述詞邏輯的語法

我們學英文這門語言時，首先會學這個英文有哪些符號（a, b, c, ...），然後學單字（apple, water, ...），再學怎麼組成合文法的句子。

述詞邏輯也是一門語言，所以我們先學這個語言有哪些符號，然後學term，再學well-formed formula（合文法的句式，有人翻成完構式，簡稱wff）長什麼樣。

符號
邏輯符號（所有述詞邏輯的語言都會有這些符號，而且這些符號的詮釋是規定好的，不開放任意詮釋）

• 變元（variable）：${\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,\cdots$ （有時會用$\mathit{x},\mathit{y},\mathit{z},\mathit{u},\mathit{v}$之類的）
• 連接詞（connective）：$\neg ,\wedge ,\vee ,\to ,\leftrightarrow$
  $\neg$的其他寫法：$~$
  $\wedge$的其他寫法：$·$
  $\to$的其他寫法：$\supset$
  $\leftrightarrow$的其他寫法：$≣$
• 量限詞（quantifier）：$\exists ,\forall$（有些人認為量限詞是非邏輯符號才對）
• 等號：$=$（有些人認為等號是非邏輯符號才對）
• 括號，或叫分段符號：(, ), [, ], {, } 

非邏輯符號（不是所有述詞邏輯的語言都會有這些符號）

• 常元（constant）：$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\cdots ,{\mathit{c}}_1,{\mathit{c}}_2,\cdots$ （長相不固定，如果有某個述詞邏輯的語言就是要拿「這個是放在，荷花的左邊」當常元，我們也沒辦法）
• 述詞（predicate）：（長相不固定）
• 函數（function）：$\mathit{f},\mathit{g},\mathit{h},\cdots ,{\mathit{f}}_1,{\mathit{f}}_2,\cdots ,+,-,\times ,÷,\cdots$（長相不固定）

在以上這些符號之外的東西，就不是述詞邏輯這門語言的符號了。

Term

1. 所有變元和常元都是term。
2. 如果$\mathit{f}$是一個$\mathit{n}$元函數，那麼把$\mathit{f}$的參數位置都用term填滿後得到的東西，也是term。
3. 以上兩點之外的東西都不是term。

所以，如果語言$\mathit{L}$有$\mathit{c}$這個常元和$\mathit{g}$這個二元函數，那麼下列都是這個語言的term：

• $\mathit{g}\left(\mathit{x},\mathit{c}\right)$
• $\mathit{g}\left(\mathit{g}\left(\mathit{x},\mathit{c}\right),\mathit{c}\right)$
• $\mathit{g}\left(\mathit{g}\left(\mathit{x},\mathit{c}\right),\mathit{g}\left(\mathit{y},\mathit{c}\right)\right)$
• $\mathit{g}\left(\mathit{g}\left(\mathit{g}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right),\mathit{c}\right),\mathit{g}\left(\mathit{c},\mathit{z}\right)\right)$

下列這些都不是這個語言的term：

• $\mathit{g}\left(\mathit{c},\mathit{x},\mathit{c}\right)$（$\mathit{L}$裡沒有三元的函數$\mathit{g}$）
• $\mathit{g}\left(\mathit{a},\mathit{c}\right)$（$\mathit{L}$裡沒有符號$\mathit{a}$）
• $\mathit{g}\left(\mathit{c}\right)$（$\mathit{L}$裡沒有一元的函數$\mathit{g}$）
• $\mathit{c}\mathit{c}$

Well-formed formula

1. 如果$\mathit{P}$是一個$\mathit{n}$元述詞，那麼把$\mathit{P}$的參數位置都用term填滿後得到的東西，就是wff。這種wff有個特定的名字叫atomic formula（原子句式），是最簡單的wff。
2. 如果$\mathit{\alpha },\mathit{\beta }$都是wff，$\mathit{v}$是隨便哪個變元，那麼下列這些也都是wff：$\left(\neg \mathit{\alpha }\right)$, $\left(\mathit{\alpha }\wedge \mathit{\beta }\right)$, $\left(\mathit{\alpha }\vee \mathit{\beta }\right)$, $\left(\mathit{\alpha }\to \mathit{\beta }\right)$, $\left(\mathit{\alpha }\leftrightarrow \mathit{\beta }\right)$, $\left(\exists \mathit{v}\mathit{\alpha }\right)$, $\left(\forall \mathit{v}\mathit{\alpha }\right)$。（有時會適度省略一些括號）
3. 以上兩點以外的東西都不是wff。

