啊啊哲學

4.14.2013

述詞邏輯的語法

我們學英文這門語言時，首先會學這個英文有哪些符號（a, b, c, ...），然後學單字（apple, water, ...），再學怎麼組成合文法的句子。

述詞邏輯也是一門語言，所以我們先學這個語言有哪些符號，然後學term，再學well-formed formula（合文法的句式，有人翻成完構式，簡稱wff）長什麼樣。

符號
邏輯符號（所有述詞邏輯的語言都會有這些符號，而且這些符號的詮釋是規定好的，不開放任意詮釋）

變元（variable）： $v_1, v_2, ⋯$ （有時會用 $x, y, z, u, v$ 之類的）
連接詞（connective）： $¬, ∧, ∨, →, ↔$
$\neg$ 的其他寫法： $~$
$∧$ 的其他寫法： $\cdot$
$\to$ 的其他寫法： $⊃$
$\leftrightarrow$ 的其他寫法： $≣$
量限詞（quantifier）： $∃, ∀$ （有些人認為量限詞是非邏輯符號才對）
等號： $=$ （有些人認為等號是非邏輯符號才對）
括號，或叫分段符號：(, ), [, ], {, }

非邏輯符號（不是所有述詞邏輯的語言都會有這些符號）

常元（constant）： $a, b, c, ⋯, c_1, c_2, ⋯$ （長相不固定，如果有某個述詞邏輯的語言就是要拿「這個是放在，荷花的左邊」當常元，我們也沒辦法）
述詞（predicate）： $A, B, C, ⋯, P_1, P_2, ⋯, ∈, <, ⋯$ （長相不固定）
函數（function）： $f, g, h, ⋯, f_1, f_2, ⋯, +, -, ×, ÷, ⋯$ （長相不固定）

在以上這些符號之外的東西，就不是述詞邏輯這門語言的符號了。

Term

所有變元和常元都是term。
如果 $f$ 是一個 $n$ 元函數，那麼把 $f$ 的參數位置都用term填滿後得到的東西，也是term。
以上兩點之外的東西都不是term。

所以，如果語言

L

有

c

這個常元和

g

這個二元函數，那麼下列都是這個語言的term：

$g(x, c)$
$g(g(x,c), c)$
$g(g(x,c), g(y, c))$
$g(g(g(x, y), c ), g(c, z))$

下列這些都不是這個語言的term：

$g(c, x, c)$ （ $L$ 裡沒有三元的函數 $g$ ）
$g(a, c)$ （ $L$ 裡沒有符號 $a$ ）
$g(c)$ （ $L$ 裡沒有一元的函數 $g$ ）
$c c$

Well-formed formula

如果 $P$ 是一個 $n$ 元述詞，那麼把 $P$ 的參數位置都用term填滿後得到的東西，就是wff。這種wff有個特定的名字叫atomic formula（原子句式），是最簡單的wff。
如果 $α, β$ 都是wff， $v$ 是隨便哪個變元，那麼下列這些也都是wff： $(¬α)$ , $(α∧β)$ , $(α∨β)$ , $(α→β)$ , $(α↔β)$ , $(∃vα)$ , $(∀vα)$ 。（有時會適度省略一些括號）
以上兩點以外的東西都不是wff。

所以，如果語言

L

有

c

這個常數，和

g

這個二元函數，和

Q

這個二元述詞，那麼下列都是這個語言的wff：

$Q(c, c)$
$Q(x, y)$
$Q(c, z)$
$Q(x, y)∧Q(x, y)$
$∃zQ(x, y)$
$∃x∀y[∃zQ(x, y)→¬Q(x, y)]$

我們會把裡面沒有出現自由（free）變元的formula稱為sentence。上列六個formula中，只有第一個和第六個是sentence。

下列都不是這個語言的wff：

$Q(c, c)= Q(c, c)$ （等號是述詞，述詞的參數位置要放term，不是放formula）
$Q(Q(x,y), c)$ （ $Q$ 是述詞，述詞的參數位置要放term，不是放formula）
$Q(c)$ （ $L$ 裡沒有一元的述詞 $Q$ ）
$∧Q(x, y)$
$Q(x, y)∃z$

述詞邏輯的語意

有了L這個語言的structure，先把這個structure叫

M

好了，我們就可以判斷這個語言中沒有自由變元（free variable）的語句（sentence），在

M

裡是真的還是假的。

以

L'

