公理，定理，引理和系理

對象語言（object language）和後設語言（metalanguage）

當有人用英文研究拉丁文時，對象語言是拉丁文，後設語言是英文。對象語言和後設語言可以是同一套語言，例如用中文研究中文的時候。基本上，後設語言中要具備對象語言裡的所有符號，不然討論對象語言時可能會遇上困難。例如，若只用中文研究英文，便無法寫出「water的意思是水」這種句子，因為後設語言裡沒有英文字母；若後設語言是一套由英文字母和中文構成的語言，就可以。我們在用中文、英文和某邏輯語言的符號，討論該邏輯語言時，對象語言是該邏輯語言，後設語言是一套由中文、英文和該邏輯語言的符號構成的語言。

公理（axiom）

在邏輯系統中，不需要證明就可以拿來用的句式（formula）便是公理。你可以問選這些句式當公理有什麼好處，但沒辦法要求證明這些句式。如果你覺得某邏輯系統的其中一些公理不能滿足你的需求（例如，不能完美模仿人類的推論方式），可以另闢一套邏輯系統，放自己喜歡的公理。但那套系統有沒有研究價值、是否有人想用則是另一回事。

定理（theorem）

僅利用某邏輯系統的公理，或利用公理及系統允許的推論規則就能證明的句式，便是該邏輯系統的定理。根據定義，任一邏輯系統的公理均是其定理。

定理還有另一個意思。對象語言是某套邏輯系統的邏輯文章裡，定理通常指作者主要想證明的句子，這個句子使用後設語言有，但對象語言沒有的符號描述該邏輯系統的性質。因為這種定理中出現了那套邏輯語言沒有的符號，所以無法被該邏輯系統的公理或推論規則證明。語句邏輯的演譯定理（deduction theorem）便是這樣的句子。第二種意思的定理被稱為後設定理（metatheorem）。

引理（lemma）

引理也是用後設語言描述邏輯系統的性質的句子。引理通常指，用來幫助證明後設定理的重要踏腳石。是後設定理還是引理，端賴它在文章中是否為作者的主要目標，因此可能發生，同一個句子在這篇文章中是引理，在另一篇文章中是後設定理的情況。

系理（corollary）

系理也是用後設語言描述邏輯系統的性質的句子。後設定理蘊含的一些重要結果便是系理，至於哪些被蘊含的結果才是重要的，則由作者決定；作者大多會選和他等一下要討論的事有關的結果當系理。一但證明後設定理，要證明該後設定理的系理通常很容易。

九十九年中正哲學碩班甄試邏輯試答

I. True or False

1. [(A∨B)→C]→[(D∧¬C)→(A→E)] is a tautology.
   T
2. ∃x(∀yPy→Rx) is logically equivalent to ∀yPy→∃xRx.
   T
   1.∃x(∀yPy→Rx)    前提
   2.∀yPy                   ACP for ∃xRx
   3.∀yPy→Rx           1, EI
   4.Rx                        2,3, MP
   5.∃xRx                    4, EG
   6.∀yPy→∃xRx      2-5, CP
   .
   1.∀yPy→∃xRx      前提
   2.¬∃x(∀yPy→Rx)  AIP
   3.∀x¬(∀yPy→Rx) 2, EQ
   4.∀x(∀yPy∧¬Rx)  3, Impl, Dem, DN
   5.∀yPy∧¬Rx          4, UI
   6.∀yPy                    5, Simp
   7.∃xRx                    1,6, MP
   8. ¬Rx                     5, Simp
   9.∀x¬Rx                 8, UG
   10.¬∃xRx                9, EQ
   11.∃xRx∧¬∃xRx    7,10, Conj
   12.∃x(∀yPy→Rx)   2-11, IP
   .
3. Suppose A is contingent. If A and B are inconsistent and A and C are inconsistent, then B and C must be inconsistent.
   F
   A和B不一致，而且A和C不一致，表示A和B不可能同時為真，而且A和C不可能同時為真。所以當A為真時，B和C都不會為真；但A為假時，B和C的真值不管怎麼設定都不會和「A和B不一致，而且A和C不一致」的前提有衝突。所以A和B不一致，而且A和C不一致，而且B和C一致的情況是有可能的。
   .
   或者，畫出A、B、C的真值表，然後把A和B同時為真的那列劃掉，再把A和C同時為真的那列劃掉，最後檢查剩下的列裡有沒有B和C同時為真的情況。
   .
4. P∧R logically implies Q if and only if P logically implies P→Q and R logically implies R→Q.
   F
   P∧R⊧Q iff  P⊧P→Q and R⊧R→Q
   A蘊含（imply，⊧）B的意思是，當A為真時，B也會為真（不會有A為真B為假的情況）。檢查A if and only if B為不為真的方式有三種：
   