所以，如果語言$\mathit{L}$有$\mathit{c}$這個常數，和$\mathit{g}$這個二元函數，和$\mathit{Q}$這個二元述詞，那麼下列都是這個語言的wff：

1. $\mathit{Q}\left(\mathit{c},\mathit{c}\right)$
2. $\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$
3. $\mathit{Q}\left(\mathit{c},\mathit{z}\right)$
4. $\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)\wedge \mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$
5. $\exists \mathit{z}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$
6. $\exists \mathit{x}\forall \mathit{y}\left[\exists \mathit{z}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)\to \neg \mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)\right]$

我們會把裡面沒有出現自由（free）變元的formula稱為sentence。上列六個formula中，只有第一個和第六個是sentence。

下列都不是這個語言的wff：

• $\mathit{Q}\left(\mathit{c},\mathit{c}\right)=\mathit{Q}\left(\mathit{c},\mathit{c}\right)$（等號是述詞，述詞的參數位置要放term，不是放formula）
• $\mathit{Q}\left(\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right),\mathit{c}\right)$（$\mathit{Q}$是述詞，述詞的參數位置要放term，不是放formula）
• $\mathit{Q}\left(\mathit{c}\right)$（$\mathit{L}$裡沒有一元的述詞$\mathit{Q}$）
• $\wedge \mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$
• $\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)\exists \mathit{z}$

述詞邏輯的語意

有了L這個語言的structure，先把這個structure叫$\mathit{M}$好了，我們就可以判斷這個語言中沒有自由變元（free variable）的語句（sentence），在$\mathit{M}$裡是真的還是假的。

以$\mathit{L}\prime$這個有$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{P},\mathit{Q},\mathit{f},\mathit{g}$這些非邏輯符號的語言為例，其中$\mathit{a},\mathit{b}$是常數，$\mathit{P}$是一元述詞，$\mathit{Q}$是二元述詞，$\mathit{f}$是一元函數，$\mathit{g}$是二元函數。我們設計一個$\mathit{L}\prime$的structure $\mathit{A}$如下：

$\mathit{U}=\left\{0,1,2\right\}$
${\mathit{a}}^{\mathit{A}}=0$
${\mathit{b}}^{\mathit{A}}=1$
${\mathit{P}}^{\mathit{A}}=\left\{0,2\right\}$
${\mathit{Q}}^{\mathit{A}}=\left\{\left(0,1\right),\left(1,2\right),\left(2,1\right)\right\}$
${\mathit{f}}^{\mathit{A}}=\left\{\left(0,2\right),\left(1,2\right),\left(2,0\right)\right\}$
——意思是，${\mathit{f}}^{\mathit{A}}\left(0\right)=2,{\mathit{f}}^{\mathit{A}}\left(1\right)=2,{\mathit{f}}^{\mathit{A}}\left(2\right)=0$
${\mathit{g}}^{\mathit{A}}=\{\left(0,0,0\right),\left(0,1,1\right),\left(0,2,2\right),\left(1,0,1\right),\left(1,1,1\right),\left(1,2,1\right),$ $\left(2,0,1\right),\left(2,1,0\right),\left(2,2,1\right)\}$
—— 意思是，${\mathit{g}}^{\mathit{A}}\left(0,0\right)=0,{\mathit{g}}^{\mathit{A}}\left(0,1\right)=1,{\mathit{g}}^{\mathit{A}}\left(0,2\right)=2,\cdots$

