啊啊哲學: 述詞邏輯的語法

我們學英文這門語言時，首先會學這個英文有哪些符號（a, b, c, ...），然後學單字（apple, water, ...），再學怎麼組成合文法的句子。

述詞邏輯也是一門語言，所以我們先學這個語言有哪些符號，然後學term，再學well-formed formula（合文法的句式，有人翻成完構式，簡稱wff）長什麼樣。

符號
邏輯符號（所有述詞邏輯的語言都會有這些符號，而且這些符號的詮釋是規定好的，不開放任意詮釋）

變元（variable）： $v_1, v_2, ⋯$ （有時會用 $x, y, z, u, v$ 之類的）
連接詞（connective）： $¬, ∧, ∨, →, ↔$
$\neg$ 的其他寫法： $~$
$∧$ 的其他寫法： $\cdot$
$\to$ 的其他寫法： $⊃$
$\leftrightarrow$ 的其他寫法： $≣$
量限詞（quantifier）： $∃, ∀$ （有些人認為量限詞是非邏輯符號才對）
等號： $=$ （有些人認為等號是非邏輯符號才對）
括號，或叫分段符號：(, ), [, ], {, }

非邏輯符號（不是所有述詞邏輯的語言都會有這些符號）

常元（constant）： $a, b, c, ⋯, c_1, c_2, ⋯$ （長相不固定，如果有某個述詞邏輯的語言就是要拿「這個是放在，荷花的左邊」當常元，我們也沒辦法）
述詞（predicate）： $A, B, C, ⋯, P_1, P_2, ⋯, ∈, <, ⋯$ （長相不固定）
函數（function）： $f, g, h, ⋯, f_1, f_2, ⋯, +, -, ×, ÷, ⋯$ （長相不固定）

在以上這些符號之外的東西，就不是述詞邏輯這門語言的符號了。

Term

所以，如果語言

L

有

c

這個常元和

g

這個二元函數，那麼下列都是這個語言的term：

下列這些都不是這個語言的term：

Well-formed formula

如果 $P$ 是一個 $n$ 元述詞，那麼把 $P$ 的參數位置都用term填滿後得到的東西，就是wff。這種wff有個特定的名字叫atomic formula（原子句式），是最簡單的wff。
如果 $α, β$ 都是wff， $v$ 是隨便哪個變元，那麼下列這些也都是wff： $(¬α)$ , $(α∧β)$ , $(α∨β)$ , $(α→β)$ , $(α↔β)$ , $(∃vα)$ , $(∀vα)$ 。（有時會適度省略一些括號）
以上兩點以外的東西都不是wff。