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4.30.2010

在春天遇見科學期中考

潘瑋出的其中兩題真是太有趣了:
1-1:你覺得學校最漂亮的建築物是哪一棟(要寫出建築物的名字)。
1-2:把全班上一題的答案做統計,你猜哪個答案出現最多次。

2-1:有個超能力訓練班要招生,學費多少錢你才願意去?(答案可以是負的)
2-2:把全班在上一題的答案取平均,你猜平均是多少?(±10%都給對)
1-1我寫文學院,不過不是因為我覺得文學院很漂亮,而是因為待在文院四樓的時候我會覺得很開心。1-2我寫圖書館,因為老師要我們寫建築物的名字,而我猜大家都知道「圖書館」怎麼寫、通常每個大學都有圖書館、大家都知道「通常每個大學都有圖書館」。

2-1我寫負兩萬(我真是太仁慈了…)。2-2,我猜平均一定會小於零、不會有人寫正無限大、搞不好會有人寫負無限大,所以我這題寫負無限大。交卷後隔壁桌同學告訴我,無限大不是數字,而是概念,這是讀理科的人的常識。交卷後馬上就知道自己鐵定錯一題的感覺真是奇妙啊。

考完期中考的第一次上課,老師說,
1-2的正確答案是行政大樓。可能很多人會嚇一跳,行政大樓明明不是最漂亮的為什麼它會被拱出來啊。這是因為我要求要寫出建築物的名字,所以大家只會從知道名字的建築物裡挑一個寫;就算某棟樓真的很漂亮,可是大家都記不住名字,這棟樓就沒辦法成為最高票了。

這就是為什麼選舉時候選人會拼命打知名度的關係;而且就算選舉時票票等值,選舉結果還是會跌破大家眼鏡(這個候選人明明不是最好的怎麼會當選啊)。

2-2,寫無限大的不算啦,那不是數字。這題的訣竅是在2-1把自己的答案寫得很大很大很大很大,大到其他同學的答案、全班的人數都不會影響的地步,然後2-2就寫那個數。

出這題要告訴我們的是,有時候選美比賽還是要評分什麼的,例如每個評審可以打1-100分,這樣的評分制似乎很公平,但只要某個評審給的分數很極端,就可以影響評分的結果。有人可能會說,那把最大值和最小值都去掉再取平均,但就算是這樣,也只要收買兩個評審就夠了,一個打極端分數當砲灰,一個打比較不極端的分數來影響評分結果。
我覺得2-2真是很有趣的題目,當大家都知道把2-1寫得很大很大(但是又不能寫無限大),回答2-2對自己才有利時,那我到底要把數字寫得多大才夠勒?

我想最好的情況是每個人在2-1、2-2都寫零,這樣全班都可以拿到分數。但考慮到當下的情況2-1大家一定不會都寫零的,於是只能瞎猜、瞎擔心:其他人有聰明到想到要把2-1寫得很大很大嗎、我寫的數夠大嗎、如果我寫了負很大很大,但有人白目地寫正很大很大怎麼辦…

潘瑋出的題目真是好玩極了,就算被扣分我也心甘情願,哈哈哈;他沒有考「你猜大家第二小題會寫什麼」真可惜。

4.26.2010

好吃的上帝

侯維之在講本體論論證的時候,學長提供了一個論證:
  1. 好吃是一個完美的性質。
  2. 上帝擁有所有完美的性質,因此
  3. 上帝是好吃的。
侯維之說,不對不對,應該是這樣:
  1. 上帝不是好吃的。
  2. 上帝擁有所有完美的性質,因此
  3. 好吃不是一個完美的性質。

來亂的題外話:又沒有人吃過上帝,為什麼上帝不是好吃的?還是因為我們根本沒辦法吃上帝,所以上帝談不上是好吃的?