原子語句（atomic sentence）的真假值

在$\mathit{A}$這個structure裡，$\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$是真的還是假的？我們先看${\mathit{a}}^{\mathit{A}}$指到什麼東西，再看看${\mathit{a}}^{\mathit{A}}$指到的東西是不是在$\mathit{P}$的詮釋裡。在裡面，那麼$\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$是真的；不在裡面，那麼$\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$就是假的。${\mathit{a}}^{\mathit{A}}$指到$0$，而且$0\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$，所以$\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$在$\mathit{A}$裡是真的。$\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$在$\mathit{A}$裡是真的，通常會記為$\mathit{A}\models \mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$或${\models }_{\mathit{A}}\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$。

而$\mathit{P}\left(\mathit{b}\right)$因為$1\notin {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$，便是假的。$\mathit{P}\left(\mathit{b}\right)$在$\mathit{A}$中為假，則記為$\mathit{A}⊭\mathit{P}\left(\mathit{b}\right)$或${⊭}_{\mathit{A}}\mathit{P}\left(\mathit{b}\right)$。$\mathit{Q}\left(\mathit{a},\mathit{b}\right)$是真的，記為$\mathit{A}\models \mathit{Q}\left(\mathit{a},\mathit{b}\right)$，因為$\left(0,1\right)\in {\mathit{Q}}^{\mathit{A}}$。$\mathit{A}⊭\mathit{Q}\left(\mathit{a},\mathit{a}\right)$，因為$\left(0,0\right)\notin {\mathit{Q}}^{\mathit{A}}$。

至於P(f(a))在$\mathit{A}$裡的真假值，就把${\mathit{a}}^{\mathit{A}}$指到的東西輸進${\mathit{f}}^{\mathit{A}}$裡，看輸出的東西是不是在${\mathit{P}}^{\mathit{A}}$裡。${\mathit{a}}^{\mathit{A}}$指到$0$，$0$輸入${\mathit{f}}^{\mathit{A}}$會輸出$2$（因為$\left(0,2\right)\in {\mathit{f}}^{\mathit{A}}$，其中$0$是輸入，$2$是輸出），而$2\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$，所以$\mathit{A}\models \mathit{P}\left(\mathit{f}\left(\mathit{a}\right)\right)$。而$\mathit{A}⊭\mathit{P}\left(\mathit{g}\left(\mathit{b},\mathit{a}\right)\right)$，因為往${\mathit{g}}^{\mathit{A}}$的第一個參數位置輸入$1$，第二個位置輸入$0$後，輸出的$1$不在${\mathit{P}}^{\mathit{A}}$裡。

有連接詞的語句的真假值

和語句邏輯的計算方式差不多。例如

• $\mathit{A}⊭\mathit{P}\left(\mathit{g}\left(\mathit{b},\mathit{a}\right)\right)$，所以$\mathit{A}\models \neg \mathit{P}\left(\mathit{g}\left(\mathit{b},\mathit{a}\right)\right)$。$\mathit{A}\models \mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$，故$\mathit{A}⊭\neg \mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$。
• $\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)\wedge \mathit{P}\left(\mathit{g}\left(\mathit{b},\mathit{a}\right)\right)$只會在$\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)$和$\mathit{P}\left(\mathit{g}\left(\mathit{b},\mathit{a}\right)\right)$都為真的情況下為真，所以$\mathit{A}⊭\mathit{P}\left(\mathit{a}\right)\wedge \mathit{P}\left(\mathit{g}\left(\mathit{b},\mathit{a}\right)\right)$。

有量限詞（quantifier）的句子的真假值

$\forall \mathit{x}\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)$的意思是，所有domain裡的東西都有$\mathit{P}$這個性質。目前$\mathit{U}=\left\{0,1,2\right\}$，也就是說，$\forall \mathit{x}\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)$的意思是$0\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$而且$1\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$而且$2\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$。因為$1\notin {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$，所以$\mathit{A}⊭\forall \mathit{x}\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)$。

$\exists \mathit{x}\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)$的意思是，至少有一個domain裡的東西有$\mathit{P}$這個性質。也就是說，$\exists \mathit{x}\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)$的意思是$0\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$或者$1\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$或者$2\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$。所以$\mathit{A}\models \exists \mathit{x}\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)$。

