量限詞的推論規則

在量限詞的推論規則裡，搞清楚量限詞量限的範圍是很重要的事，以免在使用規則的時候不小心把被其他量限詞限制（bound）的變元也替代了，例如：

∀x(Ax∨∀x(Bx))
在這個例子裡右邊的∀x的量限範圍是Bx，因為Bx已經被別的量詞限制了，所以左邊的∀x量限的範圍只有到Ax。對左邊的∀x做替換的時候只能替換Ax的部分，不要撈過界去管右邊∀x家的Bx。

搞清楚量限詞量限的範圍也可以幫助我們選擇適合的變元來替代，以免改變量限詞的限制範圍，例如：

∀x∃y(Ax→By)
在這個例子裡∀x的量限範圍是Ax，∃y的範圍是By，當我們要對∀x做替代的時候如果是用y來替代，變成∃y(Ay→By)，那麼∃y的量限範圍就會是Ay→By。為了避免替代後∃y的量限域改變，對∀x做替代的時候不要用y。

（2010年春修蔡行健基礎邏輯二的同學，以上就是那張講義上UI、EG、EI、UG的第一個規則講的事）

替代的時候，量限詞的量限域有多大，替代的範圍也要一樣大。例如：

∀x(Ay∧Bx∧Cx∧Dx)
如果我想把∀x用a替代，那麼替代後的結果會是Ay∧Ba∧Ca∧Da，不是Ba∧Ca∧Da，也不是Ax∧Bx∧Ca∧Da。

Aa∧Ba∧Cb∧Db
如果我想把這個語句替代成存在語句，我可以改成∃x(Ax∧Bx∧Cb∧Db)，或∃x(Aa∧Ba∧Cx∧Dx)，或連用兩次規則變成∃x∃y(Ax∧Bx∧Cy∧Dy)，但是不能改成∃x(Ax∧Ba∧Cb∧Db)或∃x(Ax∧Bx∧Cx∧Dx)。

我們接著看UI、EG、EI和UG規則。

UI：全稱個例化（universal instantiation）

這個規則的意思是，從「所有的東西都是怎樣怎樣的」，我們可以有效地推論出「某個特定的東西是怎樣怎樣的」，也可以有效地推論出「不特定的東西是怎樣怎樣的」。

例如，從「所有的東西都是由原子構成的」，我們可以有效地推論出阿三是由原子構成的、電子是由原子構成的（我知道電子不是由原子構成的，謝謝，對這個推論有疑問的話請點上一段的連結）、不特定的東西也是原子構成的。

把這個規則寫成述詞邏輯會是這樣（用ω代表任何變元，用α代表任何變元或常元，用Φ代表該量限詞的量限域）：

∀ωΦω
/∴Φα

EG：存在通則化（existential generalization）

這個規則的意思是，從「某個特定的東西是怎樣怎樣的」或「不特定的東西是怎樣怎樣的」，我們可以推論出「至少有一個東西是怎樣怎樣的」。

例如，從「武則天的鬍子是粉紅色的」或「不特定的東西是粉紅色的」，我們可以推論出「至少有個東西是粉紅色的」。

把這個規則寫成述詞邏輯會是這樣：

Φα
/∴∃ωΦω

EI：存在個例化（existential instantiation）

從「至少有個東西是怎樣怎樣的」，我們可以推論出「不特定的東西是怎樣怎樣的」。例如，從「至少有一個東西是兇手」，我們可以推論出「歪歪、阿姆斯特朗炫風噴射阿姆斯特朗砲、丁丁或…可能是兇手，雖然不曉得是兇手是哪些東西，但是兇手就在這些東西之中」。

把規則用述詞邏輯表示會是這樣：

∃ωΦω
/∴Φα

這個規則有兩個額外限制，

1. α只能是變元不能是常元。因為從「至少有一個東西是兇手」我們最多只能推論出兇手在這些東西之中，沒辦法確定兇手到底是哪個特定的東西。
2. 如果在之前的推論過程裡出現過沒有被量限到的自由（free）變元，那麼用EI規則做替代時，α不可以再用之前已經出現過的自由變元。

