2);A和C是wff(根據定義1),所以A∧C是wff。而↔B不符合定義1也不符合定義2,所以它不是wff(根據定義3)。因此,(A∧C)→(↔B)不是wff。

使用遞迴定義的好處是只要寫幾行字就夠了,而且以後可以用數學歸納法做推論。

語意(semantics)

語意談論的是語句的真假值。賦予語句真假值的是函數v(被稱為structure或interpretation)和函數v'(v的unique extension)。

函數v的定義域是語句符號(sentence letter,SL)的集合;對應域則是{0,1},1代表真,0代表假。換句話說,v會給每個原子語句(atomic sentence,原子語句是沒有用到任何邏輯連接詞的wff)設定真假值。(相關文章:Number of Structures in Sentential Logic - 哲學與思方)

v'的定義域是wff,對應域是{0,1}。詳情如下:
  • v'(φ)=1 iff v(φ)=1
    v'(φ)=0 iff v(φ)=0
    v'給φ的真值設定為真,若且唯若,v給φ的真值設定為真。
    v'給φ的真值設定為假,若且唯若,v給φ的真值設定為假。
  • v'(¬φ)=1 iff v'(φ)=0
    v'(¬φ)=0 iff v'(φ)=1
    v'給¬φ的真值設定為真,若且唯若,v'給φ的真值設定為假。
    v'給¬φ的真值設定為假,若且唯若,v'給φ的真值設定為真。
  • v'(φ∧ψ)=1 iff v'(φ)=1 and v'(ψ)=1
    v'(φ∧ψ)=0 iff v'(φ)=0 or v'(ψ)=0
    .
  • v'(φ∨ψ)=1 iff v'(φ)=1 or v'(ψ)=1
    v'(φ∨ψ)=0 iff v'(φ)=0 and v'(ψ)=0
    .
  • v'(φ→ψ)=1 iff v'(φ)=0 or v'(ψ)=1
    v'(φ→ψ)=0 iff v'(φ)=1 and v'(ψ)=0
    .
  • v'(φ↔ψ)=1 iff v'(φ)=v'(ψ)
    v'(φ↔ψ)=0 iff v'(φ)¹v'(ψ)
v只能為原子語句設定真假值,但是v的unique extension v'可以(根據v對原子語句的真值設定)為任何wff設定真假值。

定義完v和v'以後,就可以定義語句邏輯裡的恆真句(tautology)和蘊含(tautological consequence)了:
  • tautological consequence:
    Γ ⊧φ iff ∀v, if ∀x∈Γ , v'(x)=1, then v'(φ)=1
    某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ,若且唯若,對所有的v而言(不同的v會給原子語句們不同的真假值),如果有v的unique extension v'使的Γ 裡的語句全部為真時,該v'也會讓φ為真。
    換句話說,某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ,若且唯若,不管Γ 和φ裡包含的原子語句們的真值設定是什麼,當Γ 裡的語句都為真時,φ也會為真。
    再換句話說,某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ,若且唯若,找不到可以讓Γ 裡的語句都為真而且φ為假的真值設定。
    .
  • tautology:
    ∅⊧φ
    某個語句φ是恆真句,若且唯若,對所有的v而言,v的unique extension v'都會讓φ為真。
    換句話說,某個語句φ是恆真句,若且唯若,不管φ裡包含的原子語句們的真值設定是什麼,φ都會為真。
根據上述對⊧這個關於語句之間的關係(relation)的定義,我們可以發現它有幾個有趣的性質:
  • 自反性(reflexivity):φ⊧φ
  • 喀嚓*1(cut):if Γ, φψ and Σ, ψ⊧χ, then Γ, Σ, φ⊧χ
  • 單調性(monotonicity):if Γ⊧φ, then Γ,Σ⊧φ
  • conditionalization:⊧φ→ψ iff φ⊧ψ
    (有修過蔡行健老師的基礎邏輯一的同學,這個就是(⊧,→)規則)
  • clourse under MP:if Γ⊧φ→ψ and Γ⊧φ, then Γψ
不相信的人可以自己檢查看看。


在這篇文章裡,我們用中文、英文、希臘字母和集合論描述語句邏輯。因此,中文、英文、希臘字母和集合論是後設語言(metalanguage),語句邏輯是目標語言(object language)。⊧不是邏輯符號,v和v'也不是,因為語法在定義合法的邏輯符號時沒有說它們是邏輯符號。⊧、v和v'是後設語言,不是目標語言。

參考資料:中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。

Note:
  1. 來自老胡的可愛翻譯。

6 comments:

  1. 文章裡每個符號妳都會唸嗎?

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  2. 大概都會唸吧,可是不曉得標不標準。

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  3. 我的問題是,文章裡如果一直出現我不會唸的符號,
    到後來我就會完全看不懂整篇文章的意思 orz

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  4. 發音(參考資料http://blog.tmu.edu.tw/m110092002/000095.html):
    Γ gamma
    Δ delta
    Σ sigma
    Φ phi(KK音標[faɪ])
    φ phi
    ψ psi(kiki把它念做「塞」)
    χ chi(KK音標[kaɪ])

    ⊧ 如果我沒記錯的話這個符號的名字是double term style,發音我就不清楚了。

    如果還是不行的話就自己捏造一個發音,或把文章複製下來用文書處理軟體把不熟的符號替換成熟悉的符號。(拍拍)

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  5. 這什麼鬼交談啦(翻桌

    ReplyDelete

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