$\forall \mathit{x}\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$的意思是，所有domain裡的東西，都和domain裡至少一個東西有$\mathit{Q}$這個關係。要講得具體一點以幫助理解的話，我們可以先把$\mathit{Q}$視為某個二元關係，例如$\mathit{x}$喜歡$\mathit{y}$（這不代表$\mathit{Q}$這個述詞就是$\mathit{x}$喜歡$\mathit{y}$的意思，$\mathit{Q}$就只是某個述詞符號，${\mathit{Q}}^{\mathit{A}}$僅僅是某個由二元序列構成的集合。就像國小或幼稚園老師教$1+1=2$的時候，把「$1$這個自然數，填進+這個函數的兩個參數位置後，就會輸出$2$」生動地講成，一個蘋果和另一個蘋果放在一起就是兩個蘋果那樣。雖然$1+1=2$和蘋果半毛關係也沒有，但這樣舉例子比較容易理解），那麼$\forall \mathit{x}\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$的意思便是，每個東西都至少喜歡一個東西。

不過句子太複雜或太長的話，我們可能沒辦法用舉實例的方式，理解句子的意思。不過還有別的辦法。也可以這樣理解$\forall \mathit{x}\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$：$\forall \mathit{x}\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$是指所有domain裡的東西都滿足$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$，也就是

$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}]$而且$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_1^{\mathit{x}}]$而且$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_2^{\mathit{x}}]$

$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}]$的意思是$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$中的$\mathit{x}$會指到domain裡的$0$。我們不能直接寫$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(0,\mathit{y}\right)$是由於，$0$不是term，所以$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(0,\mathit{y}\right)$不是合文法的字串。（私底下想把$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}]$腦補成$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(0,\mathit{y}\right)$是沒問題，但別在正式場合這麼做）

而$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}]$可以理解成，至少有一個domain裡的東西會滿足$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}]$，也就是，

$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}{,}_0^{\mathit{y}}]$或者$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}{,}_1^{\mathit{y}}]$或者$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}{,}_2^{\mathit{y}}]$。

所以，$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}]$而且$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_1^{\mathit{x}}]$而且$\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_2^{\mathit{x}}]$的意思就會是：

【$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}{,}_0^{\mathit{y}}]$或者$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}{,}_1^{\mathit{y}}]$或者$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_0^{\mathit{x}}{,}_2^{\mathit{y}}]$】而且
【$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_1^{\mathit{x}}{,}_0^{\mathit{y}}]$或者$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_1^{\mathit{x}}{,}_1^{\mathit{y}}]$或者$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_1^{\mathit{x}}{,}_2^{\mathit{y}}]$】而且
【$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_2^{\mathit{x}}{,}_0^{\mathit{y}}]$或者$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_2^{\mathit{x}}{,}_1^{\mathit{y}}]$或者$\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right){[}_2^{\mathit{x}}{,}_2^{\mathit{y}}]$】。

也就是

【$0$喜歡$0$，或者$0$喜歡$1$，或者$0$喜歡$2$】而且
【$1$喜歡$0$，或者$1$喜歡$1$，或者$1$喜歡$2$】而且
【$2$喜歡$0$，或者$2$喜歡$1$，或者$2$喜歡$2$】

因為domain裡的每個東西的確都喜歡至少一個東西，所以$\mathit{A}\models \forall \mathit{x}\exists \mathit{y}\mathit{Q}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)$。

有自由變元的句式（formula）的真假值

有自由變元的句式，基本上沒辦法判斷真假值。試想以下幾個句式：

• $1=1$
• $2=1$
• $\mathit{x}=1$

第一個句式顯然是真的，第二個顯然是假的，但第三個就難辦了，因為我們不知道$\mathit{x}$到底是指哪個數，所以無從判斷$\mathit{x}$是不是等於$1$。