相關文章:
吃都吃不完的上帝 - 哲學哲學雞蛋糕

4.18.2010

中正哲學轉學考心得

考古題一定要去看一下,至少可以先知道在考場上可能會遇到什麼東西。看過英文和國文的考古題後我馬上就決定放棄掙扎,不過我有寫一些國文題目,上場考國文的時候居然出了考古題,運氣真好。

寒假時我就開始讀彭孟堯的符號邏輯,根據我寫過的考古題,這本書讀到第十三章關係述詞邏輯就夠了,其中的語意樹枝法和11-3、11-4可以跳過。我對這本書的心得在這一頁的最下面。

2008年的邏輯考題上寫著「註明你使用的推論規則來自哪一本書、作者是誰」,後來我在中正哲學系的邏輯課上總算知道為什麼要註明這件事,因為不同的書可能會用不同的邏輯符號或不同的推論規則。

為了準備哲概我至少讀了朱立安.巴吉尼的一把鑰匙走進哲學、彭孟堯的哲學入門—想想哲學、Thomas Nagel的哲學入門九堂課、林正弘主編的想一想哲學問題、一點點王文方的形上學,以及很多顆雞蛋糕,結果還是只考了六十幾分,我也不曉得該怎麼辦。

九十八學年度上學期用的哲概課本是Thomas Nagel的What Dose It All Mean,中譯本是哲學入門九堂課。我可以提供哲概時老師要我們分組討論的題目;下學期在教哲學史,目前出場的有笛卡兒和洛克。聽說九十七學年度的哲概課本是林正弘主編的想一想哲學問題。

我是早上八點半開始考試,如果你住得比較遠,可以考慮在中正附近住一晚(不好意思我住宿舍,沒辦法借房間給你睡)。

如果考上而且真的要去讀的話,就要回原學校辦退學了。我辦退學的手續寫在這裡

抵免學分時會有轉學生組成的社團裡的熱心同學跟你說明要怎麼做。中正的規定是你修過的學分和中正各科系開過的課裡,課程名稱一樣或課程內容差不多就可以抵,不過名稱不一樣內容一樣的要帶課程大綱給行政人員看。課程大綱看是要退學前自己下載下來,或是之後跟前同學要也可以。服務時數也能抵,記得問通識中心的行政人員抵免時間和要帶的資料有哪些。

相關文章:
我應該念分析哲學嗎 - 哲學哲學雞蛋糕
中正哲學轉學考攻略 - 哲學哲學雞蛋糕

4.17.2010

量限詞的推論規則

在量限詞的推論規則裡,搞清楚量限詞量限的範圍是很重要的事,以免在使用規則的時候不小心把被其他量限詞限制(bound)的變元也替代了,例如:
∀x(Ax∨∀x(Bx))
在這個例子裡右邊的∀x的量限範圍是Bx,因為Bx已經被別的量詞限制了,所以左邊的∀x量限的範圍只有到Ax。對左邊的∀x做替換的時候只能替換Ax的部分,不要撈過界去管右邊∀x家的Bx。
搞清楚量限詞量限的範圍也可以幫助我們選擇適合的變元來替代,以免改變量限詞的限制範圍,例如:
∀x∃y(Ax→By)
在這個例子裡∀x的量限範圍是Ax,∃y的範圍是By,當我們要對∀x做替代的時候如果是用y來替代,變成∃y(Ay→By),那麼∃y的量限範圍就會是Ay→By。為了避免替代後∃y的量限域改變,對∀x做替代的時候不要用y。
(2010年春修蔡行健基礎邏輯二的同學,以上就是那張講義上UI、EG、EI、UG的第一個規則講的事)

替代的時候,量限詞的量限域有多大,替代的範圍也要一樣大。例如:
∀x(Ay∧Bx∧Cx∧Dx)
如果我想把∀x用a替代,那麼替代後的結果會是Ay∧Ba∧Ca∧Da,不是Ba∧Ca∧Da,也不是Ax∧Bx∧Ca∧Da。

Aa∧Ba∧Cb∧Db
如果我想把這個語句替代成存在語句,我可以改成∃x(Ax∧Bx∧Cb∧Db),或∃x(Aa∧Ba∧Cx∧Dx),或連用兩次規則變成∃x∃y(Ax∧Bx∧Cy∧Dy),但是不能改成∃x(Ax∧Ba∧Cb∧Db)或∃x(Ax∧Bx∧Cx∧Dx)。
我們接著看UI、EG、EI和UG規則。

UI:全稱個例化(universal instantiation)

這個規則的意思是,從「所有的東西都是怎樣怎樣的」,我們可以有效地推論出「某個特定的東西是怎樣怎樣的」,也可以有效地推論出「不特定的東西是怎樣怎樣的」。

例如,從「所有的東西都是由原子構成的」,我們可以有效地推論出阿三是由原子構成的、電子是由原子構成的(我知道電子不是由原子構成的,謝謝,對這個推論有疑問的話請點上一段的連結)、不特定的東西也是原子構成的。