   一、當A為真時，B也為真。而且當B為真時，A也為真。
   二、當A為假時，B也為假。而且當B為假時，A也為假。
   三、當A為真時，B也為真。而且當A為假時，B也為假。

   我用第二種方式檢查。
   P∧R⊧Q只會在P和R為真，Q為假的時候為假。在P和R為真，Q為假的時候，P⊧P→Q and R⊧R→Q也為假。
   P⊧P→Q and R⊧R→Q會在P或R為真，Q為假的時候為假。在P和R只有其中一個為真，Q為假的時候，P∧R⊧Q會為真。
   .
   因為有P∧R⊧Q為真，但P⊧P→Q and R⊧R→Q為假的情況（P和R只有其中一個為真，Q為假），故P∧R⊧Q iff  P⊧P→Q and R⊧R→Q為假。
   .
5. A is true unless B is false. So A and B cannot be both true.
   F
   P: A is true.
   Q: B is true.
   「A is true unless B is false」可以被改寫成P∨¬Q。當P和Q皆為真時，P∨¬Q也為真。所以A和B可以同時為真。

II. A politician made the following statement during a TV interview: 
“If I am not attending a congressional meeting, I am planning for a better future of our country. And if I am not planning for a better future of our country, I am listening to our people for their opinions.” What’s wrong with his statement?

A: I am attending a congressional meeting.
P: I am planning for a better future of our country.
L: I am listening to our people for their opinions.

這位政治家說的話可以被改寫成¬A→P, ¬P→L。

1.¬A→P          前提
2.¬P→L          前提
3.¬P                ACP
4.A                  1,3, MT
5.L                   2,3, MP
6.A∧L             4,5, Conj
7.¬P→(A∧L)  3-6, CP
8.¬(A∧L)        根據常識，大概沒有人可以一邊開國會會議一邊聴取人民的意見。
9.P                  7,8, MT

這位政治家一直在為國家的美好未來做打算。不過大概沒有人能無時無刻都掛念著同一件事。

III. Let “Lxy” stand for “x loves y”,
     “Hxy” stand for “x hates y” and
     “Px” stand for “x is a philosopher”.
Please symbolize the following sentence.
Someone who is not a philosopher loves exactly two different philosophers who hate each other.

∃x(¬Px∧∃y∃z(Lxy∧Lxz∧∀u(Lxu→(u=y∨u=z))∧¬y=z∧Py∧Pz∧Hyz∧Hzy))

IV. Please prove the following valid argument.
∀x(Rx↔Qx), ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx) /∴ ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx

1. ∀x(Rx↔Qx)
2. ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx)
3. ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)                          ACP for ∀x¬Rx
4. ¬(Px↔Qx)↔Rx                                        2, EI
5. (¬Px↔Qx)↔Rx                                        4, 等價
6. ¬Px↔(Qx↔Rx)                                        5, 等價
7. [¬Px∧(Qx↔Rx)]∨[Px∧¬(Qx↔Rx)]         6, Equiv
8. Rx↔Qx                                                    1, UI
9. ¬Px∨(Rx↔Qx)                                         8, Add, Comm
10. ¬[Px∧¬(Qx↔Rx)]                                    9, Dem, DN, 等價
11. ¬Px∧(Qx↔Rx)                                         7,10, DS
12. ¬Px                                                           11, Simp
13. (∃yRy∧∃yQy)→Px                                   3, UI
14. ¬(∃yRy∧∃yQy)                                        12,13, MT
15. ∀y¬Ry∨∀y¬Qy                                       14, QN
16. ¬∀y(¬Ry∨¬Qy)                                        AIP
17. ∃y(Ry∧Qy)                                               16, QN, DeM, DN
18. Ry∧Qy                                                      17,EI
19. ∃yRy∧∃yQy                                             18, Simp, EG, Conj
20. ¬∀y¬Ry∧¬∀y¬Qy                                   19,QN
21. ¬(∀y¬Ry∨∀y¬Qy)                                   20, Dem, DN
22. (∀y¬Ry∨∀y¬Qy)∧¬(∀y¬Ry∨∀y¬Qy)   15,21, Conj
23. ∀y(¬Ry∨¬Qy)                                           16-22, IP
24. ¬Rx∨¬Qx                                                  23, UI
25. ¬(Rx∧Qx)                                                 24, Dem, DN
26. (Rx∧Qx)∨(¬Rx∧¬Qx)                              8, Equiv
27. ¬Rx∧¬Qx                                                  25, 26, DS
28. ¬∀yQy                                                       27, Simp, EG, QN
29. ∀y¬Ry                                                       15,28, DS
30. ¬Rz                                                            29, UI
31. ∀x¬Rx                                                       30, UG
32. ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx             3-31, CP