既然問題的根源在於，不知道$\mathit{x}$到底是指什麼，那麼就發派一個東西給$\mathit{x}$去指不就得了。負責這項指派業務的玩意兒，就是一元的assignment function（我不知道這個東西有沒有固定的中文譯名，如果硬要翻的話，就叫指派函數好了）。這個函數和邏輯語言裡那個非邏輯符號的函數的詮釋不一樣。Assignment function的定義域是所有變數的集合（而不是structure的domain，和對非邏輯符號的函數的詮釋不一樣），值域是structure的domain裡的某一個東西。也就是，只要我們輸入某個變數給assignment function，問它這個變數是指啥，它就會輸出一個structure的domain裡的東西，回答我們此變數是指structure的domain裡的這個東西。

問不同的assignment function同一個問題，可能會得到不同的答案。例如${\mathit{h}}_1\left(\mathit{x}\right)=1$但${\mathit{h}}_2\left(\mathit{x}\right)=2$之類的。這時在${\mathit{h}}_1$這個assignment function的指派之下，$\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)$在$\mathit{A}$中為假，因為$1\notin {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$，記為$\mathit{A}⊭\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)\left[{\mathit{h}}_1\right]$，而在${\mathit{h}}_2$的的指派之下，$\mathit{P}\left(\mathit{x}\right)$在$\mathit{A}$中為真，因為$2\in {\mathit{P}}^{\mathit{A}}$，記為$\mathit{A}\models \mathit{P}\left(\mathit{x}\right)\left[{\mathit{h}}_2\right]$。

有時我們會看到一些長相比較奇特的assignment function，例如${\mathit{h}}_1^{\mathit{x}}$。${\mathit{h}}_1^{\mathit{x}}$是指，我們已經有一個assignment function $\mathit{h}$，而${\mathit{h}}_1^{\mathit{x}}$是個這樣的函數：輸入$\mathit{x}$會輸出$1$，輸入$\mathit{x}$以外的變數會輸出和$\mathit{h}$一樣的東西；也就是

${\mathit{h}}_1^{\mathit{x}}\left(\mathit{v}\right)=1$    , if $\mathit{v}=\mathit{x},$（$\mathit{v}$是variable的意思）
${\mathit{h}}_1^{\mathit{x}}\left(\mathit{v}\right)=\mathit{h}\left(\mathit{v}\right)$, if $\mathit{v}\ne \mathit{x}$

依此類推，

${{\mathit{h}}_1^{\mathit{x}}}_2^{\mathit{y}}\left(\mathit{v}\right)=1$    , if $\mathit{v}=\mathit{x},$
${{\mathit{h}}_1^{\mathit{x}}}_2^{\mathit{y}}\left(\mathit{v}\right)=2$    , if $\mathit{v}=\mathit{y},$
${{\mathit{h}}_1^{\mathit{x}}}_2^{\mathit{y}}\left(\mathit{v}\right)=\mathit{h}\left(\mathit{v}\right)$, if $\mathit{v}\ne \mathit{x}$ and $\mathit{v}\ne \mathit{y}$

重要概念

1. 某個structure $\mathit{M}$讓某個句子$\mathit{\phi }$為真的話，我們就會就說$\mathit{M}$這個structure是$\mathit{\phi }$的模型（model）。（不過structure和mode這兩個字常混用就是了）
2. 某個語言$\mathit{L}$中的句子$\mathit{\phi }$是可滿足的（satisfiable），若且唯若，至少有一個$\mathit{L}$的structure，和一個該structure的assignment function（如果$\mathit{\phi }$裡有自由變元的話會用上，沒有的話，assignment function就只是來插花的）會讓$\mathit{\phi }$為真。
3. 某個語言$\mathit{L}$中的句子$\mathit{\phi }$是邏輯真理（logical truth），記為$\models \mathit{\phi }$，若且唯若，所有$\mathit{L}$的structure，和所有該structure的assignment function都會讓$\mathit{\phi }$為真。
   也就是，任選一個$\mathit{L}$的structur和它的隨便那個assignment function，$\mathit{\phi }$在裡面都會是真的。
4. 某個語言$\mathit{L}$中的語句集合$\mathit{\Gamma }$，蘊含（imply）該語言的某個句子$\mathit{\phi }$，記為$\mathit{\Gamma }\models \mathit{\phi }$，若且唯若，所有會讓$\mathit{\Gamma }$裡全部句子都為真的$\mathit{L}$的structure，和所有該structure的assignment function，也都會讓$\mathit{\phi }$為真。
   也就是，$\mathit{\Gamma }$裡全部句子都為真的時候，$\mathit{\phi }$也會為真。

