啊啊哲學

10.07.2011

中正的研究所開始招生（101學年度）

重要日程表

簡章發售日期：10月6日起。
報名期間：10月6日至10月25日。
「系所指定繳交資料」郵寄截止日：10 月26 日。
複試：11月18日至11月20日（確切日期以各系所正式通知為準）。

10.01.2011

確定描述詞理論的困難

之前提過確定描述詞理論的內容和它能解決的問題，現在來看看它會遇上什麼麻煩。

一，「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」在確定描述詞理論的分析下會變成像「單身漢是沒結婚的男人」一樣的廢話。

我們會認為「單身漢是沒結婚的男人」是廢話，是因為單身漢這個專有名詞的意思其實就是就代表沒結婚的男人。我不須要出門觀察單身漢是不是都沒結婚而且都是男人，就可以根據「單身漢」這個專有名詞的意思判斷「單身漢是沒結婚的男人」為不為真。

確定描述詞理論把專有名詞當成偽裝的確定描述詞，在確定描述詞理論的分析下，「摩西」這個專有名詞的意思其實就是帶領以色列人離開埃及的人。因此，我只要根據「摩西」這個專有名詞的意思就可以判斷「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」為不為真。

然而，我們通常不會認為「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」是廢話，也就是，我們可以從這句話學到新東西。所以確定描述詞理論的分析大概有問題。

有些人會反駁，在確定描述詞理論的分析下，「摩西」這個專有名詞的意思不是帶領以色列人離開埃及的人，而是，帶領以色列人離開埃及的人，或制定十誡的人，或分開紅海的人，或…。所以，「摩西」這個專有名詞的意思只告訴我們，摩西做過這個或者摩西做過那個或者…。我們沒辦法從「摩西」這個專有名詞的意思得知摩西到底做過什麼。因此「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」不是廢話，這句話告訴我們摩西到底做過什麼。

不過，即使「摩西是帶領以色列人離開埃及的人」不是廢話，「摩西是帶領以色列人離開埃及的人，或摩西是制定十誡的人，或摩西是分開紅海的人，或摩西是…」仍然是廢話。

然而，我們通常不會認為只要根據「摩西」這個專有名詞的意思就可以判斷「摩西是帶領以色列人離開埃及的人，或摩西是制定十誡的人，或摩西是分開紅海的人，或摩西是…」為不為真，我們可以從這句話學到新東西。所以改良後的確定描述詞理論的分析大概還是有問題。

二，Saul Kripke提出的反例。

我們通常會用下列句子描述柏拉圖：

出生時被命名為柏拉圖的人。

《斐多篇》的作者。

《理想国》的作者。

…

然而，柏拉圖出生時不叫柏拉圖，而是亞里斯特克勒斯（Aristocles）。

想像古希腊時代有個出生時被命名為柏拉圖的人，他生性孤僻，幾乎不和其他人接觸。他碰巧做過亞里斯特克勒斯做過的每件事，例如他也寫了《斐多篇》、《理想国》、…。但他死後完全沒有人記得他，他的著作也不曾傳世。

然而這個孤僻的傢伙比亞里斯特克勒斯更符合「出生時被命名為柏圖的人、《斐多篇》的作者、《理想国》的作者、…」這些描述，所以當我們使用這些描述時，根據確定描述詞理論，我們談論的是那個孤僻的傢伙，而不是亞里斯特克勒斯。但這怎麼會對呢？畢竟，我們根本不知道那個孤僻的傢伙的存在，我們要怎麼談論一個我們從來沒意識到其存在的東西？

參考資料
P.54,55,57 Collin, F. & Guldmann, F. (2005) Meaning, Use and Truth [Ashgate]

相關文章
對描述詞理論的一個攻擊，以及兩種回應 - 哲學與思方

9.30.2011

素樸集合論的困難

素樸集合論（naive set theory）是這樣定義集合的：

{x | x符合條件A、B、C…}

意思是，把符合A、B、C…這些條件的東西蒐集起來，就可以得到一個集合。

例如，屬於{x | x是猫}這個集合裡的東西都是猫，屬於{x | x是上帝}這個集合裡的東西都是上帝。可能有人會爭論{x | x是上帝}是不是空集合，如果不是的話那個集合裡有幾個東西，不過這對素樸集合論沒什麼威脅。真正的麻煩是，有些集合的條件會產生悖論。

1906年G. G. Berry提出了{x | x是可以用一行字定義的正整數（x is a positive integer definable in one line of type）} 這個集合。這個集合裡的東西有：

12345
（把質數由小到大排列）第一百個質數
x⁴ - 17x³ + 101x² - 247x + 210 = 0這個多項式的解
…

然而，有些正整數沒辦法只用一行字定義，因此不屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數} 這個集合。不過我們可以為這些沒辦法只用一行字定義的正整數排大小，最小的那個數可以用下列這句話定義：