這個有

a, b, P, Q, f, g

這些非邏輯符號的語言為例，其中

a, b

是常數，

P

是一元述詞，

Q

是二元述詞，

f

是一元函數，

g

是二元函數。我們設計一個

L'

的structure

A

如下：

$U=\{0, 1, 2\}$
$a^A=0$
$b^A=1$
$P^A=\{0, 2\}$
$Q^A=\{(0,1), (1,2), (2,1)\}$
$f^A=\{(0,2), (1,2), (2,0)\}$
——意思是， $f^A(0)=2, f^A(1)=2, f^A(2)=0$
$g^A=\{(0,0,0), (0,1,1),(0,2,2), (1,0,1), (1,1,1), (1,2,1),$ $(2,0,1), (2,1,0), (2,2,1)\}$
—— 意思是， $g^A(0,0)=0, g^A(0,1)=1, g^A(0,2)=2, ⋯$

原子語句（atomic sentence）的真假值

在

A

這個structure裡，

P(a)

是真的還是假的？我們先看

a^A

指到什麼東西，再看看

a^A

指到的東西是不是在

P

的詮釋裡。在裡面，那麼

P(a)

是真的；不在裡面，那麼

P(a)

就是假的。

a^A

指到

0

，而且

0∈P^A

，所以

P(a)

在

A

裡是真的。

P(a)

在

A

裡是真的，通常會記為

A⊨P(a)

或

⊨_AP(a)

。

而

P(b)

因為

1∉P^A

，便是假的。

P(b)

在

A

中為假，則記為

A⊭P(b)

或

⊭_AP(b)

。

Q(a,b)

是真的，記為

A⊨Q(a,b)

，因為

(0,1)∈Q^A

。

A⊭Q(a,a)

，因為

(0,0)∉Q^A

。

至於P(f(a))在

A

裡的真假值，就把

a^A

指到的東西輸進

f^A

裡，看輸出的東西是不是在

P^A

裡。

a^A

指到

0

，

0

輸入

f^A

會輸出

2

（因為

(0,2)∈f^A

，其中

0

是輸入，

2

是輸出），而

2∈P^A

，所以

A⊨P(f(a))

。而

A⊭P(g(b,a))

，因為往

g^A

的第一個參數位置輸入

1

，第二個位置輸入

0

後，輸出的

1

不在

P^A

裡。

有連接詞的語句的真假值

和語句邏輯的計算方式差不多。例如

$A⊭P(g(b,a))$ ，所以 $A⊨¬P(g(b,a))$ 。 $A⊨P(a)$ ，故 $A⊭¬P(a)$ 。
$P(a)∧P(g(b,a))$ 只會在 $P(a)$ 和 $P(g(b,a))$ 都為真的情況下為真，所以 $A⊭P(a)∧P(g(b,a))$ 。

有量限詞（quantifier）的句子的真假值

∀xP(x)

的意思是，所有domain裡的東西都有

P

這個性質。目前

U=\{0,1,2\}

，也就是說，

∀xP(x)

的意思是

0∈P^A

而且

1∈P^A

而且

2∈P^A

。因為

1∉P^A

，所以

A⊭∀xP(x)

。

∃xP(x)

的意思是，至少有一個domain裡的東西有

P

這個性質。也就是說，

∃xP(x)

的意思是

0∈P^A

或者

1∈P^A

或者

2∈P^A

。所以

A⊨∃xP(x)

。

∀x∃yQ(x,y)

的意思是，所有domain裡的東西，都和domain裡至少一個東西有

Q

這個關係。要講得具體一點以幫助理解的話，我們可以先把

Q

視為某個二元關係，例如

x

喜歡

y

（這不代表

Q

這個述詞就是

x

喜歡

y

的意思，

Q

就只是某個述詞符號，

Q^A

僅僅是某個由二元序列構成的集合。就像國小或幼稚園老師教

1+1=2

的時候，把「

1

這個自然數，填進+這個函數的兩個參數位置後，就會輸出

2

」生動地講成，一個蘋果和另一個蘋果放在一起就是兩個蘋果那樣。雖然

1+1=2

和蘋果半毛關係也沒有，但這樣舉例子比較容易理解），那麼

∀x∃yQ(x,y)

