述詞邏輯的structure

語句邏輯的句子是用真值表來判斷真假值，述詞邏輯的句子則是用structure來判斷。Structure是由domain和對非邏輯符號的詮釋（interpretation）構成的；至於要詮譯哪些非邏輯符號，就看語言中的非邏輯符號有哪些，詮釋那些就可以了。

以某個有${\mathit{c}}_1,{\mathit{c}}_2,{\mathit{P}}_1,{\mathit{P}}_2,{\mathit{f}}_1,{\mathit{f}}_2$這些非邏輯符號的語言為例，其中${\mathit{c}}_1,{\mathit{c}}_2$是常數，${\mathit{P}}_1$是一元述詞，${\mathit{P}}_2$是二元述詞，${\mathit{f}}_1$是一元函數，${\mathit{f}}_2$是二元函數（此處符號的下標和述詞及函數是幾元一模一樣只是偶然），這個語言的structure大致會長成這樣：$\mathit{M}=\left(\mathit{U},{\mathit{c}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{c}}_2^{\mathit{M}},{\mathit{P}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{P}}_2^{\mathit{M}},{\mathit{f}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{f}}_2^{\mathit{M}}\right)$。以下一一介紹這些符號的意思。

Structure的名字

$\mathit{M}=\left(\mathit{U},{\mathit{c}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{c}}_2^{\mathit{M}},{\mathit{P}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{P}}_2^{\mathit{M}},{\mathit{f}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{f}}_2^{\mathit{M}}\right)$中的$\mathit{M}$和上標的${}^{\mathit{M}}$顯示了這個structure的名字是$\mathit{M}$，意思是model。取名時通常會用大寫英文字母，有時會用特殊字形呈現，以示區隔，例如$\mathit{M}$的花體字是$\mathfrak{M}$。

Domain

$\mathit{U}$指structure的domain，$\mathit{U}$是universe的意思。有些人不會寫$\mathit{U}$來表示domain，而是寫$\mathit{D}$，或dom($\mathit{M}$)，或$\left|\mathit{M}\right|$（最後兩個寫法和structure的名字有關。不過$\left|\mathit{M}\right|$這個寫法可能會讓人誤以為你想談的是$\mathit{M}$的domain的基數（cardinality），也就是domain裡有幾個東西）。或者structure的名字用特殊字形，然後domain就用一般字形呈現，例如$\mathfrak{A}$這個structure的domain就用$\mathit{A}$表示。

當我們在說structure的大小、structure有多大時，我們指的是它的domain的基數。

Domain是一個集合，而且不能是空集合。我們可以把structure理解成是某個世界，domain則決定了這個世界上有哪些東西。你可以依自己喜好往domain這個集合裡加進任何東西，例如數字、英文字、中文字、人、幾何圖案；加無限個東西進去也行，例如讓domain是所有實數的集合。以下是一些domain這個集合可能的長相：

• $\left\{0,1,2\right\}$ 
• {$0,△,@,\mathit{a}$, Doctor House, 嗨！, 飛天麵條神}

不過為了書寫方便起見，通常只會放數字或英文字。我們暫定$\mathit{M}$的domain是$\left\{0,1,2\right\}$。

常數的詮釋

${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}$是指，${\mathit{c}}_1$這個常數在$\mathit{M}$裡的詮釋。${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}\in \mathit{U}$，也就是，${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}$會等於domain裡的某一個成員。我們可以把常數理解成domain裡某個東西的名字；一個東西可以有很多個常數當作名字，就像一個人可以有很多個綽號類似；但一個常數不能指到一個以上的東西，因為重名的話，我們就不知道那到底是在叫誰了。以下是一些${\mathit{c}}_1,{\mathit{c}}_2$這兩個常數在$\mathit{M}$中可能的詮釋：

• ${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}=0,{\mathit{c}}_2^{\mathit{M}}=1$
• ${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}=0,{\mathit{c}}_2^{\mathit{M}}=0$