最小的不可以用一行字定義的正整數。

而這句話只有一行，所以該數屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數} 這個集合！但是怎麼會有東西不屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數}而且屬於{x | x是可以用一行字定義的正整數}呢？

另一個悖論來自羅素（Russell），所以叫羅素悖論（Russell's paradox），不過Ernst Zermelo也自行想到這個悖論。

1902年時，羅素提出了{x | x ∉ x}這個集合，這個集合蒐集不屬於自己的東西。這個集合裡的東西有：

{x | x是猫}（{x | x是猫}這個集合裡蒐集的東西是猫，{x | x是猫}是集合而不是猫，所以{x | x是猫}這個集合裡不會蒐集「{x | x是猫}」這個東西）
{x | x是上帝}
…

那麼，{x | x ∉ x}這個集合屬不屬於自己？{x | x ∉ x}要嘛屬於自己，要嘛不屬於自己，如果它屬於自己，表示它滿足{x | x ∉ x}中x ∉ x這個條件，那麼它不屬於自己。如果它不屬於自己，表示它沒有滿足{x | x ∉ x}中x ∉ x這個條件，所以它屬於自己。

不管{x | x ∉ x}這個集合屬不屬於自己，都會產生矛盾。

參考資料：
P.4-6, Enderton, H. B. (1977) Elements of set theory [Academic Press]

相關文章：
羅素悖論 - 哲學與思方

8.08.2011

九十七學年度中正哲學轉學考邏輯試答

符號說明：

"¬" : not
"∧" : and
"∨" : or
"→" : if... then ...
"↔" : if and only if
"∀" : for all
"∃" : there is

我做邏輯推論時主要用的是十八條規則，參考書目為彭孟堯的符號邏輯。

第一部份：語句邏輯

1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句，並同時標明各原子語句所代表的中文語句。
(a)張三喜歡邏輯或哲學，但並非兩者都喜歡。

A：張三喜歡邏輯。B：張三喜歡哲學。
(A∨B)∧¬(A∧B)

(b)雖然張三喜歡邏輯，但是李四不喜歡。

A：張三喜歡邏輯。B：李四喜歡邏輯。
A∧¬B

2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。
(¬P∨¬Q), (Q∧R) / (P→R)

(¬P∨¬Q), (Q∧R) / (P→R)
F T F FT T T T T T T
F T F FT T F F T F F
F T T TF F F T T T T
F T T TF F F F T F F
T F T FT T T T F T T
T F T FT T F F F T F
T F T TF F F T F T T
T F T TF F F F F T F
沒有前件皆真後件為假的情況,故此論證有效。

3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。
(P∨Q), ((P→R)∧(R→Q)) / Q

1.P∨Q
2.(P→R)∧(R→Q)
3.¬Q AIP
4.P 1,3,DS
5.R 2,4,Simp,MP
6.Q 2,5,Simp,MP
7.¬Q∧Q 3,6,Conj
8.Q 3-7,IP

4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。
((P∨(Q→R))→((P∨Q)→(P∨R)))

1.P∨(Q→R) ACP for (P∨Q)→(P∨R)
2.P∨Q ACP for P∨R
3.¬P ACP for R
4.Q 2,3,DS
5.Q→R 1,3,DS
6.R 4,5,MP
7.¬P→R 3-6,CP
8.P∨R 7,Impl,DN
9.(P∨Q)→(P∨R) 2-8,CP
10.(P∨(Q→R))→((P∨Q)→(P∨R)) 1-9,CP

第二部份：述詞邏輯

5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。
（j：張三；Dx：x是狗；Oxy：x擁有y；Bxy：x咬y）
(a)張三擁有至少兩隻狗。

(∃x)(∃y)(Dx∧Dy∧¬x=y∧Ojx∧Ojy)

(b)有隻狗咬張三。

(∃x)(Dx∧Bxj)

6.證明以下的論證為無效論證。
(∀x)(Px→Qx), ¬(∀x)Px/(∃x)¬Qx

前件皆真後件為假的反例：
D={0}
P={}
Q={0}

7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。
(a)((∃x)Pxa→Qa), (∀x)(¬Qx∨¬Rx) / (∀x)(Ra→¬Pxa)

1.(∃x)Pxa→Qa
2.(∀x)(¬Qx∨¬Rx)
3.Ra ACP for ¬Pxa
4.¬Qa∨¬Ra 2,UI
5.¬Qa 3,4,DS
6.¬(∃x)Pxa 1,5,MT
7.(∀x)¬Pxa 6,QN
8.¬Pxa 7,UI
9.Ra→¬Pxa 3-8,CP
10.(∀x)(Ra→¬Pxa) 9,UG