的意思便是，每個東西都至少喜歡一個東西。

不過句子太複雜或太長的話，我們可能沒辦法用舉實例的方式，理解句子的意思。不過還有別的辦法。也可以這樣理解

∀x∃yQ(x,y)

：

∀x∃yQ(x,y)

是指所有domain裡的東西都滿足

∃yQ(x,y)

，也就是

$∃yQ(x,y)[^x_0]$ 而且 $∃yQ(x,y)[^x_1]$ 而且 $∃yQ(x,y)[^x_2]$

∃yQ(x,y)[^x_0]

的意思是

∃yQ(x,y)

中的

x

會指到domain裡的

0

。我們不能直接寫

∃yQ(0,y)

是由於，

0

不是term，所以

∃yQ(0,y)

不是合文法的字串。（私底下想把

∃yQ(x,y)[^x_0]

腦補成

∃yQ(0,y)

是沒問題，但別在正式場合這麼做）

而

∃yQ(x,y)[^x_0]

可以理解成，至少有一個domain裡的東西會滿足

Q(x,y)[^x_0]

，也就是，

$Q(x,y)[^x_0,^y_0]$ 或者 $Q(x,y)[^x_0,^y_1]$ 或者 $Q(x,y)[^x_0,^y_2]$ 。

所以，

∃yQ(x,y)[^x_0]

而且

∃yQ(x,y)[^x_1]

而且

∃yQ(x,y)[^x_2]

的意思就會是：

【 $Q(x,y)[^x_0,^y_0]$ 或者 $Q(x,y)[^x_0,^y_1]$ 或者 $Q(x,y)[^x_0,^y_2]$ 】而且
【 $Q(x,y)[^x_1,^y_0]$ 或者 $Q(x,y)[^x_1,^y_1]$ 或者 $Q(x,y)[^x_1,^y_2]$ 】而且
【 $Q(x,y)[^x_2,^y_0]$ 或者 $Q(x,y)[^x_2,^y_1]$ 或者 $Q(x,y)[^x_2,^y_2]$ 】。

也就是

【 $0$ 喜歡 $0$ ，或者 $0$ 喜歡 $1$ ，或者 $0$ 喜歡 $2$ 】而且
【 $1$ 喜歡 $0$ ，或者 $1$ 喜歡 $1$ ，或者 $1$ 喜歡 $2$ 】而且
【 $2$ 喜歡 $0$ ，或者 $2$ 喜歡 $1$ ，或者 $2$ 喜歡 $2$ 】

因為domain裡的每個東西的確都喜歡至少一個東西，所以

A⊨∀x∃yQ(x,y)

。

有自由變元的句式（formula）的真假值

有自由變元的句式，基本上沒辦法判斷真假值。試想以下幾個句式：

$1=1$
$2=1$
$x=1$

第一個句式顯然是真的，第二個顯然是假的，但第三個就難辦了，因為我們不知道

x

到底是指哪個數，所以無從判斷

x

是不是等於

1

。

既然問題的根源在於，不知道

x

到底是指什麼，那麼就發派一個東西給

x

去指不就得了。負責這項指派業務的玩意兒，就是一元的assignment function（我不知道這個東西有沒有固定的中文譯名，如果硬要翻的話，就叫指派函數好了）。這個函數和邏輯語言裡那個非邏輯符號的函數的詮釋不一樣。Assignment function的定義域是所有變數的集合（而不是structure的domain，和對非邏輯符號的函數的詮釋不一樣），值域是structure的domain裡的某一個東西。也就是，只要我們輸入某個變數給assignment function，問它這個變數是指啥，它就會輸出一個structure的domain裡的東西，回答我們此變數是指structure的domain裡的這個東西。

問不同的assignment function同一個問題，可能會得到不同的答案。例如

h_1(x)=1

但

h_2(x)=2

之類的。這時在

h_1

這個assignment function的指派之下，

P(x)

在

A

中為假，因為

1∉P^A

，記為

A⊭P(x)[h_1]

，而在

h_2

的的指派之下，

P(x)

在

A

中為真，因為

2∈P^A

，記為

A⊨P(x)[h_2]