述詞的詮釋
${\mathit{P}}_1^{\mathit{M}}$是指，${\mathit{P}}_1$這個述詞在$\mathit{M}$裡的詮釋。我們對述詞的詮釋是外延（extension）式的。如果$\mathit{P}$是一個$\mathit{n}$元述詞，那麼${\mathit{P}}^{\mathit{M}}\subseteq {\mathit{U}}^{\mathit{n}}$。${\mathit{P}}^{\mathit{M}}$也是一個集合，而和domain不同的是，述詞的詮釋可以是空集合。

${\mathit{U}}^{\mathit{n}}$是$\mathit{U}\times \cdots \times \mathit{U}$乘$\mathit{n}$次的意思。$\mathit{A}\times \mathit{B}$是一個由二元序列（tuple）構成的集合，序列中的第一個東西來自$\mathit{A}$，第二個來自$\mathit{B}$，把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合，就是$\mathit{A}$×$\mathit{B}$。例如，

若$\mathit{A}=\left\{1,2\right\},\mathit{B}=\left\{3,4\right\}$，則$\mathit{A}\times \mathit{B}=$ $\left\{\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right)\right\}$。

$\mathit{A}\times \mathit{B}\times \mathit{C}$則是由許多三元序列構成的集合，序列中的第一個東西來自$\mathit{A}$，第二個來自$\mathit{B}$，第三個來自$\mathit{C}$，把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合，就是$\mathit{A}\times \mathit{B}\times \mathit{C}$。例如，

若$\mathit{A}=\left\{1,2\right\},\mathit{B}=\left\{3,4\right\}$，$\mathit{C}=\left\{5,6\right\}$，則$\mathit{A}\times \mathit{B}\times \mathit{C}=$ $\left\{\left(1,3,5\right),\left(1,4,5\right),\left(2,3,5\right),\left(2,4,5\right),\left(1,3,6\right),\left(1,4,6\right),\left(2,3,6\right),\left(2,4,6\right)\right\}$

在序列裡，東西的順序很重要，$\left(1,2\right)$和$\left(2,1\right)$是不同的序列，這點和集合很不一樣，$\left\{1,2\right\}$和$\left\{2,1\right\}$都是同一個集合。（也有人用角括號表示序列，但是我還沒弄清楚怎麼在blogger上打出角括號）

完全沒弄懂前面${\mathit{P}}^{\mathit{M}}$ ⊆ ${\mathit{U}}^{\mathit{n}}$是什麼鬼玩意的人別擔心，先來看幾個例子。我們可以把一元述詞${\mathit{P}}_1$的詮釋想成，我們想讓domain裡的哪些東西有${\mathit{P}}_1$這個性質，我們就把那些東西放到${\mathit{P}}_1^{\mathit{M}}$這個集合裡。${\mathit{P}}_1$在$\mathit{M}$裡幾個可能的詮釋：

• $\left\{1\right\}$ 
• $\left\{0,2\right\}$ 
• $\left\{0,1,2\right\}$ 
• ∅

我們可以把二元述詞${\mathit{P}}_2$的詮釋想成，我們想讓domain裡哪兩個東西有${\mathit{P}}_2$這個關係，就把那兩個東西放到${\mathit{P}}_2^{\mathit{M}}$這個集合裡。或者更生動一點地說（就像國小或幼稚園老師教$1+1=2$的時候，把「$1$這個自然數，填進+這個函數的兩個參數位置後，就會輸出$2$」生動地講成，一個蘋果和另一個蘋果放在一起就是兩個蘋果那樣。雖然$1+1=2$和蘋果半毛關係也沒有，但這樣舉例子比較容易理解），把${\mathit{P}}_2$想成某個二元關係，例如$\mathit{x}$喜歡$\mathit{y}$，我們想讓domain裡的$0$喜歡自己的話，就把$\left(0,0\right)$放進${\mathit{P}}_2^{\mathit{M}}$這個集合裡，想讓domain裡的$1$喜歡domain裡的$2$的話，就把$\left(1,2\right)$放進去。