把這個規則寫成述詞邏輯會是這樣(用ω代表任何變元,用α代表任何變元或常元,用Φ代表該量限詞的量限域):
∀ωΦω
/∴Φα
EG:存在通則化(existential generalization)

這個規則的意思是,從「某個特定的東西是怎樣怎樣的」或「不特定的東西是怎樣怎樣的」,我們可以推論出「至少有一個東西是怎樣怎樣的」。

例如,從「武則天的鬍子是粉紅色的」或「不特定的東西是粉紅色的」,我們可以推論出「至少有個東西是粉紅色的」。

把這個規則寫成述詞邏輯會是這樣:
Φα
/∴∃ωΦω
EI:存在個例化(existential instantiation)

從「至少有個東西是怎樣怎樣的」,我們可以推論出「不特定的東西是怎樣怎樣的」。例如,從「至少有一個東西是兇手」,我們可以推論出「歪歪、阿姆斯特朗炫風噴射阿姆斯特朗砲、丁丁或…可能是兇手,雖然不曉得是兇手是哪些東西,但是兇手就在這些東西之中」。

把規則用述詞邏輯表示會是這樣:
∃ωΦω
/∴Φα
這個規則有兩個額外限制,
  1. α只能是變元不能是常元。因為從「至少有一個東西是兇手」我們最多只能推論出兇手在這些東西之中,沒辦法確定兇手到底是哪個特定的東西。
  2. 如果在之前的推論過程裡出現過沒有被量限到的自由(free)變元,那麼用EI規則做替代時,α不可以再用之前已經出現過的自由變元。
會有第二個限制是因為,如果推論過程裡出現了「不特定的x邏輯被當掉」,然後我們又用EI從「至少有一個東西是兇手」推論出「不特定的x是兇手」,這樣就會出現「不特定的x邏輯被當掉而且是兇手」的情況,邏輯被當掉已經很慘了不要再誣告他啦;如果有人堅持要陷害這個可能是無辜的傢伙,那麼就換他的邏輯被當掉了,科科。這時要用EI的話,選x以外的變元就可以了。

註:推論時如果要用到EI和UI,那麼EI要先用,以免犯了EI的第二個限制。

UG:全稱通則化(universal generalization

從「不特定的東西是怎樣怎樣的」,我們可以推論出「所有的東西都是怎樣怎樣的」。例如,我們國中還是高中在寫數學歸納法的時候,會先算n=1時該命題成立,然後假設n=k時該命題為真,從假設推論出n=k+1時命題也為真,中間經過一堆拉哩啦雜的步驟最後證明對所有的自然數來說該命題都成立。(不過我還是覺得UG規則有點奇怪,這看起來比較像歸納法而不是演繹法)

寫成述詞邏輯就是:
Φα
/∴∀ωΦω
UG有額外三個限制:
  1. α不可以是常元,只可以是變元。畢竟我們沒辦法從「n=1時該命題成立」直接推論出「對所有的自然數來說該命題都成立」。
  2. 如果在做UG之前有做過EI,那麼在EI那行出現過的自由變元UG都不能撿來用。
  3. 使用條件證法(conditional proof)或歸謬證法(indirect proof)的時候,我們會畫有點像「ㄈ」字形的東西。如果假設的前提裡有自由變元,那麼在「ㄈ」範圍內不可以對那些自由變元使用UG。
會有第二個限制的其中一個理由是,如果不這麼限制,我們就可以從「至少有個東西是兇手」推論出「不特定的東西是兇手」(EI),然後從「不特定的東西是兇手」推論出「所有的東西都是兇手」(UG),真是見鬼了。

此外,如果不這麼限制,我們就可以從「所有人都至少被一個人喜歡(∀y∃xLxy)」推論出「有個人喜歡所有人(∃x∀yLxy)」。

會有第三個限制是因為,如果不這麼限制,我們就可以從假設「不特定的東西是兇手」推論出「如果不特定的東西是兇手,那麼所有的東西都是兇手」。

註:UI、EG、EI、UG要用在整個命題上,不可以只用在命題的局部,例如,∀x(Ax)→∀x(Bx)不能用UI推出(Ax)→∀x(Bx)。∀x(Ax)→∀x(Bx)是一個條件句,不是全稱命題,遇上這種東西要先用十八條規則而不是量限推論規則。