第3點，是第4點中的$\mathit{\Gamma }$取為空集合而產生的特例。

述詞邏輯的structure

語句邏輯的句子是用真值表來判斷真假值，述詞邏輯的句子則是用structure來判斷。Structure是由domain和對非邏輯符號的詮釋（interpretation）構成的；至於要詮譯哪些非邏輯符號，就看語言中的非邏輯符號有哪些，詮釋那些就可以了。

以某個有${\mathit{c}}_1,{\mathit{c}}_2,{\mathit{P}}_1,{\mathit{P}}_2,{\mathit{f}}_1,{\mathit{f}}_2$這些非邏輯符號的語言為例，其中${\mathit{c}}_1,{\mathit{c}}_2$是常數，${\mathit{P}}_1$是一元述詞，${\mathit{P}}_2$是二元述詞，${\mathit{f}}_1$是一元函數，${\mathit{f}}_2$是二元函數（此處符號的下標和述詞及函數是幾元一模一樣只是偶然），這個語言的structure大致會長成這樣：$\mathit{M}=\left(\mathit{U},{\mathit{c}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{c}}_2^{\mathit{M}},{\mathit{P}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{P}}_2^{\mathit{M}},{\mathit{f}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{f}}_2^{\mathit{M}}\right)$。以下一一介紹這些符號的意思。

Structure的名字

$\mathit{M}=\left(\mathit{U},{\mathit{c}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{c}}_2^{\mathit{M}},{\mathit{P}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{P}}_2^{\mathit{M}},{\mathit{f}}_1^{\mathit{M}},{\mathit{f}}_2^{\mathit{M}}\right)$中的$\mathit{M}$和上標的${}^{\mathit{M}}$顯示了這個structure的名字是$\mathit{M}$，意思是model。取名時通常會用大寫英文字母，有時會用特殊字形呈現，以示區隔，例如$\mathit{M}$的花體字是$\mathfrak{M}$。

Domain

$\mathit{U}$指structure的domain，$\mathit{U}$是universe的意思。有些人不會寫$\mathit{U}$來表示domain，而是寫$\mathit{D}$，或dom($\mathit{M}$)，或$\left|\mathit{M}\right|$（最後兩個寫法和structure的名字有關。不過$\left|\mathit{M}\right|$這個寫法可能會讓人誤以為你想談的是$\mathit{M}$的domain的基數（cardinality），也就是domain裡有幾個東西）。或者structure的名字用特殊字形，然後domain就用一般字形呈現，例如$\mathfrak{A}$這個structure的domain就用$\mathit{A}$表示。

當我們在說structure的大小、structure有多大時，我們指的是它的domain的基數。

Domain是一個集合，而且不能是空集合。我們可以把structure理解成是某個世界，domain則決定了這個世界上有哪些東西。你可以依自己喜好往domain這個集合裡加進任何東西，例如數字、英文字、中文字、人、幾何圖案；加無限個東西進去也行，例如讓domain是所有實數的集合。以下是一些domain這個集合可能的長相：

• $\left\{0,1,2\right\}$ 
• {$0,△,@,\mathit{a}$, Doctor House, 嗨！, 飛天麵條神}

不過為了書寫方便起見，通常只會放數字或英文字。我們暫定$\mathit{M}$的domain是$\left\{0,1,2\right\}$。

常數的詮釋

${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}$是指，${\mathit{c}}_1$這個常數在$\mathit{M}$裡的詮釋。${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}\in \mathit{U}$，也就是，${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}$會等於domain裡的某一個成員。我們可以把常數理解成domain裡某個東西的名字；一個東西可以有很多個常數當作名字，就像一個人可以有很多個綽號類似；但一個常數不能指到一個以上的東西，因為重名的話，我們就不知道那到底是在叫誰了。以下是一些${\mathit{c}}_1,{\mathit{c}}_2$這兩個常數在$\mathit{M}$中可能的詮釋：