${\mathit{P}}_2$在$\mathit{M}$裡幾個可能的詮釋：

• $\left\{\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(0,2\right)\right\}$ （$0$喜歡domain裡的所有東西，$1$和$2$則什麼東西都不喜歡）
• $\left\{\left(0,1\right),\left(1,0\right),\left(2,0\right)\right\}$ （$0$和$1$互相喜歡，$2$單戀$0$）
• ∅（每個東西都不喜歡每個東西）

如果我們遇到的是三元述詞，而且這個述詞的詮釋不是空集合的話，集合裡的東西會長得像$\left(\square ,\square ,\square \right)$，其中空格的部分各填進一個domain裡的東西。總的來說，如果遇到的是$\mathit{n}$元述詞，而且述詞的詮釋不是空集合的話，集合裡的東西會長得像$\left(\square ,...,\square \right)$，共$\mathit{n}$個空格，其中每個格子都填進一個domain裡的東西。

等號這個述詞非常特別，它是邏輯符號（不過有些邏輯學家不這麼認為，但目前先當作等號是邏輯符號），所以一般而言等號的詮釋已經規定好了，不是我們想要讓哪兩個domain裡的東西相等，就可以把那兩個東西組成的序列丟進等號的詮釋裡。等號的詮釋這個集合裡，放的東西一律是，每個domain裡的東西，自己和自己構成的序列，也就是，$\left\{\left(\mathit{x},\mathit{x}\right)|\mathit{x}\in \mathit{d}\mathit{o}\mathit{m}\mathit{a}\mathit{i}\mathit{n}\right\}$。現在domain$=\left\{0,1,2\right\}$，所以${=}^{\mathit{M}}=\left\{\left(0,0\right),\left(1,1\right),\left(2,2\right)\right\}$。

函數的詮釋

${\mathit{f}}_1^{\mathit{M}}$是指，${\mathit{f}}_1$這個函數在$\mathit{M}$裡的詮釋。如果函數$\mathit{f}$是$\mathit{n}$元的，則它的定義域是${\mathit{U}}^{\mathit{n}}$，值域是$\mathit{U}$。

我們有個把函數轉成集合的辦法：函數是$\mathit{n}$元，我們就弄出$\mathit{n}+1$元的序列，序列的前面$\mathit{n}$格放輸入值，最後一格放輸出值。例如$\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)=\mathit{x}+1$這個定義在自然數上的一元函數，轉成集合後會長這樣：$\left\{\left(0,1\right),\left(1,2\right),\left(2,3\right),...\right\}$。

函數的定義是，如果輸入值在定義域裡的話，就一定要有輸出值，而且輸出值只能有一個。所以在詮釋函數時也要符合這條規定。

所以，${\mathit{f}}_1^{\mathit{M}}$的定義域是$\left\{0,1,2\right\}$，因為${\mathit{f}}_1$是一元函數。而${\mathit{f}}_1^{\mathit{M}}$會長這樣：$\left\{\left(0,\square \right),\left(1,\square \right),\left(2,\square \right)\right\}$，其中每個空格都填進一個domain裡的東西，就能得到一個可能的詮釋。所有空格都填同一個東西也沒關係。

${\mathit{f}}_2^{\mathit{M}}$的定義域是$\left\{\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(2,0\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right)\right\}$，因為${\mathit{f}}_2$是二元函數。而${\mathit{f}}_2^{\mathit{M}}$會長這樣：$\{\left(0,0,\square \right),\left(0,1,\square \right),\left(0,2,\square \right),\left(1,0,\square \right),$ $\left(1,1,\square \right),\left(1,2,\square \right),\left(2,0,\square \right),\left(2,1,\square \right),\left(2,2,\square \right)\}$，其中每個空格都填進一個domain裡的東西。

如何用structure判斷句子是真的還是假的？請見述詞邏輯的語意。