會有第二個限制是因為，如果推論過程裡出現了「不特定的x邏輯被當掉」，然後我們又用EI從「至少有一個東西是兇手」推論出「不特定的x是兇手」，這樣就會出現「不特定的x邏輯被當掉而且是兇手」的情況，邏輯被當掉已經很慘了不要再誣告他啦；如果有人堅持要陷害這個可能是無辜的傢伙，那麼就換他的邏輯被當掉了，科科。這時要用EI的話，選x以外的變元就可以了。

註：推論時如果要用到EI和UI，那麼EI要先用，以免犯了EI的第二個限制。

UG：全稱通則化（universal generalization）

從「不特定的東西是怎樣怎樣的」，我們可以推論出「所有的東西都是怎樣怎樣的」。例如，我們國中還是高中在寫數學歸納法的時候，會先算n=1時該命題成立，然後假設n=k時該命題為真，從假設推論出n=k+1時命題也為真，中間經過一堆拉哩啦雜的步驟最後證明對所有的自然數來說該命題都成立。（不過我還是覺得UG規則有點奇怪，這看起來比較像歸納法而不是演繹法）

寫成述詞邏輯就是：

Φα
/∴∀ωΦω

UG有額外三個限制：

1. α不可以是常元，只可以是變元。畢竟我們沒辦法從「n=1時該命題成立」直接推論出「對所有的自然數來說該命題都成立」。
2. 如果在做UG之前有做過EI，那麼在EI那行出現過的自由變元UG都不能撿來用。
3. 使用條件證法（conditional proof）或歸謬證法（indirect proof）的時候，我們會畫有點像「ㄈ」字形的東西。如果假設的前提裡有自由變元，那麼在「ㄈ」範圍內不可以對那些自由變元使用UG。

會有第二個限制的其中一個理由是，如果不這麼限制，我們就可以從「至少有個東西是兇手」推論出「不特定的東西是兇手」（EI），然後從「不特定的東西是兇手」推論出「所有的東西都是兇手」（UG），真是見鬼了。

此外，如果不這麼限制，我們就可以從「所有人都至少被一個人喜歡（∀y∃xLxy）」推論出「有個人喜歡所有人（∃x∀yLxy）」。

會有第三個限制是因為，如果不這麼限制，我們就可以從假設「不特定的東西是兇手」推論出「如果不特定的東西是兇手，那麼所有的東西都是兇手」。

註：UI、EG、EI、UG要用在整個命題上，不可以只用在命題的局部，例如，∀x(Ax)→∀x(Bx)不能用UI推出(Ax)→∀x(Bx)。∀x(Ax)→∀x(Bx)是一個條件句，不是全稱命題，遇上這種東西要先用十八條規則而不是量限推論規則。

QN：量限詞互換規則（quantificational negation）

QN比較簡單的記法：把∀和∃互換，然後在量限詞的左右邊都加上negation。


題外話：關於條件證法，如果結論裡出現選言句，例如¬P∨Q，可以試試看用條件證法推出P→Q或¬Q→¬P，然後就可以用Impl推出結論了。


參考書目：
＜第十二章，述詞邏輯的證明＞，彭孟堯，《符號邏輯》，心理，2000。

這是我在準備中正哲學轉學考時讀的邏輯書，作者在書裡提供很多例子告訴我們為什麼這樣推論是錯的、推論時哪些地方要小心、推論時的小技巧，中文術語都會附上英文原文，真是非常貼心，還附有很多練習題（不過都沒給解答，所以那時我寫完習題後有些會拿給白鹿改）。唯一的缺點是大多數的時候他只告訴我們有哪些規則或限制要遵守，而沒說明為什麼要定這些規則或限制。書上在舉例或出練習題時有幾個小地方寫錯了，不曉得是排版的問題還是筆誤什麼的，但是有好好讀的話一定可以自己把錯誤揪出來的。