。

有時我們會看到一些長相比較奇特的assignment function，例如

h^x_1

。

h^x_1

是指，我們已經有一個assignment function

h

，而

h^x_1

是個這樣的函數：輸入

x

會輸出

1

，輸入

x

以外的變數會輸出和

h

一樣的東西；也就是

$h^x_1(v)=1$ , if $v=x,$ （ $v$ 是variable的意思）
$h^x_1(v)=h(v)$ , if $v≠x$

依此類推，

$h^x_1^y_2(v)=1$ , if $v=x,$
$h^x_1^y_2(v)=2$ , if $v=y,$
$h^x_1^y_2(v)=h(v)$ , if $v≠x$ and $v≠y$

重要概念

某個structure $M$ 讓某個句子 $φ$ 為真的話，我們就會就說 $M$ 這個structure是 $φ$ 的模型（model）。（不過structure和mode這兩個字常混用就是了）
某個語言 $L$ 中的句子 $φ$ 是可滿足的（satisfiable），若且唯若，至少有一個 $L$ 的structure，和一個該structure的assignment function（如果 $φ$ 裡有自由變元的話會用上，沒有的話，assignment function就只是來插花的）會讓 $φ$ 為真。
某個語言 $L$ 中的句子 $φ$ 是邏輯真理（logical truth），記為 $⊨φ$ ，若且唯若，所有 $L$ 的structure，和所有該structure的assignment function都會讓 $φ$ 為真。
也就是，任選一個 $L$ 的structur和它的隨便那個assignment function， $φ$ 在裡面都會是真的。
某個語言 $L$ 中的語句集合 $Γ$ ，蘊含（imply）該語言的某個句子 $φ$ ，記為 $Γ⊨φ$ ，若且唯若，所有會讓 $Γ$ 裡全部句子都為真的 $L$ 的structure，和所有該structure的assignment function，也都會讓 $φ$ 為真。
也就是， $Γ$ 裡全部句子都為真的時候， $φ$ 也會為真。

第3點，是第4點中的

Γ

取為空集合而產生的特例。

4.13.2013

述詞邏輯的structure

語句邏輯的句子是用真值表來判斷真假值，述詞邏輯的句子則是用structure來判斷。Structure是由domain和對非邏輯符號的詮釋（interpretation）構成的；至於要詮譯哪些非邏輯符號，就看語言中的非邏輯符號有哪些，詮釋那些就可以了。

以某個有

c_1, c_2, P_1, P_2, f_1, f_2

這些非邏輯符號的語言為例，其中

c_1, c_2

是常數，

P_1

是一元述詞，

P_2

是二元述詞，

f_1

是一元函數，

f_2

是二元函數（此處符號的下標和述詞及函數是幾元一模一樣只是偶然），這個語言的structure大致會長成這樣：

M=(U, c_1^M, c_2^M, P_1^M, P_2^M, f_1^M, f_2^M)

。以下一一介紹這些符號的意思。

Structure的名字

M=(U, c_1^M, c_2^M, P_1^M, P_2^M, f_1^M, f_2^M)

中的

M

和上標的

^M

顯示了這個structure的名字是

M

，意思是model。取名時通常會用大寫英文字母，有時會用特殊字形呈現，以示區隔，例如

M

的花體字是

\fr M

。

Domain

U

指structure的domain，

U

是universe的意思。有些人不會寫

U

來表示domain，而是寫

D

，或dom(

M

)，或

|M|

（最後兩個寫法和structure的名字有關。不過

|M|

這個寫法可能會讓人誤以為你想談的是

M

的domain的基數（cardinality），也就是domain裡有幾個東西）。或者structure的名字用特殊字形，然後domain就用一般字形呈現，例如

\fr A

這個structure的domain就用

A

表示。

當我們在說structure的大小、structure有多大時，我們指的是它的domain的基數。

Domain是一個集合，而且不能是空集合。我們可以把structure理解成是某個世界，domain則決定了這個世界上有哪些東西。你可以依自己喜好往domain這個集合裡加進任何東西，例如數字、英文字、中文字、人、幾何圖案；加無限個東西進去也行，例如讓domain是所有實數的集合。以下是一些domain這個集合可能的長相：