QN:量限詞互換規則(quantificational negation)

QN比較簡單的記法:把∀和∃互換,然後在量限詞的左右邊都加上negation。


題外話:關於條件證法,如果結論裡出現選言句,例如¬P∨Q,可以試試看用條件證法推出P→Q或¬Q→¬P,然後就可以用Impl推出結論了。


參考書目:
<第十二章,述詞邏輯的證明>,彭孟堯,《符號邏輯》,心理,2000。

這是我在準備中正哲學轉學考時讀的邏輯書,作者在書裡提供很多例子告訴我們為什麼這樣推論是錯的、推論時哪些地方要小心、推論時的小技巧,中文術語都會附上英文原文,真是非常貼心,還附有很多練習題(不過都沒給解答,所以那時我寫完習題後有些會拿給白鹿改)。唯一的缺點是大多數的時候他只告訴我們有哪些規則或限制要遵守,而沒說明為什麼要定這些規則或限制。書上在舉例或出練習題時有幾個小地方寫錯了,不曉得是排版的問題還是筆誤什麼的,但是有好好讀的話一定可以自己把錯誤揪出來的。

4.14.2010

本來就是這樣啊

我記得有一次看到某粒雞蛋糕,覺得這個解決方法真是太棒了然後叫我弟來看,結果他只是翻翻白眼說,本來就是這樣啊。

我們做概念分析的時候會盡量讓結果符合大家的直覺,如果最後的成果換來的是不以為然,我都不曉得該為了成果居然這麼符合直覺而開心,還是為了別人把我們當笨蛋而難過了。

好吧說不定我真的是笨蛋,哈哈哈。

4.10.2010

烏鴉悖論和我的意見

科學哲學裡有一派立場叫邏輯經驗論(logical empiricism),他們其中一個主張是用邏輯系統翻譯經驗科學的理論,也就是說,把經驗科學的理論用邏輯表達;用邏輯表達的內容包括,怎麼知道一個命題有沒有意義,如果有意義的話,怎麼判斷這個命題是不是真的。

例如,如果我們有個科學理論是這樣的:
所有的烏鴉都是黑色的。
用「Rx」代表「x是烏鴉」,用「Bx」代表「x是黑色的」,我們可以把這個命題用述詞邏輯改寫成:
∀x(Rx→Bx)
我們要怎麼判斷這個命題有沒有意義?只要命題裡提到的事物理上有可能被觀察到,我們可以藉著直接或間接的感官經驗知道這個命題為不為真,這個命題就是有意義的命題。「所有的烏鴉都是黑色的」是個有意義的命題,因為我們能觀察到烏鴉,也能觀察烏鴉是不是黑色的。

我們要怎麼知道這個命題是不是真的?嗯,只要把世界上從過去到未來的所有烏鴉都找來,看看牠們是不是黑色的就好啦。可是要把世界上從過去到未來的所有烏鴉都找出來似乎不是我們能力所及的事,我們只能盡量檢查多一點的烏鴉來提高這個命題的可信度,但永遠沒辦法完全證明這個命題為真,此外,只要出現了一隻不是黑色的烏鴉,這個命題馬上就被證明是錯的。所以經驗科學理論通常沒辦法被完全驗證,只能被完全否證。

但韓培爾(Hempel)提出了烏鴉悖論(Raven paradox)告訴我們這樣的驗證方法好像會不符合我們的直覺。

根據古典命題邏輯,P:「所有的烏鴉都是黑色的」和Q:「不是黑色的東西都不是烏鴉」表達的是同一件事。黑色的烏鴉可以提高P的可信度;不是黑色的而且不是烏鴉的東西可以提高Q的可信度。但P和Q講的根本是同一件事,所以非黑的非烏鴉也可以當驗證P的例子。

欸,有沒有搞錯啊,用不是烏鴉的東西來支持「所有的烏鴉都是黑色的」噢?我們乾脆在一間破爛倉庫裡堆滿聖誕樹、多啦A夢、藍白拖、百香果然後歡呼「所有的烏鴉都是黑色的!」算了。