另一個方法：

1. ∀x(Rx↔Qx)
2. ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx)
3. ¬[∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx]             AIP 
4. ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)∧¬∀x¬Rx                3, DeM, DN
5. ∃xRx                                                               4, Simp, QN
6. Rx                                                                   5, EI
7. Rx↔Qx                                                           1, UI
8. Qx                                                                   6,7, Equiv, Simp, MP
9. ∃yRy∧∃yQy                                                   6,8, EG, Conj
10. ¬(Py↔Qy)↔Ry                                               2, EI
11. ∃yRy∧∃yQy→Py                                           4, Simp, UI
12. Py                                                                    9,11, MP
13. ¬Py↔(Qy↔Ry)                                               10, 等價
14. Qy↔Ry                                                            1, UI, 等價
15. ¬Py                                                                  13,14, Equiv, Simp, MP
16. Py∧¬Py                                                           12,15, Conj
17. ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx                  3-16, IP

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一百年中正哲學碩班甄試邏輯試題試答 - 啊啊哲學

中正的研究所開始招生（101學年度）

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確定描述詞理論的困難

之前提過確定描述詞理論的內容和它能解決的問題，現在來看看它會遇上什麼麻煩。

一，「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」在確定描述詞理論的分析下會變成像「單身漢是沒結婚的男人」一樣的廢話。

我們會認為「單身漢是沒結婚的男人」是廢話，是因為單身漢這個專有名詞的意思其實就是就代表沒結婚的男人。我不須要出門觀察單身漢是不是都沒結婚而且都是男人，就可以根據「單身漢」這個專有名詞的意思判斷「單身漢是沒結婚的男人」為不為真。

確定描述詞理論把專有名詞當成偽裝的確定描述詞，在確定描述詞理論的分析下，「摩西」這個專有名詞的意思其實就是帶領以色列人離開埃及的人。因此，我只要根據「摩西」這個專有名詞的意思就可以判斷「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」為不為真。

然而，我們通常不會認為「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」是廢話，也就是，我們可以從這句話學到新東西。所以確定描述詞理論的分析大概有問題。

有些人會反駁，在確定描述詞理論的分析下，「摩西」這個專有名詞的意思不是帶領以色列人離開埃及的人，而是，帶領以色列人離開埃及的人，或制定十誡的人，或分開紅海的人，或…。所以，「摩西」這個專有名詞的意思只告訴我們，摩西做過這個或者摩西做過那個或者…。我們沒辦法從「摩西」這個專有名詞的意思得知摩西到底做過什麼。因此「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」不是廢話，這句話告訴我們摩西到底做過什麼。

不過，即使「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」不是廢話，「摩西是帶領以色列人離開埃及的人，或摩西是制定十誡的人，或摩西是分開紅海的人，或摩西是…」仍然是廢話。 

然而，我們通常不會認為只要根據「摩西」這個專有名詞的意思就可以判斷「摩西是帶領以色列人離開埃及的人，或摩西是制定十誡的人，或摩西是分開紅海的人，或摩西是…」為不為真，我們可以從這句話學到新東西。所以改良後的確定描述詞理論的分析大概還是有問題。