$\{0, 1, 2\}$
{ $0, △, @, a$ , Doctor House, 嗨！, 飛天麵條神}

不過為了書寫方便起見，通常只會放數字或英文字。我們暫定

M

的domain是

\{0, 1, 2\}

。

常數的詮釋

c_1^M

是指，

c_1

這個常數在

M

裡的詮釋。

c_1^M∈U

，也就是，

c_1^M

會等於domain裡的某一個成員。我們可以把常數理解成domain裡某個東西的名字；一個東西可以有很多個常數當作名字，就像一個人可以有很多個綽號類似；但一個常數不能指到一個以上的東西，因為重名的話，我們就不知道那到底是在叫誰了。以下是一些

c_1, c_2

這兩個常數在

M

中可能的詮釋：

$c_1^M = 0, c_2^M = 1$
$c_1^M = 0, c_2^M = 0$

述詞的詮釋

P_1^M

是指，

P_1

這個述詞在

M

裡的詮釋。我們對述詞的詮釋是外延（extension）式的。如果

P

是一個

n

元述詞，那麼

P^M⊆U^n

。

P^M

也是一個集合，而和domain不同的是，述詞的詮釋可以是空集合。

U^n

是

U×⋯×U

乘

n

次的意思。

A \times B

是一個由二元序列（tuple）構成的集合，序列中的第一個東西來自

A

，第二個來自

B

，把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合，就是

A

B

。例如，

若 $A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$ ，則 $A×B=$ $\{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$ 。

A \times B \times C

則是由許多三元序列構成的集合，序列中的第一個東西來自

A

，第二個來自

B

，第三個來自

C

，把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合，就是

A \times B \times C

。例如，

若 $A=\{1,2\}, B=\{3,4\}$ ， $C=\{5,6\}$ ，則 $A×B×C=$ $\{(1,3,5), (1,4,5), (2,3,5), (2,4,5), (1,3,6), (1,4,6), (2,3,6), (2,4,6)\}$

在序列裡，東西的順序很重要，

(1,2)

和

(2,1)

是不同的序列，這點和集合很不一樣，

\{1,2\}

和

\{2,1\}

都是同一個集合。（也有人用角括號表示序列，但是我還沒弄清楚怎麼在blogger上打出角括號）

完全沒弄懂前面

P^M

⊆

U^n

是什麼鬼玩意的人別擔心，先來看幾個例子。我們可以把一元述詞

P_1

的詮釋想成，我們想讓domain裡的哪些東西有

P_1

這個性質，我們就把那些東西放到

P_1^M

這個集合裡。

P_1

在

M

裡幾個可能的詮釋：

$\{1\}$
$\{0, 2\}$
$\{0, 1, 2\}$
∅

我們可以把二元述詞

P_2

的詮釋想成，我們想讓domain裡哪兩個東西有

P_2

這個關係，就把那兩個東西放到

P_2^M

這個集合裡。或者更生動一點地說（就像國小或幼稚園老師教

1+1=2

的時候，把「

1

這個自然數，填進+這個函數的兩個參數位置後，就會輸出

2

」生動地講成，一個蘋果和另一個蘋果放在一起就是兩個蘋果那樣。雖然

1+1=2

和蘋果半毛關係也沒有，但這樣舉例子比較容易理解），把

P_2

想成某個二元關係，例如

x

喜歡

y

，我們想讓domain裡的

0

喜歡自己的話，就把

(0,0)

放進

P_2^M

這個集合裡，想讓domain裡的

1

喜歡domain裡的

2

的話，就把

(1,2)

放進去。

P_2

在

M

裡幾個可能的詮釋：

$\{(0,0), (0,1), (0,2)\}$ （ $0$ 喜歡domain裡的所有東西， $1$ 和 $2$ 則什麼東西都不喜歡）
$\{(0,1), (1,0), (2,0)\}$ （ $0$ 和 $1$ 互相喜歡， $2$ 單戀 $0$ ）
∅（每個東西都不喜歡每個東西）

如果我們遇到的是三元述詞，而且這個述詞的詮釋不是空集合的話，集合裡的東西會長得像

(□,□, □)

，其中空格的部分各填進一個domain裡的東西。總的來說，如果遇到的是

n

元述詞，而且述詞的詮釋不是空集合的話，集合裡的東西會長得像

(□, ...,□)

，共

n

個空格，其中每個格子都填進一個domain裡的東西。

等號這個述詞非常特別，它是邏輯符號（不過有些邏輯學家不這麼認為，但目前先當作等號是邏輯符號），所以一般而言等號的詮釋已經規定好了，不是我們想要讓哪兩個domain裡的東西相等，就可以把那兩個東西組成的序列丟進等號的詮釋裡。等號的詮釋這個集合裡，放的東西一律是，每個domain裡的東西，自己和自己構成的序列，也就是，

