述詞邏輯的structure

語句邏輯的句子是用真值表來判斷真假值，述詞邏輯的句子則是用structure來判斷。Structure是由domain和對非邏輯符號的詮釋（interpretation）構成的；至於要詮譯哪些非邏輯符號，就看語言中的非邏輯符號有哪些，詮釋那些就可以了。

以某個有$c_1, c_2, P_1, P_2, f_1, f_2$這些非邏輯符號的語言為例，其中$c_1, c_2$是常數，$P_1$是一元述詞，$P_2$是二元述詞，$f_1$是一元函數，$f_2$是二元函數（此處符號的下標和述詞及函數是幾元一模一樣只是偶然），這個語言的structure大致會長成這樣：$M=(U, c_1^M, c_2^M, P_1^M, P_2^M, f_1^M, f_2^M)$。以下一一介紹這些符號的意思。

Structure的名字

$M=(U, c_1^M, c_2^M, P_1^M, P_2^M, f_1^M, f_2^M)$中的$M$和上標的$^M$顯示了這個structure的名字是$M$，意思是model。取名時通常會用大寫英文字母，有時會用特殊字形呈現，以示區隔，例如$M$的花體字是$\fr M$。

Domain

$U$指structure的domain，$U$是universe的意思。有些人不會寫$U$來表示domain，而是寫$D$，或dom($M$)，或$|M|$（最後兩個寫法和structure的名字有關。不過$|M|$這個寫法可能會讓人誤以為你想談的是$M$的domain的基數（cardinality），也就是domain裡有幾個東西）。或者structure的名字用特殊字形，然後domain就用一般字形呈現，例如$\fr A$這個structure的domain就用$A$表示。

當我們在說structure的大小、structure有多大時，我們指的是它的domain的基數。

Domain是一個集合，而且不能是空集合。我們可以把structure理解成是某個世界，domain則決定了這個世界上有哪些東西。你可以依自己喜好往domain這個集合裡加進任何東西，例如數字、英文字、中文字、人、幾何圖案；加無限個東西進去也行，例如讓domain是所有實數的集合。以下是一些domain這個集合可能的長相：

• $\{0, 1, 2\}$ 
• {$0, △, @, a$, Doctor House, 嗨！, 飛天麵條神}

不過為了書寫方便起見，通常只會放數字或英文字。我們暫定$M$的domain是$\{0, 1, 2\}$。

常數的詮釋

$c_1^M$是指，$c_1$這個常數在$M$裡的詮釋。$c_1^M∈U$，也就是，$c_1^M$會等於domain裡的某一個成員。我們可以把常數理解成domain裡某個東西的名字；一個東西可以有很多個常數當作名字，就像一個人可以有很多個綽號類似；但一個常數不能指到一個以上的東西，因為重名的話，我們就不知道那到底是在叫誰了。以下是一些$c_1, c_2$這兩個常數在$M$中可能的詮釋：

• $c_1^M = 0, c_2^M = 1$
• $c_1^M = 0, c_2^M = 0$

述詞的詮釋
$P_1^M$是指，$P_1$這個述詞在$M$裡的詮釋。我們對述詞的詮釋是外延（extension）式的。如果$P$是一個$n$元述詞，那麼$P^M⊆U^n$。$P^M$也是一個集合，而和domain不同的是，述詞的詮釋可以是空集合。

$U^n$是$U×⋯×U$乘$n$次的意思。$A×B$是一個由二元序列（tuple）構成的集合，序列中的第一個東西來自$A$，第二個來自$B$，把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合，就是$A$×$B$。例如，

若$A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$，則$A×B=$ $\{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$。

$A×B×C$則是由許多三元序列構成的集合，序列中的第一個東西來自$A$，第二個來自$B$，第三個來自$C$，把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合，就是$A×B×C$。例如，

若$A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$，$C=\{5,6\}$，則$A×B×C=$ $\{(1,3,5), (1,4,5), (2,3,5), (2,4,5), (1,3,6), (1,4,6), (2,3,6), (2,4,6)\}$

在序列裡，東西的順序很重要，$(1,2)$和$(2,1)$是不同的序列，這點和集合很不一樣，$\{1,2\}$和$\{2,1\}$都是同一個集合。（也有人用角括號表示序列，但是我還沒弄清楚怎麼在blogger上打出角括號）

