一百年中正哲學碩班甄試邏輯試題試答

小丸子昨天傳了這份試題給我看，寫完以後順便放上來討建議。

是非題

1. [(A∧¬B)∨(B∧¬C)∨(C∧¬A)]→[(A∧B∧C∧D)→(E↔F)] is a tautology.
   
   T。
   要讓條件句為假，(A∧¬B)∨(B∧¬C)∨(C∧¬A)得為T，(A∧B∧C∧D)→(E↔F)得為F。要讓(A∧B∧C∧D)→(E↔F)是F，那麼A∧B∧C∧D要為T、E↔F為F。A∧B∧C∧D要為T的話，(A∧¬B)∨(B∧¬C)∨(C∧¬A)就會為F，所以找不到讓題幹的句子為假的真值設定。
   .
2. ∃x(P(x)↔R(x)) is logically equivalent to ∃xP(x)↔∃xR(x).
   
   F。反例：Domain = {0,1} P = {0} R = {1}，此時∃xP(x)↔∃xR(x)為T，∃x(P(x)↔R(x))為F。
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3. Assume that only one of the following two sentences is true: (1) Pigs can fly unless Kant is not right; (2) Kant is not right only if pigs can fly. Based on this assumption, it is true that (3) if pigs can fly, then I will cry.
   
   T。
   P：Pigs can fly。K：Kant is right。I：I will cry。
   (1)P∨¬K (2)¬K→P (3)P→I
   因為(1)和(2)裡只有一句話為真，所以P要為假（P為真的話兩句話都會為真）。因此P→I為真。
   .
4. If P and S are consistent and S and Q are inconsistent, then P cannot imply Q.
   
   T。
   在P和Q是一致的，而且S和Q是不一致的，而且P蘊含Q的情況下，當P為真時Q也會為真（P蘊含Q）、P和S可以同時為真（P和Q是一致的），所以會有個情況是P、Q和S同時為真。但是這結果和S和Q是不一致的預設矛盾，所以P不蘊含Q。
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5. Suppose that most philosophers are truth-pursuers and that most truth-pursuers are smart. Then we can conclude that most philosophers are smart.
   
   F。反例：
   

給反例

1.  ∃x(Px→∀yRy) /\∃xPx→∀yRy
   
   Model = (D, P^M, R^M), Domain = {0,1}, P^M = {0}, R^M = ∅
   .
2.  ∀x¬R(x, x)∧∀x∃yR(x, y)∧∀x∀y∀z(R(x, y)→(R(y, z)→R(x, z))) /\∃x∀y(¬x=y→R(x, y))
   
   Model = (D, R^M)，Domain = 整數的集合，R^M = 我們平常對小於符號「<」的解釋

符號化

Let “Lxy”stand for “x loves y”,
      “Hxy”stand for “x hates y”and
      “Px”stand for “x is a philosopher”.
Please symbolize the following sentence.

There is some philosopher who hates exactly two persons who are not philosophers and who love each other but no one else.

∃x(Px∧∃y∃z(Hxy∧Hxz∧∀w(Hxw→(w=y∨w=z))∧¬Py∧¬Pz∧Lyz∧Lzy∧∀w(Lyw→w=z)∧∀w(Lzw→w=y)))

證明

1. ∀x¬[(Px↔Rx)↔Qx]
2. ∃x∃y(¬Rx∨Sxy)                  /\∃x∃y[Qx→(¬Sxy→Px)]
3. ¬∃x∃y[Qx→(¬Sxy→Px)]          AIP
4. ∀x∀y¬[Qx→(¬Sxy→Px)]        3,QN
5. ¬Rx∨Sxy                                  2,EI
6. ¬[(Px↔Rx)↔Qx]                    1,UI
7. ¬[Qx→(¬Sxy→Px)]                  4,UI
8. Qx∧¬Sxy∧¬Px                         7,DN, Impl, DeM
9. ¬Sxy                                         8,Simp
10. ¬Rx                                         5,9,DS
11. (Px↔Rx)↔¬Qx                    6,¬(A↔B)≡A↔¬B
12. ((Px→Rx)∧(Rx→Px))→¬Qx  11,Equiv, Simp
13. (Px→Rx)→((Rx→Px)→¬Qx)  12,Exp
14. ¬Px∨Rx                                  8,Simp, Add
15. Px→Rx                                   14,Impl
16. Rx→Px                                   10,Add, Impl
17. ¬Qx                                        13,15,16,MP
18. Qx                                          8,Simp
19. ¬Qx∧Qx                                 17,18,Conj
20. ∃x∃y[Qx→(¬Sxy→Px)]          3-19,IP

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