\{(x,x)|x∈domain\}

。現在domain

=\{0,1,2\}

，所以

=^M=\{(0,0), (1,1), (2,2)\}

。

函數的詮釋

f_1^M

是指，

f_1

這個函數在

M

裡的詮釋。如果函數

f

是

n

元的，則它的定義域是

U^n

，值域是

U

。

我們有個把函數轉成集合的辦法：函數是

n

元，我們就弄出

n+1

元的序列，序列的前面

n

格放輸入值，最後一格放輸出值。例如

g(x)=x+1

這個定義在自然數上的一元函數，轉成集合後會長這樣：

\{(0,1), (1,2), (2,3), ...\}

。

函數的定義是，如果輸入值在定義域裡的話，就一定要有輸出值，而且輸出值只能有一個。所以在詮釋函數時也要符合這條規定。

所以，

f_1^M

的定義域是

\{0, 1, 2\}

，因為

f_1

是一元函數。而

f_1^M

會長這樣：

\{(0,□), (1,□), (2,□)\}

，其中每個空格都填進一個domain裡的東西，就能得到一個可能的詮釋。所有空格都填同一個東西也沒關係。

f_2^M

的定義域是

\{(0,0), (0,1),(0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)\}

，因為

f_2

是二元函數。而

f_2^M

會長這樣：

\{(0,0,□), (0,1,□),(0,2,□), (1,0,□),

(1,1,□), (1,2,□), (2,0,□), (2,1,□), (2,2,□)\}

，其中每個空格都填進一個domain裡的東西。

如何用structure判斷句子是真的還是假的？請見述詞邏輯的語意。

11.16.2012

公理，定理，引理和系理

對象語言（object language）和後設語言（metalanguage）

當有人用英文研究拉丁文時，對象語言是拉丁文，後設語言是英文。對象語言和後設語言可以是同一套語言，例如用中文研究中文的時候。基本上，後設語言中要具備對象語言裡的所有符號，不然討論對象語言時可能會遇上困難。例如，若只用中文研究英文，便無法寫出「water的意思是水」這種句子，因為後設語言裡沒有英文字母；若後設語言是一套由英文字母和中文構成的語言，就可以。我們在用中文、英文和某邏輯語言的符號，討論該邏輯語言時，對象語言是該邏輯語言，後設語言是一套由中文、英文和該邏輯語言的符號構成的語言。

公理（axiom）

在邏輯系統中，不需要證明就可以拿來用的句式（formula）便是公理。你可以問選這些句式當公理有什麼好處，但沒辦法要求證明這些句式。如果你覺得某邏輯系統的其中一些公理不能滿足你的需求（例如，不能完美模仿人類的推論方式），可以另闢一套邏輯系統，放自己喜歡的公理。但那套系統有沒有研究價值、是否有人想用則是另一回事。

定理（theorem）

僅利用某邏輯系統的公理，或利用公理及系統允許的推論規則就能證明的句式，便是該邏輯系統的定理。根據定義，任一邏輯系統的公理均是其定理。

定理還有另一個意思。對象語言是某套邏輯系統的邏輯文章裡，定理通常指作者主要想證明的句子，這個句子使用後設語言有，但對象語言沒有的符號描述該邏輯系統的性質。因為這種定理中出現了那套邏輯語言沒有的符號，所以無法被該邏輯系統的公理或推論規則證明。語句邏輯的演譯定理（deduction theorem）便是這樣的句子。第二種意思的定理被稱為後設定理（metatheorem）。

引理（lemma）

引理也是用後設語言描述邏輯系統的性質的句子。引理通常指，用來幫助證明後設定理的重要踏腳石。是後設定理還是引理，端賴它在文章中是否為作者的主要目標，因此可能發生，同一個句子在這篇文章中是引理，在另一篇文章中是後設定理的情況。

系理（corollary）

系理也是用後設語言描述邏輯系統的性質的句子。後設定理蘊含的一些重要結果便是系理，至於哪些被蘊含的結果才是重要的，則由作者決定；作者大多會選和他等一下要討論的事有關的結果當系理。一但證明後設定理，要證明該後設定理的系理通常很容易。