(b)(∀x)(Pax→(Qx→Rb)), ¬(∀x)¬Qx, (∀x)Rax / (∃x)Rx
我猜題目有筆誤。第三個前提大概要改成Pax。

1.(∀x)(Pax→(Qx→Rb))
2.¬(∀x)¬Qx
3.(∀x)Pax
4.(∃x)Qx 2,QN
5.Qx 4,EI
6.Pax 3,UI
7.Pax→(Qx→Rb) 1.UI
8.Qx→Rb 6,7,MP
9.Rb 5,8,MP
10.(∃x)Rx 9,EG

8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。

(∃x)(¬Px∨(∀x)Px)
1.¬(∃x)(¬Px∨(∀x)Px) AIP
2.(∀x)¬(¬Px∨(∀x)Px) 1,QN
3.¬(¬Px∨(∀x)Px) 2,UI
4.Px∧¬(∀x)Px 3,DeM,DN
5.Px 4,Simp
6.(∀x)Px 5,UG?（應該可以吧）
7.¬(∀x)Px 4,Simp
8.(∀x)Px∧¬(∀x)Px 6,7,Conj
9.(∃x)(¬Px∨(∀x)Px) 1-8,IP

九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答
九十八學年度中正哲學轉學考邏輯試答

九十八學年度中正哲學轉學考邏輯試答

符號說明：

"¬" : not
"∧" : and
"∨" : or
"→" : if... then ...
"↔" : if and only if
"∀" : for all
"∃" : there is

我做邏輯推論時主要用的是十八條規則，參考書目為彭孟堯的符號邏輯。

第一部份：語句邏輯

1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句，並同時標明各原子語句所代表的中文語句。
(a)中正大學在颱風來時放假。

A：颱風來台。B：中正大學放假。
A→B

(b)除非經濟復甦，否則失業人數會繼續增加。

A：經濟復甦。B：失業人數繼續增加。
A∨B

2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。
((I→¬Y), (S∧Y)) / (S∧¬I)

((I→¬Y), (S∧Y)) / (S∧¬I)
T F F T T T T T F FT
T F F T F F T F F FT
T T T F T F F T F FT
T T T F F F F F F FT
F T F T T T T T T TF
F T F T F F T F F TF
F T T F T F F T T TF
F T T F F F F F F TF
沒有前件皆真後件為假的情況,故此論證有效。

3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。
G→(H→K), H→(K→E), ¬G∨H / ¬G∨E

1.G→(H→K)
2.H→(K→E)
3.¬G∨H
4.G ACP for E
5.H 3,4,DS
6.H→K 1,4,MP
7.K 5,6,MP
8.K→E 2,5,MP
9.E 7,8,MP
10.G→E 4-9,CD
11.¬G∨E 10,Impl

4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。
(P→((¬P∨¬Q)→¬Q))

1.P ACP for (¬P∨¬Q)→¬Q
2.¬P∨¬Q ACP for ¬Q
3.¬Q 1,2,DS
4.(¬P∨¬Q)→¬Q 2-3,CP
5.P→((¬P∨¬Q)→¬Q) 1-4,CP

第二部份：述詞邏輯

5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。（a：張三；b：小華；Pxy：x暗戀y；Bx：x是男孩）
(a)最多只有兩個男孩暗戀小華。

(∀x)(∀y)((Bx∧By∧Pxb∧Pyb)→(∀z)((Bz∧Pzb)→(z=x∨z=y)))

(b)所有的男孩中，只有張三暗戀小華。

(∀x)((Bx∧Pxb)→x=a)

6.證明以下的論證為無效論證。
(∀x)(¬Wx∨¬Px), (∀x)¬Wx / (∃x)¬Px

前件皆真後件為假的反例：
D={0}
W={}
P={0}

7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。
(∃x)(Mx∧Kx)→(∀y)Ay, ¬Aa / (∀x)(Mx→¬Kx)

1.(∃x)(Mx∧Kx)→(∀y)Ay
2.¬Aa
3.(∃y)¬Ay 2.EG
4.¬(∀y)Ay 3.QN
5.¬(∃x)(Mx∧Kx) 1,4,MT
6.(∀x)(¬Mx∨¬Kx) 5,QN,DeM,DN
7.(∀x)(Mx→¬Kx) 6.Impl

8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。

(∀x)(¬Px→(Px→Qx))
1.¬Px ACP for Px→Qx
2.Px ACP for Qx
3.Px∨Qx 2.Add
4.Qx 1,3,DS
5.Px→Qx 2-4,CP
6.¬Px→(Px→Qx) 1-5,CP
7.(∀x)(¬Px→(Px→Qx)) 6,UG

