九十七學年度中正哲學轉學考邏輯試答

符號說明：

• "¬" : not
• "∧" : and
• "∨" : or
• "→" : if... then ...
• "↔" : if and only if
• "∀" : for all
• "∃" : there is

我做邏輯推論時主要用的是十八條規則，參考書目為彭孟堯的符號邏輯。

第一部份：語句邏輯

1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句，並同時標明各原子語句所代表的中文語句。
(a)張三喜歡邏輯或哲學，但並非兩者都喜歡。

A：張三喜歡邏輯。B：張三喜歡哲學。
(A∨B)∧¬(A∧B)

(b)雖然張三喜歡邏輯，但是李四不喜歡。

A：張三喜歡邏輯。B：李四喜歡邏輯。
A∧¬B

2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。
(¬P∨¬Q), (Q∧R) / (P→R)

(¬P∨¬Q), (Q∧R) / (P→R)
 F T F FT    T T T      T T T
 F T F FT    T F F      T F F
 F T T TF    F F T      T T T
 F T T TF    F F F      T F F
 T F T FT    T T T      F T T
 T F T FT    T F F      F T F
 T F T TF    F F T      F T T
 T F T TF    F F F      F T F
沒有前件皆真後件為假的情況,故此論證有效。

3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。
(P∨Q), ((P→R)∧(R→Q)) / Q

1.P∨Q
2.(P→R)∧(R→Q)
3.¬Q                 AIP
4.P                   1,3,DS
5.R                   2,4,Simp,MP
6.Q                  2,5,Simp,MP
7.¬Q∧Q          3,6,Conj
8.Q                  3-7,IP

4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。
((P∨(Q→R))→((P∨Q)→(P∨R)))

1.P∨(Q→R)                                   ACP for (P∨Q)→(P∨R)
2.P∨Q                                            ACP for P∨R
3.¬P                                                ACP for R
4.Q                                                 2,3,DS
5.Q→R                                           1,3,DS
6.R                                                  4,5,MP
7.¬P→R                                          3-6,CP
8.P∨R                                             7,Impl,DN
9.(P∨Q)→(P∨R)                            2-8,CP
10.(P∨(Q→R))→((P∨Q)→(P∨R)) 1-9,CP

第二部份：述詞邏輯

5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。
（j：張三；Dx：x是狗；Oxy：x擁有y；Bxy：x咬y）
(a)張三擁有至少兩隻狗。

(∃x)(∃y)(Dx∧Dy∧¬x=y∧Ojx∧Ojy)

(b)有隻狗咬張三。

(∃x)(Dx∧Bxj)

6.證明以下的論證為無效論證。
(∀x)(Px→Qx), ¬(∀x)Px/(∃x)¬Qx

前件皆真後件為假的反例：
D={0}
P={}
Q={0}

7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。
(a)((∃x)Pxa→Qa), (∀x)(¬Qx∨¬Rx) / (∀x)(Ra→¬Pxa)

1.(∃x)Pxa→Qa
2.(∀x)(¬Qx∨¬Rx)
3.Ra                       ACP for ¬Pxa
4.¬Qa∨¬Ra            2,UI
5.¬Qa                     3,4,DS
6.¬(∃x)Pxa             1,5,MT
7.(∀x)¬Pxa            6,QN
8.¬Pxa                    7,UI
9.Ra→¬Pxa            3-8,CP
10.(∀x)(Ra→¬Pxa) 9,UG

(b)(∀x)(Pax→(Qx→Rb)), ¬(∀x)¬Qx, (∀x)Rax / (∃x)Rx
我猜題目有筆誤。第三個前提大概要改成Pax。

1.(∀x)(Pax→(Qx→Rb))
2.¬(∀x)¬Qx
3.(∀x)Pax
4.(∃x)Qx               2,QN
5.Qx                      4,EI
6.Pax                     3,UI
7.Pax→(Qx→Rb)  1.UI
8.Qx→Rb              6,7,MP
9.Rb                      5,8,MP
10.(∃x)Rx              9,EG

8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。

(∃x)(¬Px∨(∀x)Px)
1.¬(∃x)(¬Px∨(∀x)Px)   AIP
2.(∀x)¬(¬Px∨(∀x)Px)  1,QN
3.¬(¬Px∨(∀x)Px)         2,UI
4.Px∧¬(∀x)Px              3,DeM,DN
5.Px                              4,Simp
6.(∀x)Px                      5,UG?（應該可以吧）
7.¬(∀x)Px                    4,Simp
8.(∀x)Px∧¬(∀x)Px     6,7,Conj
9.(∃x)(¬Px∨(∀x)Px)   1-8,IP

九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答
九十八學年度中正哲學轉學考邏輯試答