述詞邏輯的語法

我們學英文這門語言時，首先會學這個英文有哪些符號（a, b, c, ...），然後學單字（apple, water, ...），再學怎麼組成合文法的句子。

述詞邏輯也是一門語言，所以我們先學這個語言有哪些符號，然後學term，再學well-formed formula（合文法的句式，有人翻成完構式，簡稱wff）長什麼樣。

符號
邏輯符號（所有述詞邏輯的語言都會有這些符號，而且這些符號的詮釋是規定好的，不開放任意詮釋）

• 變元（variable）：$v_1, v_2, ⋯$ （有時會用$x, y, z, u, v$之類的）
• 連接詞（connective）：$¬, ∧, ∨, →, ↔$
  $¬$的其他寫法：$~$
  $∧$的其他寫法：$·$
  $→$的其他寫法：$⊃$
  $↔$的其他寫法：$≣$
• 量限詞（quantifier）：$∃, ∀$（有些人認為量限詞是非邏輯符號才對）
• 等號：$=$（有些人認為等號是非邏輯符號才對）
• 括號，或叫分段符號：(, ), [, ], {, } 

非邏輯符號（不是所有述詞邏輯的語言都會有這些符號）

• 常元（constant）：$a, b, c, ⋯, c_1, c_2, ⋯$ （長相不固定，如果有某個述詞邏輯的語言就是要拿「這個是放在，荷花的左邊」當常元，我們也沒辦法）
• 述詞（predicate）：$A, B, C, ⋯, P_1, P_2, ⋯, ∈, <, ⋯$（長相不固定）
• 函數（function）：$f, g, h, ⋯, f_1, f_2, ⋯, +, -, ×, ÷, ⋯$（長相不固定）

在以上這些符號之外的東西，就不是述詞邏輯這門語言的符號了。

Term

1. 所有變元和常元都是term。
2. 如果$f$是一個$n$元函數，那麼把$f$的參數位置都用term填滿後得到的東西，也是term。
3. 以上兩點之外的東西都不是term。

所以，如果語言$L$有$c$這個常元和$g$這個二元函數，那麼下列都是這個語言的term：

• $g(x, c)$
• $g(g(x,c), c)$
• $g(g(x,c), g(y, c))$
• $g(g(g(x, y), c ), g(c, z))$

下列這些都不是這個語言的term：

• $g(c, x, c)$（$L$裡沒有三元的函數$g$）
• $g(a, c)$（$L$裡沒有符號$a$）
• $g(c)$（$L$裡沒有一元的函數$g$）
• $cc$

Well-formed formula

1. 如果$P$是一個$n$元述詞，那麼把$P$的參數位置都用term填滿後得到的東西，就是wff。這種wff有個特定的名字叫atomic formula（原子句式），是最簡單的wff。
2. 如果$α,β$都是wff，$v$是隨便哪個變元，那麼下列這些也都是wff：$(¬α)$, $(α∧β)$, $(α∨β)$, $(α→β)$, $(α↔β)$, $(∃vα)$, $(∀vα)$。（有時會適度省略一些括號）
3. 以上兩點以外的東西都不是wff。

所以，如果語言$L$有$c$這個常數，和$g$這個二元函數，和$Q$這個二元述詞，那麼下列都是這個語言的wff：

1. $Q(c, c)$
2. $Q(x, y)$
3. $Q(c, z)$
4. $Q(x, y)∧Q(x, y)$
5. $∃zQ(x, y)$
6. $∃x∀y[∃zQ(x, y)→¬Q(x, y)]$

我們會把裡面沒有出現自由（free）變元的formula稱為sentence。上列六個formula中，只有第一個和第六個是sentence。

下列都不是這個語言的wff：

• $Q(c, c)= Q(c, c)$（等號是述詞，述詞的參數位置要放term，不是放formula）
• $Q(Q(x,y), c)$（$Q$是述詞，述詞的參數位置要放term，不是放formula）
• $Q(c)$（$L$裡沒有一元的述詞$Q$）
• $∧Q(x, y)$
• $Q(x, y)∃z$