##EasyReadMore##

10.08.2011

九十九年中正哲學碩班甄試邏輯試答

I. True or False
  1. [(A∨B)→C]→[(D∧¬C)→(A→E)] is a tautology.
    T
  2. ∃x(∀yPy→Rx) is logically equivalent to ∀yPy→∃xRx.
    T
    1.∃x(∀yPy→Rx)    前提
    2.∀yPy                   ACP for ∃xRx
    3.∀yPy→Rx           1, EI
    4.Rx                        2,3, MP
    5.∃xRx                    4, EG
    6.∀yPy→∃xRx      2-5, CP
    .
    1.∀yPy→∃xRx      前提
    2.¬∃x(∀yPy→Rx)  AIP
    3.∀x¬(∀yPy→Rx) 2, EQ
    4.∀x(∀yPy∧¬Rx)  3, Impl, Dem, DN
    5.∀yPy∧¬Rx          4, UI
    6.∀yPy                    5, Simp
    7.∃xRx                    1,6, MP
    8. ¬Rx                     5, Simp
    9.∀x¬Rx                 8, UG
    10.¬∃xRx                9, EQ
    11.∃xRx∧¬∃xRx    7,10, Conj
    12.∃x(∀yPy→Rx)   2-11, IP
    .
  3. Suppose A is contingent. If A and B are inconsistent and A and C are inconsistent, then B and C must be inconsistent.
    F
    A和B不一致,而且A和C不一致,表示A和B不可能同時為真,而且A和C不可能同時為真。所以當A為真時,B和C都不會為真;但A為假時,B和C的真值不管怎麼設定都不會和「A和B不一致,而且A和C不一致」的前提有衝突。所以A和B不一致,而且A和C不一致,而且B和C一致的情況是有可能的。
    .
    或者,畫出A、B、C的真值表,然後把A和B同時為真的那列劃掉,再把A和C同時為真的那列劃掉,最後檢查剩下的列裡有沒有B和C同時為真的情況。
    .
  4. P∧R logically implies Q if and only if P logically implies P→Q and R logically implies R→Q.
    F
    P∧R⊧Q iff  P⊧P→Q and R⊧R→Q
    A蘊含(imply,⊧)B的意思是,當A為真時,B也會為真(不會有A為真B為假的情況)。檢查A if and only if B為不為真的方式有三種:
    一、當A為真時,B也為真。而且當B為真時,A也為真。
    二、當A為假時,B也為假。而且當B為假時,A也為假。
    三、當A為真時,B也為真。而且當A為假時,B也為假。
    我用第二種方式檢查。
    P∧R⊧Q只會在P和R為真,Q為假的時候為假。在P和R為真,Q為假的時候,P⊧P→Q and R⊧R→Q也為假。
    P⊧P→Q and R⊧R→Q會在P或R為真,Q為假的時候為假。在P和R只有其中一個為真,Q為假的時候,P∧R⊧Q會為真。
    .
    因為有P∧R⊧Q為真,但P⊧P→Q and R⊧R→Q為假的情況(P和R只有其中一個為真,Q為假),故P∧R⊧Q iff  P⊧P→Q and R⊧R→Q為假。
    .
  5. A is true unless B is false. So A and B cannot be both true.
    F
    P: A is true.
    Q: B is true.
    「A is true unless B is false」可以被改寫成P∨¬Q。當P和Q皆為真時,P∨¬Q也為真。所以A和B可以同時為真。
II. A politician made the following statement during a TV interview: 
“If I am not attending a congressional meeting, I am planning for a better future of our country. And if I am not planning for a better future of our country, I am listening to our people for their opinions.” What’s wrong with his statement?
A: I am attending a congressional meeting.
P: I am planning for a better future of our country.
L: I am listening to our people for their opinions.

這位政治家說的話可以被改寫成¬A→P, ¬P→L。

1.¬A→P          前提
2.¬P→L          前提
3.¬P                ACP
4.A                  1,3, MT
5.L                   2,3, MP
6.A∧L             4,5, Conj
7.¬P→(A∧L)  3-6, CP
8.¬(A∧L)        根據常識,大概沒有人可以一邊開國會會議一邊聴取人民的意見。
9.P                  7,8, MT