二，Saul Kripke提出的反例。

我們通常會用下列句子描述柏拉圖：

• 出生時被命名為柏拉圖的人。
• 《斐多篇》的作者。
• 《理想国》的作者。
• …

然而，柏拉圖出生時不叫柏拉圖，而是亞里斯特克勒斯（Aristocles）。

想像古希腊時代有個出生時被命名為柏拉圖的人，他生性孤僻，幾乎不和其他人接觸。他碰巧做過亞里斯特克勒斯做過的每件事，例如他也寫了《斐多篇》、《理想国》、…。但他死後完全沒有人記得他，他的著作也不曾傳世。

然而這個孤僻的傢伙比亞里斯特克勒斯更符合「出生時被命名為柏圖的人、《斐多篇》的作者、《理想国》的作者、…」這些描述，所以當我們使用這些描述時，根據確定描述詞理論，我們談論的是那個孤僻的傢伙，而不是亞里斯特克勒斯。但這怎麼會對呢？畢竟，我們根本不知道那個孤僻的傢伙的存在，我們要怎麼談論一個我們從來沒意識到其存在的東西？

參考資料
P.54,55,57 Collin, F. & Guldmann, F. (2005) Meaning, Use and Truth [Ashgate]

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對描述詞理論的一個攻擊，以及兩種回應 - 哲學與思方

素樸集合論的困難

素樸集合論（naive  set theory）是這樣定義集合的：

{x | x符合條件A、B、C…}

意思是，把符合A、B、C…這些條件的東西蒐集起來，就可以得到一個集合。

例如，屬於{x | x是猫}這個集合裡的東西都是猫，屬於{x | x是上帝}這個集合裡的東西都是上帝。可能有人會爭論{x | x是上帝}是不是空集合，如果不是的話那個集合裡有幾個東西，不過這對素樸集合論沒什麼威脅。真正的麻煩是，有些集合的條件會產生悖論。

1906年G. G. Berry提出了{x | x是可以用一行字定義的正整數（x is a positive integer definable in one line of type）} 這個集合。這個集合裡的東西有：

• 12345
• （把質數由小到大排列）第一百個質數
• x⁴ - 17x³ + 101x² - 247x + 210 = 0這個多項式的解
• …

然而，有些正整數沒辦法只用一行字定義，因此不屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數} 這個集合。不過我們可以為這些沒辦法只用一行字定義的正整數排大小，最小的那個數可以用下列這句話定義：

最小的不可以用一行字定義的正整數。

而這句話只有一行，所以該數屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數} 這個集合！但是怎麼會有東西不屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數}而且屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數}呢？


另一個悖論來自羅素（Russell），所以叫羅素悖論（Russell's paradox），不過Ernst Zermelo也自行想到這個悖論。

1902年時，羅素提出了{x | x ∉ x}這個集合，這個集合蒐集不屬於自己的東西。這個集合裡的東西有：

• {x | x是猫}（{x | x是猫}這個集合裡蒐集的東西是猫，{x | x是猫}是集合而不是猫，所以{x | x是猫}這個集合裡不會蒐集「{x | x是猫}」這個東西）
• {x | x是上帝}
• …

那麼，{x | x ∉ x}這個集合屬不屬於自己？{x | x ∉ x}要嘛屬於自己，要嘛不屬於自己，如果它屬於自己，表示它滿足{x | x ∉ x}中x ∉ x這個條件，那麼它不屬於自己。如果它不屬於自己，表示它沒有滿足{x | x ∉ x}中x ∉ x這個條件，所以它屬於自己。

不管{x | x ∉ x}這個集合屬不屬於自己，都會產生矛盾。

參考資料：
P.4-6, Enderton, H. B. (1977) Elements of set theory [Academic Press]

相關文章：
羅素悖論 - 哲學與思方

九十七學年度中正哲學轉學考邏輯試答

符號說明：

• "¬" : not
• "∧" : and
• "∨" : or
• "→" : if... then ...
• "↔" : if and only if
• "∀" : for all
• "∃" : there is

我做邏輯推論時主要用的是十八條規則，參考書目為彭孟堯的符號邏輯。

第一部份：語句邏輯

1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句，並同時標明各原子語句所代表的中文語句。
(a)張三喜歡邏輯或哲學，但並非兩者都喜歡。

