語句邏輯的語法和語意

（用φ、ψ、χ代表合法的語句，用Γ、Σ、Φ、Δ代表合法語句的集合 ）

語法（syntax）

定義合法的邏輯符號：

• ¬、∧、∨、→、↔　（邏輯連接詞）
• A、A₁、A₂、…B、B₁、B₂、…　（有可數無限大那麼多的語句符號）
• (、)　（括號）

定義合法的語句（well-formed formula，wff）：

1. A、A₁、A₂、…、B、B₁、B₂、…這些都是合法的語句。
2. 如果φ和ψ都是合法的語句，那麼下列這些也是：
   ¬φ、¬ψ
   φ∧ψ
   φ∨ψ
   φ→ψ
   φ↔ψ
3. 只有符合前兩點的才是合法的句子。

這樣的定義被稱為遞迴定義（recursive definition）。當你要確定某串符號是不是符合定義，就得一直往前追朔其他東西是不是符合定義。例如，要檢查(A∧C)→(↔B)是不是wff，就得檢查(A∧C)和↔B是不是wff（根據定義2）。要檢查A∧C是不是wff，就得看A和C是不是wff（根據定義2）；A和C是wff（根據定義1），所以A∧C是wff。而↔B不符合定義1也不符合定義2，所以它不是wff（根據定義3）。因此，(A∧C)→(↔B)不是wff。

使用遞迴定義的好處是只要寫幾行字就夠了，而且以後可以用數學歸納法做推論。

語意（semantics）

語意談論的是語句的真假值。賦予語句真假值的是函數v（被稱為structure或interpretation）和函數v'（v的unique extension）。

函數v的定義域是語句符號（sentence letter，SL）的集合；對應域則是{0,1}，1代表真，0代表假。換句話說，v會給每個原子語句（atomic sentence，原子語句是沒有用到任何邏輯連接詞的wff）設定真假值。（相關文章：Number of Structures in Sentential Logic - 哲學與思方）

v'的定義域是wff，對應域是{0,1}。詳情如下：

• v'(φ)=1 iff v(φ)=1
  v'(φ)=0 iff v(φ)=0
  v'給φ的真值設定為真，若且唯若，v給φ的真值設定為真。
  v'給φ的真值設定為假，若且唯若，v給φ的真值設定為假。
• v'(¬φ)=1 iff v'(φ)=0
  v'(¬φ)=0 iff v'(φ)=1
  v'給¬φ的真值設定為真，若且唯若，v'給φ的真值設定為假。
  v'給¬φ的真值設定為假，若且唯若，v'給φ的真值設定為真。
• v'(φ∧ψ)=1 iff v'(φ)=1 and v'(ψ)=1
  v'(φ∧ψ)=0 iff v'(φ)=0 or v'(ψ)=0
  .
• v'(φ∨ψ)=1 iff v'(φ)=1 or v'(ψ)=1
  v'(φ∨ψ)=0 iff v'(φ)=0 and v'(ψ)=0
  .
• v'(φ→ψ)=1 iff v'(φ)=0 or v'(ψ)=1
  v'(φ→ψ)=0 iff v'(φ)=1 and v'(ψ)=0
  .
• v'(φ↔ψ)=1 iff v'(φ)=v'(ψ)
  v'(φ↔ψ)=0 iff v'(φ)¹v'(ψ)

v只能為原子語句設定真假值，但是v的unique extension v'可以（根據v對原子語句的真值設定）為任何wff設定真假值。

定義完v和v'以後，就可以定義語句邏輯裡的恆真句（tautology）和蘊含（tautological consequence）了：

• tautological consequence：
  Γ ⊧φ iff ∀v, if ∀x∈Γ , v'(x)=1, then v'(φ)=1
  某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ，若且唯若，對所有的v而言（不同的v會給原子語句們不同的真假值），如果有v的unique extension v'使的Γ 裡的語句全部為真時，該v'也會讓φ為真。
  換句話說，某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ，若且唯若，不管Γ 和φ裡包含的原子語句們的真值設定是什麼，當Γ 裡的語句都為真時，φ也會為真。
  再換句話說，某一組語句Γ 邏輯蘊含語句φ，若且唯若，找不到可以讓Γ 裡的語句都為真而且φ為假的真值設定。
  .
• tautology：
  ∅⊧φ
  某個語句φ是恆真句，若且唯若，對所有的v而言，v的unique extension v'都會讓φ為真。
  換句話說，某個語句φ是恆真句，若且唯若，不管φ裡包含的原子語句們的真值設定是什麼，φ都會為真。

根據上述對⊧這個關於語句之間的關係（relation）的定義，我們可以發現它有幾個有趣的性質：

• 自反性（reflexivity）：φ⊧φ
• 喀嚓^*1（cut）：if Γ, φ⊧ψ and Σ, ψ⊧χ, then Γ, Σ, φ⊧χ
• 單調性（monotonicity）：if Γ⊧φ, then Γ,Σ⊧φ
• conditionalization：⊧φ→ψ iff φ⊧ψ
  （有修過蔡行健老師的基礎邏輯一的同學，這個就是（⊧，→）規則）
• clourse under MP：if Γ⊧φ→ψ and Γ⊧φ, then Γ⊧ψ

不相信的人可以自己檢查看看。

在這篇文章裡，我們用中文、英文、希臘字母和集合論描述語句邏輯。因此，中文、英文、希臘字母和集合論是後設語言（metalanguage），語句邏輯是目標語言（object language）。⊧不是邏輯符號，v和v'也不是，因為語法在定義合法的邏輯符號時沒有說它們是邏輯符號。⊧、v和v'是後設語言，不是目標語言。

參考資料：中正哲學所九十九學年度第一學期進階邏輯Kiki的講義。

Note：

1. 來自老胡的可愛翻譯。