九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答

符號說明：

• "¬" : not
• "∧" : and
• "∨" : or
• "→" : if... then ...
• "↔" : if and only if
• "∀" : for all
• "∃" : there is

我做邏輯推論時主要用的是十八條規則，參考書目為彭孟堯的符號邏輯。

第一部份：語句邏輯

1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句，並同時標明各原子語句所代表的中文語句。
(a)如果張三喜歡邏輯，則李四喜歡邏輯。反之亦然。

A：張三喜歡邏輯。B：李四喜歡邏輯。
A↔B

(b)只有降低利率，才能挽救金融危機。

A：利率被降低。B：金融危機被挽救。
B→A

2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。
¬(P∨Q), (¬Q→(P∨¬R)) / ¬(Q∨R)

¬(P∨Q), (¬Q→(P∨¬R)) /¬(Q∨R)
F T T T     F T T T T F T    F  T T T
F T T T     F T T T T T F    F  T T F
F T T F     T F T T T F T    F  F T T
F T T F     T F T T T T F    T  F F F
F F T T     F T T F F F T    F  T T T
F F T T     F T T F T T F    F  T T F
T F F F     T F F F F F T    F  F T T
T F F F     T F T F T T F    T  F F F

沒有前提皆真且結論為假的情況，故此論證有效。

3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。
(P→(¬Q→¬R)), ¬Q / (R→¬P)

1.P→(¬Q→¬R)
2.¬Q
3.R                      ACP for ¬P
4.¬Q∧R              2,3,Conj
5.¬(¬Q→¬R)      4,DeM,Impl,DN
6.¬P                   1,5,MT
7.R→¬P              3-6,CP

4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。
((P∧Q)→((P→¬Q)→Q))

1.P∧Q                               ACP for (P→¬Q)→Q)
2.P→¬Q                            ACP for Q
3.Q                                   1,Simp
4.(P→¬Q)→Q)                  2-3,CP
5.(P∧Q)→((P→¬Q)→Q)    1-4,CP

第二部份：述詞邏輯
5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。（a：張三；b：李四；Hxy：x幫助y；Bx：x是男孩）
(a)有兩個男孩幫助張三。

(∃x)(∃y)(Bx∧By∧x≠y∧Hxa∧Hya)

(b)張三和李四都幫助所有的男孩。

(∀x)(Bx→(Hax∧Hbx))

6.證明以下的論證為無效論證。
(∀x)(Px→Qx), (∃x)Px / (∀x)Qx

前提皆真結論為假的反例：
D={0,1}
P={0}
Q={0}

7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。
(∀x)¬(Px∧Qx), ((∃x)¬Qx→(∃x)(Rx∧Sx)) / (∀x)¬Px∨(∃x)Rx

1.(∀x)¬(Px∧Qx)
2.(∃x)¬Qx→(∃x)(Rx∧Sx)
3.¬Px∨¬Qx                       1,Dem,UI
4.¬(∃x)Rx                          ACP for (∀x)¬Px
5.(∀x)¬Rx                         4,QN
6.¬Rx                                 5,UI
7.¬Rx∨¬Sx                        6,Add
8.(∀x)(¬Rx∨¬Sx)               7,UG?（應該可以用UG吧）
9.(∀x)¬(Rx∧Sx)                 8,DeM,DN
10.¬(∃x)(Rx∧Sx)                9,QN
11.¬(∃x)¬Qx                       2,10,MT
12.(∀x)Qx                          11,QN
13.Qx                                  12,UI
14.¬Px                                 3,13,Comm,DS
15.(∀x)¬Px                         14,UG?（應該可以用UG吧）
16.¬(∃x)Rx→(∀x)¬Px        4-15,CP
17.(∀x)¬Px∨(∃x)Rx           16,Impl,DN,Comm

8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。

((∀x)(Px→(Qx→Rx))→((∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx)))
1.(∀x)(Px→(Qx→Rx))                   ACP for (∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx)
2.(∀x)(Px→Qx)                             ACP for (∀x)(Px→Rx)
3.Px                                              ACP for Rx
4.Px→(Qx→Rx)                             1,UI
5.Px→Qx                                       2,UI
6.Qx→Rx                                       3,4,MP
7.Qx                                              3,5,MP
8.Rx                                              6,7,MP
9.Px→Rx                                        3-8,CP
10.(∀x)(Px→Rx)                            9,UG
11.(∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx)    2-10,CP
12.(∀x)(Px→(Qx→Rx))→((∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx))
                                                      1-11,CP

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