韓培爾認為其實這裡沒有悖論,不是烏鴉的東西的確可以當驗證例,理由有二。
  1. 當我們說「所有的烏鴉都是黑色的」的時候,其實我們不只是在談論烏鴉;我們說的其實是「就算找遍了世界上所有時間點的所有東西,你也找不到不是黑色的烏鴉」,我們談論的是世界上所有的東西,因此拿不是烏鴉的東西當驗證例一點也不奇怪。
  2. 尋找「所有的烏鴉都是黑色的」的驗證例時,我們只考慮那個東西是不是烏鴉、是不是黑色的,黑色烏鴉、黑色非烏鴉、非黑非烏鴉都是驗證例,非黑烏鴉是否證例;至於那個不是烏鴉的東西到底是聖誕樹還是拖鞋、那個不是黑色的東西到底是綠色的還是藍白色的一點都不重要。
我支持韓培爾的看法,不過他只說明了為什麼把不是烏鴉的東西當驗證例是合理的,沒說明為什麼我們直覺上不會把不是烏鴉的東西當驗證例,這可能會讓其他人難以接受烏鴉悖論被解決了。我想到另一個方式可以說明為什麼這樣的驗證方法會違反我們的直覺:

考慮這兩個命題以及(根據古典命題邏輯)它們的驗證例:
P:所有的烏鴉都是黑的(黑色烏鴉、黑的非烏鴉、非黑的非烏鴉)
R:所有的烏鴉都不是黑的(非黑烏鴉、黑的非烏鴉、非黑的非烏鴉)
非烏鴉的東西都可以驗證P,但他們同時也可以驗證R,因此這種驗證例沒辦法告訴我們,P和R到底哪個可信度比較高。然而黑色烏鴉可以驗證P並否證R;非黑烏鴉可以驗證R否證P。因此,當我們在檢查命題P時,只會把黑色烏鴉當驗證例,把非黑烏鴉當否證例,不考慮黑的非烏鴉、非黑的非烏鴉。

阿尿問我為什麼是拿「所有的烏鴉都不是黑的」而不是拿「有些烏鴉不是黑色的」跟「所有的烏鴉都是黑的」比較;因為當我們問一個命題為不為真時,我們問的是命題P和與P矛盾的命題¬P哪個是對的。

我試著用比較P和R的方式來比較「有些烏鴉不是黑色的」跟「所有的烏鴉都是黑的」,可是目前還沒成功;所以我想了一個理由說明為什麼我不比較P和¬P:
這裡要討論的是,在還沒有否證例出現的情況下(否證例出現的話真假立辨就不用玩了啊),根據現有的經驗證據,理論P和理論R哪個可信度比較高。所以我不用拿P和¬P來比較。

4.05.2010

Kim對行為主義的批評

如果我是行為主義者(behaviorist),我想知道小丸子心情好不好,我可以從她嘴角有沒有上揚、說話的語調是不是很輕快等等行為知道;但是我要怎麼知道小丸子有「相信飛天麵條怪物不存在」的信念?有這種信念的人會有什麼行為?從小丸子不會早晚三炷香地拜飛天麵條神可以推論出她相信飛天麵條怪不存在嗎?我大概不能這樣推論,畢竟,小丸子可能相信飛天麵條怪存在但根本就不知道有拜拜這回事;小丸子可能真的有在燒香,卻只是燒好玩的而已。

想從小丸子的行為得知她相不相信飛天麵條怪存在,我可能可以這麼做:
安萍:「哈囉小丸子,你相信飛天麵條怪物存在嗎?」
小丸子:「我相信飛天麵條怪不存在窩~」
如此一來我就能知道小丸子相信飛天麵條怪不存在。

不過這種方法至少會有兩個麻煩:
  1. 我能藉由問問題的方式得知小丸子的信念,預設了小丸子有語言能力,她能理解我吐出的一串聲音或一段文字到底是什麼意思,而且小丸子也能夠用我能理解的方式將她的答案傳達給我。但理解的行為不是行為主義者能說明的行為
  2. 我能藉由問問題的方式得知小丸子的信念,預設她願意對我說實話。但要說明小丸子為什麼會願意對我說實話,似乎無可避免地會出現「小丸子相信她應該對我說實話」之類的理由;這樣的說明有點循環,說明力可能會不太夠。