• ${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}=0,{\mathit{c}}_2^{\mathit{M}}=1$
• ${\mathit{c}}_1^{\mathit{M}}=0,{\mathit{c}}_2^{\mathit{M}}=0$

述詞的詮釋
${\mathit{P}}_1^{\mathit{M}}$是指，${\mathit{P}}_1$這個述詞在$\mathit{M}$裡的詮釋。我們對述詞的詮釋是外延（extension）式的。如果$\mathit{P}$是一個$\mathit{n}$元述詞，那麼${\mathit{P}}^{\mathit{M}}\subseteq {\mathit{U}}^{\mathit{n}}$。${\mathit{P}}^{\mathit{M}}$也是一個集合，而和domain不同的是，述詞的詮釋可以是空集合。

${\mathit{U}}^{\mathit{n}}$是$\mathit{U}\times \cdots \times \mathit{U}$乘$\mathit{n}$次的意思。$\mathit{A}\times \mathit{B}$是一個由二元序列（tuple）構成的集合，序列中的第一個東西來自$\mathit{A}$，第二個來自$\mathit{B}$，把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合，就是$\mathit{A}$×$\mathit{B}$。例如，

若$\mathit{A}=\left\{1,2\right\},\mathit{B}=\left\{3,4\right\}$，則$\mathit{A}\times \mathit{B}=$ $\left\{\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right)\right\}$。

$\mathit{A}\times \mathit{B}\times \mathit{C}$則是由許多三元序列構成的集合，序列中的第一個東西來自$\mathit{A}$，第二個來自$\mathit{B}$，第三個來自$\mathit{C}$，把所有符合此條件的序列蒐集起來形成的集合，就是$\mathit{A}\times \mathit{B}\times \mathit{C}$。例如，

若$\mathit{A}=\left\{1,2\right\},\mathit{B}=\left\{3,4\right\}$，$\mathit{C}=\left\{5,6\right\}$，則$\mathit{A}\times \mathit{B}\times \mathit{C}=$ $\left\{\left(1,3,5\right),\left(1,4,5\right),\left(2,3,5\right),\left(2,4,5\right),\left(1,3,6\right),\left(1,4,6\right),\left(2,3,6\right),\left(2,4,6\right)\right\}$

在序列裡，東西的順序很重要，$\left(1,2\right)$和$\left(2,1\right)$是不同的序列，這點和集合很不一樣，$\left\{1,2\right\}$和$\left\{2,1\right\}$都是同一個集合。（也有人用角括號表示序列，但是我還沒弄清楚怎麼在blogger上打出角括號）

完全沒弄懂前面${\mathit{P}}^{\mathit{M}}$ ⊆ ${\mathit{U}}^{\mathit{n}}$是什麼鬼玩意的人別擔心，先來看幾個例子。我們可以把一元述詞${\mathit{P}}_1$的詮釋想成，我們想讓domain裡的哪些東西有${\mathit{P}}_1$這個性質，我們就把那些東西放到${\mathit{P}}_1^{\mathit{M}}$這個集合裡。${\mathit{P}}_1$在$\mathit{M}$裡幾個可能的詮釋：

• $\left\{1\right\}$ 
• $\left\{0,2\right\}$ 
• $\left\{0,1,2\right\}$ 
• ∅

我們可以把二元述詞${\mathit{P}}_2$的詮釋想成，我們想讓domain裡哪兩個東西有${\mathit{P}}_2$這個關係，就把那兩個東西放到${\mathit{P}}_2^{\mathit{M}}$這個集合裡。或者更生動一點地說（就像國小或幼稚園老師教$1+1=2$的時候，把「$1$這個自然數，填進+這個函數的兩個參數位置後，就會輸出$2$」生動地講成，一個蘋果和另一個蘋果放在一起就是兩個蘋果那樣。雖然$1+1=2$和蘋果半毛關係也沒有，但這樣舉例子比較容易理解），把${\mathit{P}}_2$想成某個二元關係，例如$\mathit{x}$喜歡$\mathit{y}$，我們想讓domain裡的$0$喜歡自己的話，就把$\left(0,0\right)$放進${\mathit{P}}_2^{\mathit{M}}$這個集合裡，想讓domain裡的$1$喜歡domain裡的$2$的話，就把$\left(1,2\right)$放進去。