10.08.2011

九十九年中正哲學碩班甄試邏輯試答

I. True or False

[(A∨B)→C]→[(D∧¬C)→(A→E)] is a tautology.
T
∃x(∀yPy→Rx) is logically equivalent to ∀yPy→∃xRx.
T
1.∃x(∀yPy→Rx) 前提
2.∀yPy ACP for ∃xRx
3.∀yPy→Rx 1, EI
4.Rx 2,3, MP
5.∃xRx 4, EG
6.∀yPy→∃xRx 2-5, CP
.
1.∀yPy→∃xRx 前提
2.¬∃x(∀yPy→Rx) AIP
3.∀x¬(∀yPy→Rx) 2, EQ
4.∀x(∀yPy∧¬Rx) 3, Impl, Dem, DN
5.∀yPy∧¬Rx 4, UI
6.∀yPy 5, Simp
7.∃xRx 1,6, MP
8. ¬Rx 5, Simp
9.∀x¬Rx 8, UG
10.¬∃xRx 9, EQ
11.∃xRx∧¬∃xRx 7,10, Conj
12.∃x(∀yPy→Rx) 2-11, IP
.
Suppose A is contingent. If A and B are inconsistent and A and C are inconsistent, then B and C must be inconsistent.
F
A和B不一致，而且A和C不一致，表示A和B不可能同時為真，而且A和C不可能同時為真。所以當A為真時，B和C都不會為真；但A為假時，B和C的真值不管怎麼設定都不會和「A和B不一致，而且A和C不一致」的前提有衝突。所以A和B不一致，而且A和C不一致，而且B和C一致的情況是有可能的。
.
或者，畫出A、B、C的真值表，然後把A和B同時為真的那列劃掉，再把A和C同時為真的那列劃掉，最後檢查剩下的列裡有沒有B和C同時為真的情況。
.
P∧R logically implies Q if and only if P logically implies P→Q and R logically implies R→Q.
F
P∧R⊧Q iff P⊧P→Q and R⊧R→Q
A蘊含（imply，⊧）B的意思是，當A為真時，B也會為真（不會有A為真B為假的情況）。檢查A if and only if B為不為真的方式有三種：

一、當A為真時，B也為真。而且當B為真時，A也為真。
二、當A為假時，B也為假。而且當B為假時，A也為假。
三、當A為真時，B也為真。而且當A為假時，B也為假。
我用第二種方式檢查。
P∧R⊧Q只會在P和R為真，Q為假的時候為假。在P和R為真，Q為假的時候，P⊧P→Q and R⊧R→Q也為假。
P⊧P→Q and R⊧R→Q會在P或R為真，Q為假的時候為假。在P和R只有其中一個為真，Q為假的時候，P∧R⊧Q會為真。
.
因為有P∧R⊧Q為真，但P⊧P→Q and R⊧R→Q為假的情況（P和R只有其中一個為真，Q為假），故P∧R⊧Q iff P⊧P→Q and R⊧R→Q為假。
.
A is true unless B is false. So A and B cannot be both true.
F
P: A is true.
Q: B is true.
「A is true unless B is false」可以被改寫成P∨¬Q。當P和Q皆為真時，P∨¬Q也為真。所以A和B可以同時為真。

II. A politician made the following statement during a TV interview:
“If I am not attending a congressional meeting, I am planning for a better future of our country. And if I am not planning for a better future of our country, I am listening to our people for their opinions.” What’s wrong with his statement?

A: I am attending a congressional meeting.
P: I am planning for a better future of our country.
L: I am listening to our people for their opinions.

這位政治家說的話可以被改寫成¬A→P, ¬P→L。

1.¬A→P 前提
2.¬P→L 前提
3.¬P ACP
4.A 1,3, MT
5.L 2,3, MP
6.A∧L 4,5, Conj
7.¬P→(A∧L) 3-6, CP
8.¬(A∧L) 根據常識，大概沒有人可以一邊開國會會議一邊聴取人民的意見。
9.P 7,8, MT

這位政治家一直在為國家的美好未來做打算。不過大概沒有人能無時無刻都掛念著同一件事。

III. Let “Lxy” stand for “x loves y”,
“Hxy” stand for “x hates y” and
“Px” stand for “x is a philosopher”.
Please symbolize the following sentence.
Someone who is not a philosopher loves exactly two different philosophers who hate each other.