九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答
九十七學年度中正哲學轉學考邏輯試答

九十九學年度中正哲學轉學考邏輯試答

符號說明：

"¬" : not
"∧" : and
"∨" : or
"→" : if... then ...
"↔" : if and only if
"∀" : for all
"∃" : there is

我做邏輯推論時主要用的是十八條規則，參考書目為彭孟堯的符號邏輯。

第一部份：語句邏輯

1.將下列兩個中文語句翻譯成語句邏輯的語句，並同時標明各原子語句所代表的中文語句。
(a)如果張三喜歡邏輯，則李四喜歡邏輯。反之亦然。

A：張三喜歡邏輯。B：李四喜歡邏輯。
A↔B

(b)只有降低利率，才能挽救金融危機。

A：利率被降低。B：金融危機被挽救。
B→A

2.利用真傎表判定下列論證是否為有效論證。
¬(P∨Q), (¬Q→(P∨¬R)) / ¬(Q∨R)

¬(P∨Q), (¬Q→(P∨¬R)) /¬(Q∨R)
F T T T F T T T T F T F T T T
F T T T F T T T T T F F T T F
F T T F T F T T T F T F F T T
F T T F T F T T T T F T F F F
F F T T F T T F F F T F T T T
F F T T F T T F T T F F T T F
T F F F T F F F F F T F F T T
T F F F T F T F T T F T F F F

沒有前提皆真且結論為假的情況，故此論證有效。

3.利用語句邏輯的證明規則證明以下論證。
(P→(¬Q→¬R)), ¬Q / (R→¬P)

1.P→(¬Q→¬R)
2.¬Q
3.R ACP for ¬P
4.¬Q∧R 2,3,Conj
5.¬(¬Q→¬R) 4,DeM,Impl,DN
6.¬P 1,5,MT
7.R→¬P 3-6,CP

4.利用語句邏輯的證明規則證明以下邏輯定理。
((P∧Q)→((P→¬Q)→Q))

1.P∧Q ACP for (P→¬Q)→Q)
2.P→¬Q ACP for Q
3.Q 1,Simp
4.(P→¬Q)→Q) 2-3,CP
5.(P∧Q)→((P→¬Q)→Q) 1-4,CP

第二部份：述詞邏輯
5.利用以下提供的述詞邏輯符號將下列四個中文語句翻譯成述詞邏輯的語句。（a：張三；b：李四；Hxy：x幫助y；Bx：x是男孩）
(a)有兩個男孩幫助張三。

(∃x)(∃y)(Bx∧By∧x≠y∧Hxa∧Hya)

(b)張三和李四都幫助所有的男孩。

(∀x)(Bx→(Hax∧Hbx))

6.證明以下的論證為無效論證。
(∀x)(Px→Qx), (∃x)Px / (∀x)Qx

前提皆真結論為假的反例：
D={0,1}
P={0}
Q={0}

7.利用述詞邏輯的證明規則證明以下論證。
(∀x)¬(Px∧Qx), ((∃x)¬Qx→(∃x)(Rx∧Sx)) / (∀x)¬Px∨(∃x)Rx

1.(∀x)¬(Px∧Qx)
2.(∃x)¬Qx→(∃x)(Rx∧Sx)
3.¬Px∨¬Qx 1,Dem,UI
4.¬(∃x)Rx ACP for (∀x)¬Px
5.(∀x)¬Rx 4,QN
6.¬Rx 5,UI
7.¬Rx∨¬Sx 6,Add
8.(∀x)(¬Rx∨¬Sx) 7,UG?（應該可以用UG吧）
9.(∀x)¬(Rx∧Sx) 8,DeM,DN
10.¬(∃x)(Rx∧Sx) 9,QN
11.¬(∃x)¬Qx 2,10,MT
12.(∀x)Qx 11,QN
13.Qx 12,UI
14.¬Px 3,13,Comm,DS
15.(∀x)¬Px 14,UG?（應該可以用UG吧）
16.¬(∃x)Rx→(∀x)¬Px 4-15,CP
17.(∀x)¬Px∨(∃x)Rx 16,Impl,DN,Comm

8.利用述詞邏輯的證明規則證明以下的邏輯定理。

((∀x)(Px→(Qx→Rx))→((∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx)))
1.(∀x)(Px→(Qx→Rx)) ACP for (∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx)
2.(∀x)(Px→Qx) ACP for (∀x)(Px→Rx)
3.Px ACP for Rx
4.Px→(Qx→Rx) 1,UI
5.Px→Qx 2,UI
6.Qx→Rx 3,4,MP
7.Qx 3,5,MP
8.Rx 6,7,MP
9.Px→Rx 3-8,CP
10.(∀x)(Px→Rx) 9,UG
11.(∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx) 2-10,CP
12.(∀x)(Px→(Qx→Rx))→((∀x)(Px→Qx)→(∀x)(Px→Rx))
1-11,CP