${\mathit{P}}_2$在$\mathit{M}$裡幾個可能的詮釋：

• $\left\{\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(0,2\right)\right\}$ （$0$喜歡domain裡的所有東西，$1$和$2$則什麼東西都不喜歡）
• $\left\{\left(0,1\right),\left(1,0\right),\left(2,0\right)\right\}$ （$0$和$1$互相喜歡，$2$單戀$0$）
• ∅（每個東西都不喜歡每個東西）

如果我們遇到的是三元述詞，而且這個述詞的詮釋不是空集合的話，集合裡的東西會長得像$\left(\square ,\square ,\square \right)$，其中空格的部分各填進一個domain裡的東西。總的來說，如果遇到的是$\mathit{n}$元述詞，而且述詞的詮釋不是空集合的話，集合裡的東西會長得像$\left(\square ,...,\square \right)$，共$\mathit{n}$個空格，其中每個格子都填進一個domain裡的東西。

等號這個述詞非常特別，它是邏輯符號（不過有些邏輯學家不這麼認為，但目前先當作等號是邏輯符號），所以一般而言等號的詮釋已經規定好了，不是我們想要讓哪兩個domain裡的東西相等，就可以把那兩個東西組成的序列丟進等號的詮釋裡。等號的詮釋這個集合裡，放的東西一律是，每個domain裡的東西，自己和自己構成的序列，也就是，$\left\{\left(\mathit{x},\mathit{x}\right)|\mathit{x}\in \mathit{d}\mathit{o}\mathit{m}\mathit{a}\mathit{i}\mathit{n}\right\}$。現在domain$=\left\{0,1,2\right\}$，所以${=}^{\mathit{M}}=\left\{\left(0,0\right),\left(1,1\right),\left(2,2\right)\right\}$。

函數的詮釋

${\mathit{f}}_1^{\mathit{M}}$是指，${\mathit{f}}_1$這個函數在$\mathit{M}$裡的詮釋。如果函數$\mathit{f}$是$\mathit{n}$元的，則它的定義域是${\mathit{U}}^{\mathit{n}}$，值域是$\mathit{U}$。

我們有個把函數轉成集合的辦法：函數是$\mathit{n}$元，我們就弄出$\mathit{n}+1$元的序列，序列的前面$\mathit{n}$格放輸入值，最後一格放輸出值。例如$\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)=\mathit{x}+1$這個定義在自然數上的一元函數，轉成集合後會長這樣：$\left\{\left(0,1\right),\left(1,2\right),\left(2,3\right),...\right\}$。

函數的定義是，如果輸入值在定義域裡的話，就一定要有輸出值，而且輸出值只能有一個。所以在詮釋函數時也要符合這條規定。

所以，${\mathit{f}}_1^{\mathit{M}}$的定義域是$\left\{0,1,2\right\}$，因為${\mathit{f}}_1$是一元函數。而${\mathit{f}}_1^{\mathit{M}}$會長這樣：$\left\{\left(0,\square \right),\left(1,\square \right),\left(2,\square \right)\right\}$，其中每個空格都填進一個domain裡的東西，就能得到一個可能的詮釋。所有空格都填同一個東西也沒關係。

${\mathit{f}}_2^{\mathit{M}}$的定義域是$\left\{\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(2,0\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right)\right\}$，因為${\mathit{f}}_2$是二元函數。而${\mathit{f}}_2^{\mathit{M}}$會長這樣：$\{\left(0,0,\square \right),\left(0,1,\square \right),\left(0,2,\square \right),\left(1,0,\square \right),$ $\left(1,1,\square \right),\left(1,2,\square \right),\left(2,0,\square \right),\left(2,1,\square \right),\left(2,2,\square \right)\}$，其中每個空格都填進一個domain裡的東西。

如何用structure判斷句子是真的還是假的？請見述詞邏輯的語意。