A：張三喜歡邏輯。B：張三喜歡哲學。
(A∨B)∧¬(A∧B)

(b)雖然張三喜歡邏輯，但是李四不喜歡。

A：張三喜歡邏輯。B：李四喜歡邏輯。
A∧¬B

2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。
(¬P∨¬Q), (Q∧R) / (P→R)

(¬P∨¬Q), (Q∧R) / (P→R)
 F T F FT    T T T      T T T
 F T F FT    T F F      T F F
 F T T TF    F F T      T T T
 F T T TF    F F F      T F F
 T F T FT    T T T      F T T
 T F T FT    T F F      F T F
 T F T TF    F F T      F T T
 T F T TF    F F F      F T F
沒有前件皆真後件為假的情況,故此論證有效。

3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。
(P∨Q), ((P→R)∧(R→Q)) / Q

1.P∨Q
2.(P→R)∧(R→Q)
3.¬Q                 AIP
4.P                   1,3,DS
5.R                   2,4,Simp,MP
6.Q                  2,5,Simp,MP
7.¬Q∧Q          3,6,Conj
8.Q                  3-7,IP

4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。
((P∨(Q→R))→((P∨Q)→(P∨R)))

1.P∨(Q→R)                                   ACP for (P∨Q)→(P∨R)
2.P∨Q                                            ACP for P∨R
3.¬P                                                ACP for R
4.Q                                                 2,3,DS
5.Q→R                                           1,3,DS
6.R                                                  4,5,MP
7.¬P→R                                          3-6,CP
8.P∨R                                             7,Impl,DN
9.(P∨Q)→(P∨R)                            2-8,CP
10.(P∨(Q→R))→((P∨Q)→(P∨R)) 1-9,CP

第二部份：述詞邏輯

5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。
（j：張三；Dx：x是狗；Oxy：x擁有y；Bxy：x咬y）
(a)張三擁有至少兩隻狗。

(∃x)(∃y)(Dx∧Dy∧¬x=y∧Ojx∧Ojy)

(b)有隻狗咬張三。

(∃x)(Dx∧Bxj)

6.證明以下的論證為無效論證。
(∀x)(Px→Qx), ¬(∀x)Px/(∃x)¬Qx

前件皆真後件為假的反例：
D={0}
P={}
Q={0}

7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。
(a)((∃x)Pxa→Qa), (∀x)(¬Qx∨¬Rx) / (∀x)(Ra→¬Pxa)

1.(∃x)Pxa→Qa
2.(∀x)(¬Qx∨¬Rx)
3.Ra                       ACP for ¬Pxa
4.¬Qa∨¬Ra            2,UI
5.¬Qa                     3,4,DS
6.¬(∃x)Pxa             1,5,MT
7.(∀x)¬Pxa            6,QN
8.¬Pxa                    7,UI
9.Ra→¬Pxa            3-8,CP
10.(∀x)(Ra→¬Pxa) 9,UG

(b)(∀x)(Pax→(Qx→Rb)), ¬(∀x)¬Qx, (∀x)Rax / (∃x)Rx
我猜題目有筆誤。第三個前提大概要改成Pax。

1.(∀x)(Pax→(Qx→Rb))
2.¬(∀x)¬Qx
3.(∀x)Pax
4.(∃x)Qx               2,QN
5.Qx                      4,EI
6.Pax                     3,UI
7.Pax→(Qx→Rb)  1.UI
8.Qx→Rb              6,7,MP
9.Rb                      5,8,MP
10.(∃x)Rx              9,EG

8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。

(∃x)(¬Px∨(∀x)Px)
1.¬(∃x)(¬Px∨(∀x)Px)   AIP
2.(∀x)¬(¬Px∨(∀x)Px)  1,QN
3.¬(¬Px∨(∀x)Px)         2,UI
4.Px∧¬(∀x)Px              3,DeM,DN
5.Px                              4,Simp
6.(∀x)Px                      5,UG?（應該可以吧）
7.¬(∀x)Px                    4,Simp
8.(∀x)Px∧¬(∀x)Px     6,7,Conj
9.(∃x)(¬Px∨(∀x)Px)   1-8,IP

九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答
九十八學年度中正哲學轉學考邏輯試答