這位政治家一直在為國家的美好未來做打算。不過大概沒有人能無時無刻都掛念著同一件事。
III. Let “Lxy” stand for “x loves y”,
     “Hxy” stand for “x hates y” and
     “Px” stand for “x is a philosopher”.
Please symbolize the following sentence.
Someone who is not a philosopher loves exactly two different philosophers who hate each other.
∃x(¬Px∧∃y∃z(Lxy∧Lxz∧∀u(Lxu→(u=y∨u=z))∧¬y=z∧Py∧Pz∧Hyz∧Hzy))
IV. Please prove the following valid argument.
∀x(Rx↔Qx), ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx) /∴ ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx
  1. ∀x(Rx↔Qx)
  2. ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx)
  3. ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)                          ACP for ∀x¬Rx
  4. ¬(Px↔Qx)↔Rx                                        2, EI
  5. (¬Px↔Qx)↔Rx                                        4, 等價
  6. ¬Px↔(Qx↔Rx)                                        5, 等價
  7. [¬Px∧(Qx↔Rx)]∨[Px∧¬(Qx↔Rx)]         6, Equiv
  8. Rx↔Qx                                                    1, UI
  9. ¬Px∨(Rx↔Qx)                                         8, Add, Comm
  10. ¬[Px∧¬(Qx↔Rx)]                                    9, Dem, DN, 等價
  11. ¬Px∧(Qx↔Rx)                                         7,10, DS
  12. ¬Px                                                           11, Simp
  13. (∃yRy∧∃yQy)→Px                                   3, UI
  14. ¬(∃yRy∧∃yQy)                                        12,13, MT
  15. ∀y¬Ry∨∀y¬Qy                                       14, QN
  16. ¬∀y(¬Ry∨¬Qy)                                        AIP
  17. ∃y(Ry∧Qy)                                               16, QN, DeM, DN
  18. Ry∧Qy                                                      17,EI
  19. ∃yRy∧∃yQy                                             18, Simp, EG, Conj
  20. ¬∀y¬Ry∧¬∀y¬Qy                                   19,QN
  21. ¬(∀y¬Ry∨∀y¬Qy)                                   20, Dem, DN
  22. (∀y¬Ry∨∀y¬Qy)∧¬(∀y¬Ry∨∀y¬Qy)   15,21, Conj
  23. ∀y(¬Ry∨¬Qy)                                           16-22, IP
  24. ¬Rx∨¬Qx                                                  23, UI
  25. ¬(Rx∧Qx)                                                 24, Dem, DN
  26. (Rx∧Qx)∨(¬Rx∧¬Qx)                              8, Equiv
  27. ¬Rx∧¬Qx                                                  25, 26, DS
  28. ¬∀yQy                                                       27, Simp, EG, QN
  29. ∀y¬Ry                                                       15,28, DS
  30. ¬Rz                                                            29, UI
  31. ∀x¬Rx                                                       30, UG
  32. ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx             3-31, CP
另一個方法:
  1. ∀x(Rx↔Qx)
  2. ∃x(¬(Px↔Qx)↔Rx)
  3. ¬[∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx]             AIP 
  4. ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)∧¬∀x¬Rx                3, DeM, DN
  5. ∃xRx                                                               4, Simp, QN
  6. Rx                                                                   5, EI
  7. Rx↔Qx                                                           1, UI
  8. Qx                                                                   6,7, Equiv, Simp, MP
  9. ∃yRy∧∃yQy                                                   6,8, EG, Conj
  10. ¬(Py↔Qy)↔Ry                                               2, EI
  11. ∃yRy∧∃yQy→Py                                           4, Simp, UI
  12. Py                                                                    9,11, MP
  13. ¬Py↔(Qy↔Ry)                                               10, 等價
  14. Qy↔Ry                                                            1, UI, 等價
  15. ¬Py                                                                  13,14, Equiv, Simp, MP
  16. Py∧¬Py                                                           12,15, Conj
  17. ∀x((∃yRy∧∃yQy)→Px)→∀x¬Rx                  3-16, IP
相關文章:

4 comments:

  1. Q4.
    這題有一個簡單的反例。設 R 是矛盾句,(P&R)⊧Q成立。
    有一個 Interpretation 是 Vi(P) = T, Vi(Q)=F。 因此P⊧(P->Q)不成立。

    ReplyDelete
  2. 謝啦!我以後會記得用矛盾句檢查一下的。

    ReplyDelete
  3. 關於第三題,由於inconsistent是語法概念,所以解題時是不是不要使用語意概念的真值比較好?

    ReplyDelete
  4. consistent有些人用語意定義,有些人用語法定義。另外,因為語句邏輯和述詞邏輯有健全性(證出來的都是真的)和完備性(真的都證得出來),語法和語意可以互通,所以沒有關係。

    ReplyDelete

為了避免辛辛苦苦寫的留言送出後就不見,你可以在送出前把它複製到別處。
如果留言一直沒顯示,可能是被系統當成垃圾留言擋下來。你可以寄信到右上角的信箱叫我處理。