完全沒弄懂前面$P^M$ ⊆ $U^n$是什麼鬼玩意的人別擔心，先來看幾個例子。我們可以把一元述詞$P_1$的詮釋想成，我們想讓domain裡的哪些東西有$P_1$這個性質，我們就把那些東西放到$P_1^M$這個集合裡。$P_1$在$M$裡幾個可能的詮釋：

• $\{1\}$ 
• $\{0, 2\}$ 
• $\{0, 1, 2\}$ 
• ∅

我們可以把二元述詞$P_2$的詮釋想成，我們想讓domain裡哪兩個東西有$P_2$這個關係，就把那兩個東西放到$P_2^M$這個集合裡。或者更生動一點地說（就像國小或幼稚園老師教$1+1=2$的時候，把「$1$這個自然數，填進+這個函數的兩個參數位置後，就會輸出$2$」生動地講成，一個蘋果和另一個蘋果放在一起就是兩個蘋果那樣。雖然$1+1=2$和蘋果半毛關係也沒有，但這樣舉例子比較容易理解），把$P_2$想成某個二元關係，例如$x$喜歡$y$，我們想讓domain裡的$0$喜歡自己的話，就把$(0,0)$放進$P_2^M$這個集合裡，想讓domain裡的$1$喜歡domain裡的$2$的話，就把$(1,2)$放進去。

$P_2$在$M$裡幾個可能的詮釋：

• $\{(0,0), (0,1), (0,2)\}$ （$0$喜歡domain裡的所有東西，$1$和$2$則什麼東西都不喜歡）
• $\{(0,1), (1,0), (2,0)\}$ （$0$和$1$互相喜歡，$2$單戀$0$）
• ∅（每個東西都不喜歡每個東西）

如果我們遇到的是三元述詞，而且這個述詞的詮釋不是空集合的話，集合裡的東西會長得像$(□,□, □)$，其中空格的部分各填進一個domain裡的東西。總的來說，如果遇到的是$n$元述詞，而且述詞的詮釋不是空集合的話，集合裡的東西會長得像$(□, ...,□)$，共$n$個空格，其中每個格子都填進一個domain裡的東西。

等號這個述詞非常特別，它是邏輯符號（不過有些邏輯學家不這麼認為，但目前先當作等號是邏輯符號），所以一般而言等號的詮釋已經規定好了，不是我們想要讓哪兩個domain裡的東西相等，就可以把那兩個東西組成的序列丟進等號的詮釋裡。等號的詮釋這個集合裡，放的東西一律是，每個domain裡的東西，自己和自己構成的序列，也就是，$\{(x,x)|x∈domain\}$。現在domain$=\{0,1,2\}$，所以$=^M=\{(0,0), (1,1), (2,2)\}$。

函數的詮釋

$f_1^M$是指，$f_1$這個函數在$M$裡的詮釋。如果函數$f$是$n$元的，則它的定義域是$U^n$，值域是$U$。

我們有個把函數轉成集合的辦法：函數是$n$元，我們就弄出$n+1$元的序列，序列的前面$n$格放輸入值，最後一格放輸出值。例如$g(x)=x+1$這個定義在自然數上的一元函數，轉成集合後會長這樣：$\{(0,1), (1,2), (2,3), ...\}$。

函數的定義是，如果輸入值在定義域裡的話，就一定要有輸出值，而且輸出值只能有一個。所以在詮釋函數時也要符合這條規定。

所以，$f_1^M$的定義域是$\{0, 1, 2\}$，因為$f_1$是一元函數。而$f_1^M$會長這樣：$\{(0,□), (1,□), (2,□)\}$，其中每個空格都填進一個domain裡的東西，就能得到一個可能的詮釋。所有空格都填同一個東西也沒關係。

$f_2^M$的定義域是$\{(0,0), (0,1),(0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)\}$，因為$f_2$是二元函數。而$f_2^M$會長這樣：$\{(0,0,□), (0,1,□),(0,2,□), (1,0,□),$ $(1,1,□), (1,2,□), (2,0,□), (2,1,□), (2,2,□)\}$，其中每個空格都填進一個domain裡的東西。

如何用structure判斷句子是真的還是假的？請見述詞邏輯的語意。